變分法在大學(xué)數(shù)學(xué)研究性教學(xué)中的探討

劉艷芹

（德州學(xué)院，山東 德州 253023）

變分法是一種研究泛函極值的經(jīng)典方法。變分的理論和方法不僅在數(shù)學(xué)的很多分支中，而且在工程技術(shù)等眾多領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。變分法涉及到泛函分析的知識，一般情況下學(xué)生感覺內(nèi)容晦澀難懂且不易理解，這也是困擾教師教學(xué)的一個問題。在當(dāng)今大學(xué)提倡研究型教學(xué)，以培養(yǎng)研究型人才為目標(biāo)的形式下，教師在講授變分的理論和方法的同時，讓學(xué)生接觸一些變分法在不同的物理背景以及后續(xù)可研究工作中的應(yīng)用等問題，即教學(xué)和科研相結(jié)合是值得研究和探討的問題。在保證教學(xué)質(zhì)量的前提下，突出學(xué)科的科研優(yōu)勢是我們追求的目標(biāo)。在變分法的教學(xué)過程中結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗以及科研工作的體會，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法以及研究性應(yīng)用等方面提出幾點教學(xué)改革探討。

一、教學(xué)內(nèi)容方法的創(chuàng)新

在變分學(xué)的理論研究和實際應(yīng)用中，都必須具備一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識。如微積分、常微分方程等是非常重要的工具［1］。我們希望教學(xué)和科研聯(lián)系在一起，教師將后續(xù)科研問題及時地融入到教學(xué)過程中，不斷地更新教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生了解到更多的信息和掌握解決問題的技巧。

二、變分法的研究性應(yīng)用

變分法的提出不但解決了最速降線問題、懸鏈線問題和等周問題等一系列的數(shù)學(xué)難題，還在彈性力學(xué)、流體力學(xué)、量子力學(xué)和工程技術(shù)等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，目前仍有很多的科學(xué)工作者致力于變分法的研究。

（一）歐拉方程的應(yīng)用

歐拉方程在求解泛函極值問題中起到了非常重要的作用，至今是研究各類問題的有效方法。教師在教學(xué)中可適當(dāng)將最新的前沿知識滲透給學(xué)生，如2011年有作者在《低溫建筑技術(shù)》發(fā)表《利用經(jīng)典變分法對最小旋轉(zhuǎn)曲面問題解答》一文［2］，該文主要就是利用變分法經(jīng)典歐拉方程和傳統(tǒng)做法中歐拉方程的初積分方程分別對最小旋轉(zhuǎn)曲面問題進行了解答，教師可用此文引導(dǎo)學(xué)生思考，即使是經(jīng)典的知識也可有創(chuàng)新的地方，也可讓學(xué)生試著用這種思路去考慮最速降線等其他的問題，從而加深他們對變分法理論知識和應(yīng)用的理解，提高解決實際問題的能力。

教師豐富的知識體系能使學(xué)生體會到學(xué)科之間的聯(lián)系，任何一門知識都不是孤立存在的，它往往與很多學(xué)科領(lǐng)域有著相關(guān)性。希望學(xué)生能夠從整體上把握知識結(jié)構(gòu)，形成體系，為今后的工作和科研打下堅實的基礎(chǔ)，這也是我們研究性的教學(xué)過程中一直探討的問題。

（二）求解非線性問題的應(yīng)用

結(jié)合自己的科研體會，給出變分法在求解非線性問題中的一點應(yīng)用。研究非線性常、偏微分方程（組）的精確解和近似解是一項非常有價值和重要意義的工作。

考慮如下Fisher型的非線性單種群擴散問題

其中u（x，t）表示種群的密度，反應(yīng)項F（u）是種群的增長項，初值條件：u（x，0）=1/（1+ex）2，根據(jù)變分迭代法的思想［3］建立如下的迭代關(guān)系式：

u0（x，t）表示初始近似值，λ（ξ）是Lagrange乘子，即所謂的變分，令廣義泛函取極值，注意到，有

取極值的必要條件為：

得Lagrange乘子λ（ξ）=-1，利用迭代關(guān)系式和初值條件進行迭代便得到問題的近似解。變分迭代法求解非線性問題是當(dāng)今一個非常熱的研究課題。

在保證教學(xué)大綱的教學(xué)內(nèi)容得以實現(xiàn)的前提下，教師根據(jù)學(xué)生已經(jīng)掌握的基礎(chǔ)知識，做好前期輔導(dǎo)工作，自然地引入研究性的教學(xué)內(nèi)容，并合理的安排教學(xué)時間，引導(dǎo)學(xué)生課下思考和探究問題，開拓鍛煉學(xué)生思考問題的能力［4］。

三、注重數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生素質(zhì)

1696年Johann Bernoulli提出的“最速降線”問題是向數(shù)學(xué)家提出的一個難題。Hospital，Leibniz，Newton都得到了解答，直到后來的Euler和Lagrange發(fā)明了這一類變分問題的普遍解法，建立了數(shù)學(xué)的一個新分支—變分學(xué)。我國著名的科學(xué)家、教育家錢偉長院士從最小位能原理出發(fā)將約束條件利用Lagrange乘子引入到泛函中，得到了廣義的變分原理。錢院士在彈性力學(xué)、攝動方法和變分原理等方面都有著重要的成就，錢老也致力于當(dāng)代大學(xué)生的教育問題。教師在講授變分法的同時，可以不斷地滲透大師們的研究成果和數(shù)學(xué)史的介紹，給予學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法和精神實質(zhì)的啟迪，避免數(shù)學(xué)教學(xué)過程的枯燥乏味，對學(xué)生數(shù)學(xué)文化的熏陶和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成和提高都有著極其重要的作用。

［1］ 東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［2］ 何東坡，馮寧.關(guān)利用經(jīng)典變分法對最小旋轉(zhuǎn)曲面問題解答［J］.低溫建筑技術(shù)，2011，（3）：46-47.

［3］ Odibat A M.Construction of solitary solutions for nonlinear dispersive equations by variational iteration method［J］.Physics Letters A，2008，372（2）：4045-4052.

［4］ 董立華，于波.關(guān)于大學(xué)教師進行研究性教學(xué)的探討［J］.高等理科教育，2010，（4）：24-27.