預應力連續箱梁橋的動力有限元模型修正

林賢坤，張令彌，郭勤濤，覃柏英

（1.廣西工學院a.廣西汽車零部件與整車技術重點實驗室；b.理學院，廣西 柳州 545006；2.南京航空航天大學a.振動工程研究所；b.機電學院 南京 210016）

在《不中斷交通的梁式橋梁試驗及狀態評定方法的研究》這一項目的研究過程中，以橋梁承載力的快速評定為目標，項目組提出了基于運行模態分析的模態撓度法[1]。該方法應用于橋梁承載力評定時，首先需對試驗模態振型質量歸一化。為此項目組提出了基于有限元模型的質量歸一化法。因此，為了模態撓度法有效和可靠應用于橋梁承載力評定，需建立橋梁較精確的有限元模型。

預應力混凝土連續梁橋，具有結構剛度大、變形小、整體性能和抗震性能好，特別是主梁變形撓曲線平緩，橋面伸縮縫少，行車舒適等優點，在橋梁工程中得到廣泛采用。針對該類橋型的健康檢測、狀態評估與維修加固等任務，若能建立基本準確反映其實際動力行為的有限元模型，無疑具有重要意義。然而，對于橋梁有限元模型，其建模過程中會引入各種假設和簡化，同時存在諸多不確定因素，都會導致與真實模型間存在誤差，因此，須對它進行修正。

模型修正對象常分為結構的質量陣與剛度陣、物理和幾何等設計參數，后者的物理意義明確，更具工程應用價值。頻率、振型、反共振頻率和振型相關系數等模態數據常用于模型修正。根據問題的需要，許多研究者[2－7]采用了不同的模態數據。目前對于模型修正的方法，主要有基于統計分析技術[8]、靈敏度分析[9]、微粒群算法[10]、神經網絡[11]和遺傳算法[12]等優化算法。遺傳算法，作為一種高度并行、隨機和自適應搜索算法，特別適用于有限元模型修正這類復雜非線性優化問題。

本文以張家港河大橋為對象，構造有限元模型的2個評價指標：頻率和振型相關系數，由此定義目標函數，采用該橋環境激勵模態試驗的結果，基于實數編碼加速遺傳算法對有限元模型進行修正，并對修正后有限元模型的預測能力進行評估，由此探討預應力連續箱梁橋的動力有限元模型修正問題。

1 張家港河大橋簡介

張家港河大橋，位于江蘇省江陰市新陸長路跨越通航河流張家港，其主橋采用（49＋82＋49）m三跨變截面預應力混凝土連續箱梁，主橋與兩副橋間設置有伸縮縫。其總體圖如圖1所示。

圖1 張家港河大橋主橋的總體圖

2 模態試驗

2009年4月，對張家港河大橋主橋實施了環境激勵的模態試驗。在橋面內外側分別布置14個可移動的豎向測點和1個固定的豎向參考點。前者用⊕、?和?標注，后者用⊙標注，如圖2所示。試驗分4組進行，每組包括7個移動測點和2個參考點，共9個通道。數據采集設備包括江蘇聯能電子的動態采集系統（YE6268）和中國地震局工程力學研究所的加速度傳感器（891－2）等，現場采樣頻率為50Hz，采樣時間為30min。

圖2 模態試驗中傳感器的位置

由于環境激勵的模態試驗無法測量輸入，因此，采用運行模態分析法（Operational Modal Analysis，OMA）[13－14]，對測試結果進行模態參數識別，獲得張家港河大橋主橋的10階試驗模態參數，結果如表1所示，振型如圖3所示。

3 初始有限元模型的建立

采用軟件MSC.Patran，根據設計圖紙，建立張家港河大橋的初始有限元模型，節點和單元總數分別為7952和7282個，其中Bar2梁單元148個，Quad4單元5874個，Tria3單元28個，Hex8體單元1232個，MPC單元100個，如圖4所示。

4 有限元模型的修正

建模過程中，較多理想化假定與簡化的采用，以及諸多不確定因素的存在，導致初始有限元模型往往難以與實際模型較好吻合，因此，須根據橋梁原型的試驗結果修正其初始有限元模型。

4.1 待修正參數

導致初始有限元模型與實際模型不相符的因素很多，因施工和環境變化等原因引起幾何和材料參數與設計值不符而成為主要因素。對于腹板和底板的寬度與厚度，支座的幾何尺寸可較精確地獲得，因而無需修正。因瀝青層、水泥砼調平層和錨頭處簡化并入橋梁主體，引起頂板的厚度與設計值有出入，將作為待修正參數。根據工程經驗，橋梁的實際材料參數常與設計值存在差異，因此，各梁段的材料參數將作為待修正參數。同時，由于與支座連接的邊界條件、主橋墩高度的取值、護欄的幾何與材料參數對動態特性都有影響，也都將作為待修正參數。

表1 模態試驗的識別結果

圖3 張家港河大橋的10階試驗模態振型

圖4 張家港河大橋主橋的有限元模型

4.2 評價指標

在修正過程上，為了評價有限元模型，利用計算與試驗的模態參數，定義如下的2個評價指標。

4.2.1 頻率指標 設第m階試驗頻率為fEm，與其相匹配的計算頻率為fAm（x），m＝1，2，…，M。其中x為有限元模型的設計參數。則頻率指標定義為兩者的相對誤差rm（x），Rm（x）和其標準差s（x）[15]：

因此，頻率指標越接近0，設計參數對應的有限元模型的計算頻率越接近實橋的試驗頻率。

4.2.2 振型相關系數指標 設第m階試驗振型為φEm，與其相匹配的初始和設計參數x對應的有限元模型的計算振型分別為φIm和φUm（x），φIm、φUm（x）與φEm的振型相關系數分別為 macIm、macUm（x），m＝1，2，…，M。由此可定義振型相關系數指標[15]：

em（x）反映了 macUm（x）相對于 macIm的提高，m＝1，2，…，M，但em（x）與初始有限元模型有關。為了避免其影響，可定義另一振型相關系數指標（x）[15]：

因此，em（x）與初始和修正有限元模型都有關，（x）只與修正有限元模型有關，且em（x）的值越大，或（x）的值越小，修正有限元模型的計算振型越相似于試驗振型。

4.3 模型修正的數學模型

設對應的有限元模型的特征量為fA（x），相應的試驗結果為fE，其中fA（x）是頻率、振型、反共振頻率、振型相關系數，或者它們的組合。對于有限元模型修正問題，目標是尋求設計參數，使fA（x）與fE間達到最佳。因此，基于fA（x）和fE的有限元模型修正問題可描述為式（5）所示的優化問題[15]。

其中F（x）是由fA（x）和fE確定的最小化目標函數。

因此基于fm（x），s（x）和em（x）或的有限元模型修正問題可轉化為式（6）、（7）所示多目標優化問題[15]。

或

其中 F（x）是關于s（x），rm（x）和em（x）或（x）（m＝1，2，…，M）的最小化目標向量。

4.4 目標函數

對于式（6）和（7）的多目標優化問題，其各目標函數間常互相矛盾，很難找到一個解，使所有目標函數同時達到最小。結合本文的實際問題與目標加權法，由rm（x），s（x）和em（x）可定義式（6）所示的目標函數[15]：

也可由rm（x），s（x）和em（x）定義式（7）所示的目標函數[15]：

其中μ，βm，γm為權重，代表其子目標函數s（x），rm（x），em（x）或（x）在目標函數中的重要程度。s（x）能較好控制各rm（x）的差異程度；μβm，γm的取值，能控制各rm（x）和em（x）或（x）對目標函數值的影響。目標函數值F1（x），F2（x）越小，有限元模型越準確反映橋梁的真實動態特性。

針對張家港河大橋的有限元模型，目標函數F1（x），F2（x）中μ，βm的取值都為：μ＝7和rm（x）＞6.0時，βm＝2.0，否則βm＝1。但對于γm的取值，F1（x）中 macUm（x）＞ 0.80時，γm＝0.5，否則γm＝1；F2（x）中 macUm（x）＜0.80時，γm＝2.0，否則γm＝1，m ＝1，2，…，M。

由表3的評價結果可知，式（8）和（9）定義的目標函數和權重的取值是合理的。因此，權重取相應值后，基于目標函數或，由前7階試驗模態參數，可利用實數編碼加速遺傳算法修正初始有限元模型。

4.5 實數編碼加速遺傳算法

對于實數編碼加速遺傳算法，現介紹其應用于有限元模型修正問題式（6）和（7）的主要運算步驟，其流程圖如圖5所示[15]。

表2 4個有限元模型的分析結果

表3 4個有限元模型的評價結果

圖5 實數編碼加速遺傳算法的流程圖

1）個體的編碼與解碼 基于實數編碼對設計參數，采用線性變換

則可把第t個設計參數xt映射為實數yt，其中xt∈ [at，bt]，yt∈ [0，1]。把yt（t＝1，2，…，n）順次連在一起，可構成設計參數向量x＝ （x1，x2，…，xn）對應的個體 （y1，y2，…，yn）。反之根據式（10），由個體 （y1，y2，…，yn）可獲得對應的設計參數向量x＝（x1，x2，…，xn）。

2）個體評價的方法 遺傳算法僅利用評價函數評估解群的優劣，因此，選取評價函數至關重要，直接影響到算法的收斂速度及能最優解尋找。評價函數給定的各個體的評價值，用于確定該個體被選擇的可能性。評價值越高，被選擇可能性越大。為了使評價值不受實際目標值影響，定義第i個個體的評價值為：

其中τ∈（0，1），為一給定值，S為種群中個體的總數。

3）父代種群的產生 隨機產生區間[0，1]內的S組隨機數，每組包含n個，組成初始種群 ｛（yi1，yi2，…，yin）｜i＝1，2，…，S｝。利用（10）式可獲得個體 （yi1，yi2，…yin對應的設計參數向量xi＝ （xi1，xi2，…，xin）。利用xi確定的有限元模型的分析結果，可獲得對應的目標函數值F（xi）。從小到大對｛F（xi）｝排序，｛（yi1，yi2，…，yin）｝也跟著排序，i＝1，2，…，S，排序后的初始種群稱為父代種群。父代種群中最前面的個體稱為優秀個體。對父代種群執行如下的遺傳運算。

4）遺傳運算 （1）選擇運算?；诟鱾€體的評價值，采用輪盤賭選擇[16]；（2）雜交運算。采用算術雜交[16]；（3）變異運算。采用有向變異[16]。3種遺傳運算都產生S個子代個體。

5）演化迭代 對上述的3S個子代個體，按其目標函數值從小到大排序，取其前面的S-k個，加上父代種群的個優秀個體，組成子代種群。算法轉入步驟4），進行下一輪演化，執行選擇、雜交和變異運算，如此反復。

6）加速方法 優化變量初始化區間的大小決定遺傳算法的尋優效率，初始化區間越大，尋優效率越低，且不能保證全局收斂。為了提高尋優效率，算法可采用如下的加速方法：

用父代種群執行3次遺傳運算，用第1、3次優秀個體的變化區間作為優化變量新的變化區間，轉入3），重新運行遺傳算法。通過如上方法，則優秀個體的變化區間逐步縮小，距離最優個體越來越近，直至算法運行達到預定加速次數，算法結束，輸出最優個體。

4.6 有限元模型的修正結果

基于目標函數F1（x），F2（x）和前7階試驗模態參數，利用實數編碼加速遺傳算法，修正初始有限元模型。其中S＝100，交叉和變異概率分別為Pc＝0.8和Pm＝0.01。對算法執行30次運算后收斂。修正后有限元模型分別表示為FEM1和FEM2。對其模態分析且與前7階試驗模態比較，結果如表4所示，其中FEM1和FEM2的計算頻率為fU1m和fU2m，與試驗頻率fEm的相對誤差為RU1m和RU2m，振型相關系數為macU1m和macU2m。MAC矩陣如圖6所示，頻率誤差Rm（x）和振型相關系數macm（x）的進化曲線分別如圖6、7所示。

表4 試驗模態與分析模態間的比較結果

圖6 修正后有限元模型的MAC圖

由表4可知，相對于初始有限元模型，基于F1（x），F2（x）修正的 FEM1和 FEM2的前7階頻率相對誤差和振型相關系數都有了很大的改善。FEM1的前7階頻率相對誤差最大值為6.218%，平均值為5.107%，振型相關系數最小值為0.846，平均值為0.920；FEM2的前7階頻率相對誤差最大值為6.460%，平均值為4.732%，振型相關系數最小值為0.868，平均值為0.933。初始有限元模型的頻率相對誤差的最大值為17.213%，平均值為8.182%，振型相關系數最小值為0.832，平均值為0.917。由此可見，FEM1和FEM2，可以較準確復現實橋修正頻段內的試驗結果。

圖7 和的進化曲線

4.7 有限元模型的預測結果

為了較全面地評估修正后有限元模型的質量，需考察其預測能力，即考察其預測實橋修正頻段以外試驗結果的能力?，F對FEM1和FEM2模態分析，與后3階試驗模態比較，結果如表5所示。

表5 試驗模態與預測模態間的比較結果

由表5知，FEM1和FEM2的模態分析結果，與修正頻段以外的試驗結果相比較，FEM1的頻率相對誤差最大值為4.331%，平均值為1.536%，振型相關系數最小值為0.863，平均值為0.922；FEM2的頻率相對誤差最大值為5.748%，平均值為2.976%，振型相關系數最小值為0.872，平均值為0.938。由此可見，FEM1和FEM2，可以較準確預測修正頻段外的試驗結果。

因此，由修正結果和預測能力知，采用實數編碼加速遺傳算法，基于目標函數，通過試驗模態參數，修正初始有限元模型，可獲得較準確反映其動力行為的有限元模型。

6 結 語

1）有限元模型修正的數學模型的概括，及將其轉化為多目標優化問題，奠定了實數編碼加速遺傳算法應用于有限元模型修正問題的基礎。

2）建立合適的目標函數，采用適當的編碼方法，是發揮遺傳算法優勢的基礎。本文基于頻率指標與振型相關系數指標定義目標函數，從而保證了模型修正的良好結果。同時，實數編碼的采用，提高了模型修正的精度。加速方法的應用，節省了模型修正的時間和提高了效率。

3）從修正效果看，修正頻段內的頻率相對誤差都在內，振型相關系數都大于8.0，平均值大于9.0；修正頻段外的頻率相對誤差都在內，平均值小于，振型相關系數都大于8.5，平均值大于9.0。因此，本文采用的實數編碼加速遺傳算法對提高模型修正的精度和計算效率都有很好的作用，可獲得較準確反映橋梁實際動力行為的有限元模型。

[1]林賢坤，張令彌，郭勤濤，等.基于模態撓度法的預應力連續箱梁橋狀態評估[J].土木工程學報，2010，43（10）：83-90.LIN Xiankun，ZHANG Lingmi，GUO Qintao，et al.Application of modal deflection method for condition assessment of prestressed concrete continuous boxgirder bridges [J].China Civil Engineering Journal，2010，43（10）：83-90.

[2]Zhang Q W，Chang C C，Chang T Y P.Finite element model updating for structures with parametric constraints[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2000，29：927-944.

[3]Teuguels A，Maeck J，Roeck G D.Damage assessment by FE model updating using damage functions[J].Composite Structures，2002，80：1869-1879.

[4]Ambrogio W D，Fregolent A.Results obtained by minimising natural frequency and antiresonance errors of a beam model[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2003，17（1）：29-37.

[5]Hanson D，Waters T P，Thompson D J，et al.The role of anti-resonance frequencies from operational modal analysis in finite element model updating[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21（1）：74-97.

[6]Teughels A，Maeck J，Roeck G D.A finite element model updating method using experimental modal parameters applied on a railway bridge [C]／／Proceedings of 7th International Conference on Computer Aided Optimum Design of Structures，Bologna，Italy，May，2001：97-106.

[7]Mottershead J E，Friswell M I.Model updating in structural dynamics：a survey[J].Journal of Sound and Vibration，1993，167：347-375.

[8]夏品奇，Brownjohn J M W.斜拉橋有限元建模與模型修正[J].振動工程學報，2003，16（2）：219-223.XIA Pinqi，Brownjohn J M W.Finite element modeling and model updating of a cable-stayed bridge[J].Journal of Vibration Engineering，2003，16（2）：119-223.

[9]費慶國，張令彌，李愛群，等.基于統計分析技術的有限元模型修正研究[J].振動與沖擊，2005，24（3）：23-26.FEI Qingguo，ZHANG Lingmi，LI Aiqun，et al.Finite element model updating using statistics analysis[J].Journal of Vibration and Shock，2005，24（3）：23-26.

[10]余嶺，萬祖勇，朱宏平，等.基于POS算法的結構模型修正與損傷檢測[J].振動與沖擊，2006，25（5）：37-39.YU Ling，WAN Zuyong，ZHU Hongping，et al.Structural model updating and damage detection through particle swarm optimization [J].Journal of Vibration and Shock，2006，25（5）：37-39.

[11]周星德，明寶華，潘瑞鴻，等.基于遺傳算法的降階模型修正方法研究[J].振動、測試與診斷，2007，27（1）：25-28.ZHOU Xingde，MING Baohua，PAN Ruihong，et al.Research on modification of model reduction based on genetic algorithms journal of vibration[J].Journal of Vibration，Measurement ＆ Diagnosis，2007，27（1）：25-28.

[12]費慶國，李愛群，張令彌.基于神經網絡的非線性結構有限元模型修正研究[J].宇航學報，2005，26（3）：267-269.FEI Qingguo，LI Aiqun，ZHANG Lingmi.Study on finite element model updating of nonlinear structures using neural network [J].Journal of Astronautics，2005，26（3）：267-269.

[13]Zhang L M，Wang T，Yukio T.A frequency-spatial domain decomposition（FSDD）method for operational modal analysis [J].Mechanical Systems and Signal Processing，2010，24：1227-1239.

[14]王彤，張令彌.運行模態分析的頻域空間域分解法及其應用[J].航空學報，2006，27（1）：62-66.WANG Tong，ZHANG Lingmi.Frequency and spatial domain decomposition for operational modal analysis and its application [J].Acta Aeronautica Et Astronautica Sinica，2006，27（1）：62-66.

[15]玄光男，程潤偉.遺傳算法與工程優化[M].于歆杰，周根貴，譯.清華大學出版社，2004，1-7，22，25.