Rn上帶權函數的超線性p-Laplace方程的無窮多解

陳自高

(華北水利水電學院 數學與信息科學學院，河南 鄭州 450011)

Rn上帶權函數的超線性p-Laplace方程的無窮多解

陳自高

(華北水利水電學院 數學與信息科學學院，河南 鄭州 450011)

在無界區域Rn上考慮了一類帶權函數的超線性p-Laplace方程，其中非線性項是奇的.在比單調性較弱的條件下，通過利用帶Cerami條件的噴泉定理得到了該問題的無窮多解的存在性，推廣了一些已知結果.

超線性；Cerami條件；噴泉定理

考慮如下的p-Laplace方程

-Δpu+a(x)|u|p-2u=f(x,u),x∈Rn，

(1)

1)a(x)∈C(Rn，R)滿足infx∈Rna(x)gt;0，并且對任意的Mgt;0，μ({x∈Rn∶a(x)≤M})lt;∞，其中μ表示Rn中的Lebesgue測度；

6)對(x,s)∈Rn×R，有f(x,-s)=-f(x,s).

本文的主要定理如下.

定理1 假設權函數a(x)滿足條件1)且非線性項f(x,s)滿足條件2)-6)，則p-laplace方程(1)存在無窮多解{uk}k∈N+滿足：當k→∞時

在文獻[8]中，Strauss考慮了p=2,a(x)≡1的情形，在AR條件和對稱性條件下得到了問題(1)的一列徑向解.如果n=4和n≥6，在同樣的條件下，Bartsch-Willem[9]獲得了問題(1)的另一列非徑向解.王小靜等[10]在廣義單調性條件和對稱性條件下也得到了無窮多解的存在性.對于p=2的情形，Bartsch[11]去除了對稱性條件，而對于權函數a(x)引入了新的條件1)，也獲得了無窮多解的存在性.受文獻[5,10,11]啟發，去除了非線性項的對稱性條件并在較弱的條件5)下，將半線性的情形推廣到擬線性的情形上，得到了問題(1)無窮多解的存在性.

1 Cerami條件，噴泉定理

(2)

(3)

問題(1)的弱解恰是能量泛函J的臨界點.下面將利用臨界點理論證明J有一列臨界點{uk}k∈N+滿足J(uk)→+∞，從而證明定理1.在論證定理之前，首先給出幾個引理.

引理1 如果q∈[p,p*)，則嵌入W→Lq(Rn)是緊的.

證明任取有界點列{uk}?W,由W的自反性，通過選取子列，不妨仍設為{uk}，有

首先來證明uk→u在Lp(Rn).為此，只需要證明對?εgt;0，?Rgt;0，使得對所有的n∈N+,

(4)

其中BR=BR(0)={x∈Rn∶|x|≤R}.事實上，由uk→u在Lp(BR)，即當k充分大時，成立

如果式(4)成立，那么當k充分大時，

(5)

其中s′=s/(s-1).記

A={x∈RnBR∶a(x)≥M}，B={x∈RnBR∶a(x)lt;M}.

根據M的選取，則

由H?lder不等式，C的選取以及式(5)，知

因而

這就證明式(4)成立，并結合uk→u在Lp(BR)，因此uk→u在Lp(Rn).

根據內插不等式，對任意q∈(p,p*)，及λ∈(0,1)有

由于沒有假設AR條件，不能像通常那樣得到J的PS序列的有界性，從而證明PS條件，這為利用臨界點理論造成了困難.在文獻[5]中，作者注意到盡管由于AR條件的缺失，泛函J不滿足PS條件，但是J還是滿足Cerami條件的，仍然可用文獻[12]提出的“噴泉定理”來證明問題(1)的無窮多解存在性.

定義1 設X是Banach空間，稱J∈C1(X,R)滿足Cerami條件，若對任意c∈R

1)任何滿足J(un)→c及J′(un)→0的有界點列{un}?X都有收斂子列；

2)存在常數δ，R，βgt;0，使得對任何滿足‖u‖≥R的u∈J-1[c-δ,c+δ]，都有|J′(u)|·‖u‖≥β.這里|·|是X的對偶空間X*中的范數.

引理2 在假設1)-6)下，則泛函J滿足Cerami條件.

證明利用反證法.假設{un}無界，通過選取子列，對某個c∈R，有

J(uk)→c,‖uk‖→∞,|J′(uk)|·‖uk‖→0.

(6)

由假設易知〈J′(uk),uk〉→0，則有

(7)

wk?w，在W中；wk→w，在Ls(Rn)中，p≤slt;p*，wk(x)→w(x)，a.e.x∈Rn.

下面分2種情況產生矛盾，如果w恒為0，如文獻[5]中那樣，通過下式定義一列實數{tk}:

(8)

(9)

這與式(7)矛盾，因此w恒為0不成立.

如果w不恒為0，由式(6)知〈J′(uk),uk〉→0，則

(10)

對x∈Ω′={x∈Rn∶w(x)≠0}，有|uk(x)|→+∞，從而由條件4)得

運用Fatou引理，并注意到μ(Ω′)gt;0，有

(11)

由式(10)，(11)，便可知矛盾，故w不恒為0不成立.綜上所述，可得w恒為0和不恒為0均不成立，這是不可能的，因此，點列{uk}在W中有界.利用引理1的緊嵌入，由標準的論證可知，點列{uk}在W中有收斂子列，這就證明了泛函J滿足Cerami條件.

設X是可分Banach空間，X*是X的對偶空間，存在{vn}n∈N+?X，{φn}n∈N+?X*，使得

命題1[12]若泛函J∈C1(X,R)滿足Cerami條件.J(-u)=J(u).又設對每個k∈N+，存在ρkgt;rkgt;0，使得

1)bk∶=infu∈Zk,‖u‖=rkJ(u)→+∞，當k→∞,

2)ak∶=maxu∈Yk,‖u‖=ρkJ(u)≤0，

則泛函J有一列趨于+∞的臨界值.

2 定理1的證明

對可分Bananch空間W，引進上面定義的Xj,Yk,Zk,來驗證式(2)定義的泛函J滿足噴泉定理的條件.

證明首先由條件6)知，對?u∈W，有J(-u)=J(u).由引理2，泛函J滿足Cerami條件.

注意到βk→0以及qgt;p，由上式可得

bk∶=infu∈Zk,‖u‖=rkJ(u)→+∞，當k→∞.

2)因為dimYklt;+∞，而有限維空間上的各種范數等價，故存在Ckgt;0，對?u∈Yk，有

(12)

由條件4)知，存在Rkgt;0，當|s|gt;Rk時，F(x,s)≥2Ck|s|p.另一方面，又由條件3)知，對上述的Ck，Rk，當|s|≤Rk時，F(x,s)≥-Ck|s|p，則對?(x,s)∈Rn×R，有

F(x,s)≥2Ck|s|p.

(13)

由式(12)，(13)，對u∈Yk，有

由此可見對充分大的ρkgt;0(還可以要求ρkgt;rk)，有ak∶=maxu∈Yk,‖u‖=ρkJ(u)≤0.于是由命題1知，泛函J有一列趨于+∞的臨界值.

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(責任編輯：王蘭英)

Infinitelymanysolutionsforsuperlinearp-LaplaceequationwithweightsonRn

CHENZi-gao

(Department of Mathematics and Information Science, North China University of Water Resources and Electric Power, Zhengzhou 450011, China)

A class of superlinearp-Laplace equation with weights on unbounded domainRnis considered, where the nonlinearity is odd.In the condition weaker than the monotonicity condition, the existence of infinitely many solutions is obtained through the fountain theorem with Cerami condition.Some known results are generalized.

superlinear; Cerami condition; fountain theorem

O175.25

A

1000-1565(2012)01-0007-05

2011-03-01

國家自然科學基金資助項目(11101145)；河南省科技廳自然科學基金資助項目(102102210216)；河南省教育廳自然科學基金資助項目(2010A110012)

陳自高(1978-)，男，河南商丘人，華北水利水電學院講師，主要從事非線性偏微分方程方向研究.

E-mail: chenzigao@ncwu.edu.cn

MSC2010:35J92; 35B38; 35D30