大口徑主鏡輕量化結構參數(shù)的優(yōu)化設計

葉偉楠，董吉洪

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春130033;2.中國科學院 研究生院，北京100039)

1 引 言

在空間相機中，主鏡不僅直接決定空間相機的光學性能，而且關系到空間相機的力學特性、熱穩(wěn)定性以及相機的制造難度和成本［1］。由于主鏡設計的重要性，國內(nèi)外的科研工作者為此傾注了大量精力。歐美先進國家已經(jīng)能夠制備口徑＞2 m的主鏡［2］，而國內(nèi)由于起步相對較晚，雖然也取得了一定的成果，但是相關研究都是針對口徑為250 ～1 000 mm 的主鏡［3-5］。對于更大口徑的主鏡，由于鏡體重量、支撐結構及加工工藝等諸多因素的限制，難以達到鏡面面形精度的要求。為了提高主鏡的各方面性能，主鏡的輕量化設計是一個重要途徑。由于運載火箭能力以及航天器制造難度和成本等多方面的限制，航天器的有效載荷需要嚴格控制，所以減輕空間相機的主鏡及其支撐組件的重量，能夠降低發(fā)射的難度，提高升空的可行性。從另一個方面講，做地面試驗時主鏡受重力影響會導致面形精度下降，因此較輕的主鏡質(zhì)量有利于降低重力的影響，減小支撐結構的設計難度。

主鏡的輕量化設計主要包括結構設計和參數(shù)優(yōu)化。結構設計主要是針對各種輕量化形式的對比和選擇，而在選定了某種輕量化形式以后，則需要對主鏡鏡體的具體結構參數(shù)進行優(yōu)化設計，以達到性能最佳、質(zhì)量最輕等目的。目前，主鏡輕量化結構參數(shù)的優(yōu)化設計多采用拓撲優(yōu)化法或有限元軟件法［6］，但這些方法有較大的局限性，不能同時對主鏡的支撐位置和結構尺寸等關鍵參數(shù)進行全局的優(yōu)化設計。本文引入了基于Kriging 近似模型的多目標遺傳優(yōu)化方法，對2 m 口徑SiC主鏡的輕量化結構參數(shù)進行了全局優(yōu)化設計。

2 Kriging 近似模型的多目標遺傳優(yōu)化方法

先考慮這樣一個問題，如圖1 所示，對于x∈［a，b］上的未知函數(shù)f(x) =y，可以通過檢測的方法得到f(t) =T，t為［a，b］上的任意值。為了求得f(x) 在定義域內(nèi)的最大或最小值，可以先檢測出均勻分布于［a，b］上的M個輸入值tn的輸出值Tn，然后對M個樣本點(tn，Tn) 用插值法求得函數(shù)FM(x) ，F(xiàn)M(x) 作為f(x) 的近似函數(shù)。只需求得FM(x) 的最大值FMmax(h) =H，然后將h帶入f(x) ，得到f(h) =H'，比較H和H'，如果誤差很小，則認為f(h) =H'為f(x) 的最大值; 如果誤差較大，則把(h，H') 作為第M+1 個樣本點求得新的插值函數(shù)FM+1(x) ，如此迭代下去，直到近似函數(shù)的最大值和原函數(shù)的檢測值近似相等，就可以認為使得近似函數(shù)取得最大值的輸入量同時使得原函數(shù)f(x) 取得了最大值，這是求單一輸入輸出量最優(yōu)解的常用方法。

圖1 f( x) 和其近似函數(shù)F( x)Fig.1 Curves of f( x) and its approximate function F( x)

上述求最優(yōu)解的方法如果擴展到多個輸入輸出量的復雜情況，就可以總結步驟如下:

(1) 抽樣，即隨機或按一定規(guī)律抽出一定數(shù)量的樣本點X，實際問題中的抽樣通過Isight 進行試驗設計來實現(xiàn)。樣本點越多，分布越均勻，就越能準確地描述整個樣本空間。樣本空間可按照其樣本點數(shù)量的有限性和無限性，分為有限樣本空間和無限樣本空間。譬如對0 ～10 間的數(shù)字抽樣，如果數(shù)字無最小單位量，則0 ～10 間可以抽出無數(shù)個樣本點，為無限樣本空間。但是如果最小單位量為1，則樣本點只有0 ～10 間的11 個整數(shù)，為有限樣本空間。

(2) 檢測或仿真分析，目的是得到樣本輸入量X的對應輸出量Y。只有能夠通過檢測或仿真分析等手段得到對應輸出量的問題才能用近似模型的方法求最優(yōu)解。

(3) 建立近似模型，也就是用數(shù)學工具建立輸入量集合X到輸出量集合Y的映射。這個映射能近似地反映所求問題的輸入輸出量之間的關系。

(4) 求近似模型的最優(yōu)解。根據(jù)建立映射所采用的數(shù)學模型，選擇合理的求解算法，得到近似模型的最優(yōu)解。

(5) 最優(yōu)解可靠性的判斷。通過檢測或仿真分析等手段得到近似模型最優(yōu)解輸入量Xm的實際輸出量Y'm，比較Y'm和Ym。對于有限樣本空間問題，Y'm=Ym，則Y'm為可靠的最優(yōu)解; 反之則不可靠，需要迭代重新求解。對于無限樣本空間問題，Y'm≈Ym，則Y'm為可靠的最優(yōu)解; 反之則不可靠，需要迭代重新求解。

(6) 迭代求最優(yōu)解。如果近似模型的最優(yōu)解被判斷為不可靠，則需要把新樣本點(Xm，Y'm) 加入到近似模型的建立中，修正近似模型的準確性。如此反復迭代修正，直到最優(yōu)解判斷為可靠為止。

圖2 給出了求解方法的大致流程。

圖2 近似模型方法尋優(yōu)流程Fig.2 Optimization process of approximate model method

該優(yōu)化思路具體到主鏡的輕量化結構參數(shù)優(yōu)化設計中，即通過試驗設計和仿真分析建立近似模型，然后對近似模型進行優(yōu)化求解，再采用迭代法修正近似模型的準確性以得到最佳的輕量化結構參數(shù)設計。

為了能夠用數(shù)學模型準確地模擬實際問題，近似模型的建立方法十分重要。Kriging 模型是一種估計方差最小的無偏估計模型，它能夠提供一種精確的插值，同時能夠覆蓋整個試驗區(qū)域。與回歸分析相比，Kriging 模型更具優(yōu)勢［7］，它常能夠提供更好的全局預測。對于給定輸入條件，能夠確定輸出值的仿真試驗。對于全局的Kriging 模型，要求試驗設計能夠均勻地充滿樣本空間，傳統(tǒng)的試驗設計抽樣往往存在點堆積的問題［8］，而拉丁超立方試驗設計則是一種能相對均勻地填滿整個試驗區(qū)間的設計［9］，并且每個試驗變量水平只使用一次。Kriging 模型的優(yōu)化求解一般較為復雜，所以優(yōu)化算法常常采用不受數(shù)學求導和連續(xù)性限制的遺傳算法。遺傳算法是模擬達爾文生物進化論的自然選擇和遺傳學機理的生物進化過程的計算模型，是一種通過模擬自然進化過程搜索最優(yōu)解的方法。該算法主要特點是直接對結構對象進行操作，不存在求導和函數(shù)連續(xù)性的限定，具有內(nèi)在的隱并行性和更好的全局尋優(yōu)能力;采用概率化的尋優(yōu)方法，能自動獲取和指導優(yōu)化的搜索空間，自適應地調(diào)整搜索方向，不需要確定的規(guī)則［10］。

3 2 m 口徑SiC 主鏡輕量化結構參數(shù)的優(yōu)化設計

為了驗證上述方法在主鏡輕量化結構參數(shù)優(yōu)化中的可行性，本文采用集成了拉丁超立方試驗設計、Kriging 近似模型和多目標遺傳算法( NSGA II) 的工程優(yōu)化軟件ISIGHT，以2 m 口徑的SiC 材質(zhì)卡塞格林光學系統(tǒng)主鏡為例，對其輕量化結構參數(shù)進行了優(yōu)化設計。

3.1 主鏡的技術指標

主鏡材質(zhì)為SiC，口徑為2 m，球面鏡曲率半徑為4 m，要求鏡體質(zhì)量＜250 kg，重力作用下，要求主鏡面形精度PV≤0.1λ，RMS≤0.02λ，其中λ=632.8 nm。

3.2 主鏡的基本結構設計

根據(jù)設計要求，SiC 主鏡直徑為2 000 mm，鏡面曲率半徑為4 000 mm。按卡塞格林光學系統(tǒng)的要求，主鏡中心開孔孔徑為400 mm。SiC 主鏡采用背部封閉式的單拱形狀，輕量化孔為三角形，背部面板直徑取1 800 mm，拱形面加強筋厚度取10 mm。采用18 點的背部支撐，支撐孔徑取80 mm。除上述已確定的設計參數(shù)，將主鏡鏡面厚度tf、背部面板厚度tb、中心厚h、筋板厚度tw、三角形輕量化孔邊長l、支撐內(nèi)圈半徑R1和支撐外圈半徑R2等7 個參數(shù)作為待定變量進行參數(shù)優(yōu)化。主鏡基本形狀如圖3 所示。

圖3 主鏡的基本形狀Fig.3 Basic shape of the primary mirror

3.3 主鏡輕量化結構參數(shù)的優(yōu)化

主鏡優(yōu)化設計的目的是在某種特定的工況下尋求主鏡鏡面厚度tf、背部面板厚度tb、中心厚h、筋板厚度tw、三角形輕量化孔邊長l、支撐內(nèi)圈半徑R1和支撐外圈半徑R2等7 個設計變量的最佳組合，使得主鏡在面形精度PV 和RMS 滿足某預設指標的前提下質(zhì)量m最小，或使得主鏡在質(zhì)量m小于某預設指標的前提下面形精度PV 和RMS最優(yōu)。

依據(jù)前人的設計經(jīng)驗，主鏡在水平放置的情況下受重力影響最大，面形精度最差［11］; 豎直放置的情況下受重力影響最小，面形精度最好。雖然空間相機實際工作在微重力環(huán)境下，主要受溫度變化的影響，但是在空間遙感器發(fā)射升空前需要對相機做很多地面實驗和檢測，所以相機主鏡必須具有承受1g重力的力學能力。為了模擬相機在軌工作的狀態(tài)，在對主鏡做地面實驗和檢測時通常采用豎直放置，因此在做單鏡的設計分析時通常使重力場垂直于光軸方向［12］。

主鏡的基本形狀和仿真分析的工況作為優(yōu)化模型的固有屬性，相當于前文所舉二維事例中的函數(shù)f(x) ，優(yōu)化過程中不能更改。主鏡的7 個參數(shù)相當于事例中的輸入量x，主鏡質(zhì)量m、鏡面面形精度PV 和RMS 相當于事例中的輸出量y，需要通過仿真分析求得試驗抽樣輸入量對應的輸出量，然后建立近似模型，迭代求解。

為了提高求最優(yōu)解的效率，主鏡優(yōu)化采用有限樣本空間的方法。確定了7 個參數(shù)作為優(yōu)化的輸入量后，為了得到有限的樣本空間，需要規(guī)定各個參數(shù)的取值區(qū)間和最小單位量。將各參數(shù)的取值區(qū)間均分為10 等分，各得到11 個樣本點，0，1，2……10，然后對整體樣本空間通過拉丁超立方試驗設計進行樣本數(shù)為20 的抽樣。抽樣后將參數(shù)樣本進行CAD 建模，并利用仿真分析和面形參數(shù)擬合得到其質(zhì)量和面形精度參數(shù)，20 個抽樣的輸入輸出量對應關系如表1 所示。

表1 20 個抽樣的輸入輸出量數(shù)據(jù)Tab．1 Input and output data of 20 samples

將表1 作為Database File 建立Kriging 近似模型。ISIGHT 計算出Kriging 插值系數(shù)后，能夠預測樣本空間內(nèi)任意輸入量對應的輸出量，包括非抽樣點，并且能在給定任意6 個輸入量時，描述剩余單一輸入量和任意輸出量之間的函數(shù)關系。

按設計要求設定優(yōu)化的邊界條件質(zhì)量m＜250 kg，面形精度: PV≤0.1λ，RMS≤0.02λ，目標函數(shù)為面形精度RMS 的最小值，采用NSGA-II 求近似模型在此邊界條件和優(yōu)化目標下的最優(yōu)解。求出最優(yōu)解后，由于Kriging 近似模型的準確性未知，所以不能就此認定近似模型的最優(yōu)解為實際問題的最優(yōu)解，需要進行最優(yōu)解可靠性的判斷。本次主鏡的優(yōu)化設計采用的是有限樣本空間，所以判斷最優(yōu)解的可靠性時，首先需通過有限元仿真計算出輸入量對應的實際輸出量RMS＇，然后比較實際輸出量RMS＇和預測輸出量RMS，如果相等，可認為Kriging 近似模型在樣本點附近準確性較高，求得的最優(yōu)解可靠，可判定為實際問題的最優(yōu)解。如果不相等則需要迭代修正近似模型的準確度，直至最優(yōu)解可靠。

如表2 所示，經(jīng)過5 次迭代后，主鏡輕量化結構的參數(shù)達到了最優(yōu)，其中質(zhì)量m=243 kg，面形精度PV=25.7 nm，RMS=4.7 nm，均滿足設計指標要求。表3 為最優(yōu)解參數(shù)的實際數(shù)值。

表2 迭代數(shù)據(jù)Tab．2 Iterative data

圖4 為近似模型在最優(yōu)解附近修正之后，各個參數(shù)對面形精度RMS 的影響曲線。

表3 最優(yōu)解參數(shù)Tab．3 Optimal design parameters

圖4 各個參數(shù)對面形精度RMS 的影響曲線Fig.4 Influence curves of each parameter on surface accuracy

4 結 論

基于Kriging 近似模型的多目標遺傳優(yōu)化方法在航空、汽車、機械等領域應用廣泛，但在光學系統(tǒng)的優(yōu)化設計中卻未見采用，故本文做了這方面的嘗試。最終的優(yōu)化結果顯示: 此方法在主鏡的輕量化結構參數(shù)優(yōu)化設計中能有效地在邊界條件范圍內(nèi)全局地優(yōu)化多個參數(shù)，求得最優(yōu)解。優(yōu)化得到了質(zhì)量為243 kg 的2 m 口徑SiC 主鏡，面形精度達到了25.7 nm PV，4.7 nm RMS，輕量化率達到了84%。

由此設想，將主鏡設計的所有重要變量均參數(shù)化，如材料、主鏡形狀、輕量化孔形狀等，甚至可以與支撐結構的主要設計參數(shù)共同進行統(tǒng)一的優(yōu)化，尋求最優(yōu)的配合，最終設計出各方面性能優(yōu)異的主鏡。不過隨著優(yōu)化參數(shù)的增加，要使近似模型更加準確地模擬實際問題，所需的樣本數(shù)量也將增加，這必將帶來巨大的工作量。

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