利用RBF神經網絡對GPS廣播星歷插值*

陶庭葉 高 飛 劉文星 張春喜

(1)合肥工業大學土木與水利工程學院，合肥 230009 2)武漢大學衛星導航定位技術中心，武漢 430079 3)安徽省北斗衛星導航重點實驗室，合肥230088)

利用RBF神經網絡對GPS廣播星歷插值*

陶庭葉1，2，3)高 飛1)劉文星1)張春喜1)

(1)合肥工業大學土木與水利工程學院，合肥 230009 2)武漢大學衛星導航定位技術中心，武漢 430079 3)安徽省北斗衛星導航重點實驗室，合肥230088)

針對多項式插值計算任意時刻GPS衛星坐標過程中出現的Runge現象，提出了采用徑向基函數(Radial Basis Function，RBF)神經網絡對GPS廣播星歷計算所得衛星坐標進行插值。選用2011-07-25日廣播星歷，利用徑向基函數神經網絡插值計算GPS衛星坐標，并將其與直接法計算的GPS衛星坐標比較，結果表明該方法能有效避免Runge現象，提高了插值穩定性，插值精度高，可滿足GPS單點定位的需求。

GPS單點定位;廣播星歷;徑向基函數神經網絡;插值;Runge現象

1 引言

利用GPS導航定位，必須計算出衛星在相應時刻的坐標，而衛星的坐標主要通過星歷計算得到。GPS實時導航定位采用的廣播星歷可直接從GPS的導航電文中獲得。在GPS定位中，常常需要多次計算衛星的位置和速度，利用廣播星歷計算衛星坐標時，公式繁瑣，影響計算速度［1，2］，為此，常將衛星星歷用一個時間多項式來表示，利用多項式擬合、插值任意時刻的衛星坐標。這里，內插的要求是不能明顯損失原始星歷的精度。

目前，對GPS廣播星歷計算得到的衛星坐標擬合與插值最常用的方法是基于Chebyshev與 Lagrange多項式的方法，這種方法一個明顯的缺點是出現Runge(Runge Phenomenon，RP)現象［3］。所謂RP是指隨著插值多項式階數升高，在插值區間的兩端出現振蕩現象，導致兩端的插值精度急劇下降。RP現象是由于節點選取的隨機性和多項式基函數的絕對值之和無界，在區間端點附近易產生震蕩，從而不能保證高階插值的穩定性［4］，需要采取分段滑動擬合或減小步長等方法來減小其影響，但是，這種方法會增加計算量。

針對利用多項式對GPS廣播星歷的衛星坐標插值出現RP現象的問題，本文提出了利用徑向基函數(Radial Basis Function，RBF)神經網絡對衛星坐標進行插值，通過試驗驗證該方法對廣播星歷衛星坐標插值具有高效性、高精度與通用性的特點。

2 RBF神經網絡插值與擬合原理

2.1 RBF神經網絡［5，6］

RBF網絡是一種三層前向網絡。輸入層由信號源結點組成。第二層為隱含層，隱單元數視所要描述的問題而定。第三層為輸出層，它對輸入模式的作用做出響應。從輸入控件到隱含層空間的變換是非線性的，而從隱含層空間到輸出層空間變換是線性的。

RBF網絡的基本思想:用RBF作為隱單元的“基”構成隱含層空間，將輸入矢量直接(即不需要通過權連接)映射到隱空間，當RBF的中心點確定后，映射關系也就確定了。隱含層空間到輸出空間的映射是線性的，即網絡的輸出是隱單元輸出的線性加權和，此處的權即為網絡的可調參數。從總體上看，網絡的輸入到輸出的映射是非線性的，而網絡輸出對可調參數而言又是線性的。這樣網絡的權就可以由線性方程組直接解出，從而大大加快了學習速度并避免了局部極小問題。

RBF網絡的關鍵在于隱含層節點徑向基函數的非線性逼近性能，一般采用的徑向基函數是Gauss分布函數，即隱含層節點k的傳遞函數表達式為:

輸出層節點相應的輸出可以表示為

分兩個階段訓練RBF網絡，第一步是決定隱含層神經元的數量M，以及決定每個神經元的高斯函數的寬度σk和中心點Tk;第二步是使用訓練數據根據全局誤差準則訓練權值ωk，使RBF網絡擬合訓練數據最佳。其中，隱含層神經元數量的確定是關鍵問題，傳統的做法是使其與輸入向量的元素相等。

RBF神經網絡的學習算法為:

隨機選取h個訓練樣本作為聚類中心ci(i=1，2，…，h)，將輸入的訓練樣本集合按最近鄰規則分組，計算各個聚類集合中訓練樣本的平均值，即新的聚類中心，如果新的聚類中心不再發生變化，則所得到的聚類中心即為RBF網絡的聚類中心。

RBF神經網絡的基函數為高斯函數，因此方差σi的解為:

式中cmax為所選取中心之間的最大距離。

應用最小二乘法對網絡輸出權值進行訓練，其學習訓練的目標是使總誤差達到最小。

RBF神經網絡實現的是非線性映射，理論已經證明，只要隱含層神經元數足夠多，RBF神經網絡可以任意精度逼近任何單值連續函數［7］。

2.2 RBF神經網絡插值

采用RBF神經網絡進行插值的具體算法如下:

1)將輸入數據xi(i=1，2，…，N)作為樣本集，將yi(i=1，2，…，N)作為輸出集;

2)計算各樣本的聚類中心;

4)采用RBF神經網絡進行插值。

3 基于RBF神經網絡GPS衛星坐標插值試驗與結果分析

利用RBF神經網絡擬合GPS廣播星歷的衛星坐標，在保證精度的前提下，避免高階多項式擬合出現RP現象。

GPS衛星接收機所接收到的廣播星歷的時間間隔為2小時，即所獲得的廣播星歷的時間是0時0分0秒、2時0分0秒直到23時45分0秒(24時0分0秒為第2天廣播星歷的開始時刻)。要計算某一時刻某一衛星的坐標，可根據與該時刻最接近的整點廣播星歷，采用直接法［1］計算出該GPS衛星在該時刻的坐標。

選取2011-07-25日廣播星歷，按照5秒的時間間隔計算00:20:00—00:59:00之間的PRN31衛星(任意選取)的坐標，取100個歷元的數據，每5個歷元抽取1個歷元的衛星坐標共計20個歷元的數據作為已知輸入數據，用于訓練神經網絡，利用網絡對這20個歷元之間的衛星坐標進行插值。

由于RBF神經網絡的徑向基函數的擴展參數對插值的結果影響很大，過大或者過小的參數都不能得到好的插值結果，因此，本文采用搜索的方法確定合適的擴展參數。

利用RBF神經網絡對衛星坐標進行擬合插值，將插值所得坐標與直接計算得到的坐標進行比較，得到插值殘差。同理，將X坐標換成對應時刻的Y坐標與Z坐標的數據，建立相應的RBF神經網絡進行擬合插值，得到的結果如圖1所示。

圖1 PRN31衛星坐標插值殘差Fig.1 Residuals of PRN31 satellite coordinate interpolation

從圖1可以看出，采用RBF神經網絡可以對任意時刻的衛星坐標進行插值，在節點時刻中間區域插值計算結果非常平穩，在兩端也沒有大幅度振蕩現象。

根據廣播星歷，采用直接法計算其他時刻、其他衛星的坐標，利用上述方法進行插值，所得結果與2011-07-25日 00:20:00—00:59:00之間的PRN31衛星坐標插值結果類似，在此不一一列出。

這里的插值誤差的大小受RBF神經網絡的徑向基函數擴展參數影響，選定合適的參數可以使插值的最大誤差達到厘米級甚至更高，如果要進一步提高精度只需要調整徑向基函數的擴展參數即可，這也驗證了RBF神經網絡可以任意精度逼近任何單值連續函數。

一般說來，單點定位誤差的量級大體上與衛星星歷誤差的量級相同，而衛星坐標的基本要求就是不降低原有的衛星坐標精度，因此，插值誤差在厘米級水平就能滿足單點定位的要求。根據這一要求，插值過程中我們設定閾值為0.1 m，在程序中不斷調整徑向基函數的擴展參數，當插值誤差達到厘米級精度時，停止調整并選擇該參數進行坐標插值。

采用RBF神經網絡對GPS廣播星歷坐標進行插值，針對不同的數據，要達到指定的精度，必須要選擇合適的網絡參數，如果參數的初始值選用不恰當，則需要花費很多的計算時間來搜索確定正確的網絡參數。針對GPS廣播星歷衛星坐標的插值，如何確定合適的網絡參數，還需要進一步研究。

4 結論

采用RBF神經網絡對GPS廣播星歷所計算得到的GPS衛星坐標進行了擬合插值，結果表明:

1)利用RBF神經網絡對GPS廣播星歷計算得到的衛星坐標插值殘差均在厘米級別甚至更好，并且在節點時刻中間區域插值計算結果非常平穩，避免了多項式插值出現的RP現象;

2)RBF神經網絡對于GPS衛星坐標插值的精度受網絡的徑向基函數的擴展參數影響，本文采用搜索的方法確定合適的參數，搜索的時間由參數的初始值確定，如何確定合適的網絡參數初始值還有待進一步研究。

1 李征航，黃勁松.GPS測量與數據處理［M］.武漢:武漢大學出版社，2005.(Li Zhenghang and Huang Jinsong.GPS surveying and data processing［M］.Wuhan:Wuhan University Press，2005)

2 馮煒，等.兩種常用GPS星歷擬合方法的精度分析［J］.大地測量與地球動力學，2010，(1):145-149.(Feng Wei，et al.Accuracy assement of two fitting methods for GPS precise ephemeris［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2010，(1):145-149)

3 Milan Horemu? and Johan Vium Andersson.Polynomial interpolation of GPS satellite coordinates［J］.GPS Solutions，2006，(10):67-72.

4 李慶楊，王能超，易大義.數值分析［M］.北京:清華大學出版社，2001.(Li Qingyang，Wang Nengchao and Yi Dayi.Numerical analysis［M］.Beijing:Tsinghua University Press，2001)

5 Robert H N.Theory of the back-propagation neural network［J］.Proc UCNN.，1989，(1):593-605.

6 Hint K J.Extending the functional equivalence of radial basis function network and fuzzy inference system［J］.IEEE Trans on Neural Networks，1996(3):776-781.

7 楊行峻，鄭君里.人工神經網絡與盲信號處理［M］.北京:清華大學出版社，2002.(Yang Xingjun and Zheng Junli.Artificial neural network and blind signal processing［M］.Beijing:Tsinghua University Press，2002)

INTERPOLATION TECHNIQUE BASED ON RBF NEURAL NETWORK OF GPS BROADCAST EPHEMERIS

Tao Tingye1，2，3)，Gao Fei1)，Liu Wenxing1)and Zhang Chunxi1)

(1)School of Civil and Hydraulic Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009 2)GNSS Research Center，Wuhan University，Wuhan 430079 3)Beidou Key Laboratory of Anhui Province，Hefei 230088)

Using the RBF(Radial Basis Function)neural network to interpolate the GPS satellite coordinate computed by broadcast ephemeris was proposed in order to solve the problem of Runge Phenomenon(RP)in polynomial interpolation.The GPS satellite coordinate calculated by GPS broadcast ephemeris in 25th，July 2011 were selected to test the RBF neural network interpolation method.The interpolation results compared with the GPS satellite coordinate calculated by direct computation method show that RBF neural network interpolation method can avoid the RP，improve the interpolation stability and accuracy as well meet the demands for GPS point positioning.

GPS point positioning;broadcast ephemeris;RBF(Radial Basis Function)neural network;interpolation;Runge Phenomenon(RP)

1671-5942(2012)02-0044-03

2011-10-21

國土環境與災害監測國家測繪局重點實驗室開放基金(LEDM2010B08);合肥工業大學博士專項基金(2010HGBZ0564);合肥工業大學大學生創新性實驗計劃項目(cxsy102196)

陶庭葉，男，1980年生，博士，講師，主要從事GPS高精度測量、變形監測方面的教學科研工作.E-mail:czytty@163.com

P207

A