關于Bowin公式的應用與思考*

張赤軍

(中國科學院測量與地球物理研究所，武漢 430077)

關于Bowin公式的應用與思考*

張赤軍

(中國科學院測量與地球物理研究所，武漢 430077)

1 Bowin公式的由來與應用

對于地球表面的重力g和大地水準面起伏N，可以用各階球函數之和來表達［1，2］，而具體的那一階(n)，可分別用gn和Nn表示，且

將式(1)除以式(2)得:

式中，G為萬有引力常數，M為地球質量，R為地球平均半徑，ae為地球赤道半徑，9.8 ms-2是地球平均重力值，Cnm、Snm為n階m次地球位球諧系數，可由人造衛星和地面測量資料推算獲得，用它們可描述重力場場源物質分布的不規則性，由此人們可對地球物理問題進行解釋或推測，Pnm(sinφ)為締合勒讓德多項式。

Bowin認為:若波長為λ，則它可以與某個階的球函數相聯系，并可取近似式λ=2πR/n代替，對于特別低的低階球函數分量，這些波長如此之大(例如4階大約是10 000 km)，以至它們對可能引起的場源深度提供有限約束。然而把方程(3)的點質量源和上面測得的g/N聯系起來后，就有了比較嚴格的約束。他還認為在一個點質量的正上方，平坦地球與球形地球的g/N值完全相同，即:

每一階的等效點質量深度為:

式(5)稱為Bowin公式。

由上可見，任何階的位系數對重力和大地水準面的貢獻各自有一定的比值，它能與某一深度(在地球半徑的某個分數處)的點質量產生的比值g/N相關。

從式(1)、(2)可知，凡能滿足用式(1)描述的場源方程，也都能滿足式(2)，只不過一個用n階球函數的重力方程，而另一個則用n階球函數的大地水準面的方程，當n一經選定后，它們的比值也就一定，因此式(3)的值隨n而變，在對n階求和后的g (重力)和N(大地水準面)也是定值，歸根到底，由于它們屬于同一場源。

自Bowin公式發表后即得到了應用，并解釋或探討了一些有關地質地球物理問題，也取得一些有益結果。

其一，可觀察的事實是:由4～10階的大地水準面可反映出核幔的起伏和板塊會聚帶位置，這是以實驗為依據對理論上的一個重要證明。

其二，如果在核幔邊界存在巨大的異常質量，則它的貢獻有79%在低階球函數系數(包在2～3階的在內)，他認為:地球內的十個主要大地水準面異常中就占七個，其中最大幅值是由2～3階引起的。

其三，對于金星，則與地球的情形不一致，對此，他認為:用低階項計算的大地水準面顯示出表面形狀的特征。

文獻［4，5］在已知核幔密度差及不考慮其他因素影響前提下，根據Bowin公式探討了核幔邊界的起伏，將之與地震波(PcP)的結果進行比較，兩者比較接近。

2 對Bowin公式的評價和所得結果的質疑

Bowin公式的推導是正確的，這是在同一場源條件下取得的，可以用之推求有關問題。Bowin認為這是以實驗為依據對理論上的一個重要證明，但以什么樣的實驗為依據似應補充說明。

第二，是不是擾動位的2、3、4階項僅僅反映核幔邊界密度不均勻分布?如果按文獻［4］的解釋，它與1987年Morelle等人［5］由PcP所得的結果相差較大。例如前者的最大最小值在1.7km之內，而由層析成像得到的結果在5 km之內，但他于1989年用濾波法得到的結果卻為15 km，該值已接近地表地形的結果，這似乎不太可能，不過Buchbinder Geotz G R曾于1968年提出:沒有證據表明這一起伏會超過5 km［6］。

第三，近年來查閱若干有關信息，幾乎沒有發現研究核幔邊界起伏的新文章，至于用衛星重力位系數研究地幔密度異常分布的文章也沒有見到，不過研究核幔動力學方面則比較多。作者認為:只有當地震數據日益增多之后，通過核幔邊界的地震反射和折射波形比較清晰的情況下，才能對核幔邊界的形狀密度差做出較為明確的結論。當然，在顧及其他因素之后，也需重視擾動重力位在研究核幔起伏中的作用。

第四，Bowin公式在青藏地區并不適用。去年我們在青藏高原大地水準面異常場源效應時，也探討了異常源的問題，卻沒有采用Bowin公式，這是因為:當n=100時，如按照公式(5)，可得到離地面的深(厚)度為65 km，這與當今人工地震測深結果相近，而從公式(3)可知，只有當gn和Nn同號時，其比值才為正，可惜在這里卻出現了矛盾。因為實際情況是，在青藏高原(有代表意義的中部)的空間異常為正(+20×10-5ms-2左右)，高程異常或大地水準面起伏是負值(-30 m左右)［6，7］。按上述規定，則該值為負，并由此可推得異常質量或異常密度為負，這與實際結果相悖，因為無論從巖石取樣或人工地震的數據，都證明青藏高原的地殼不存在低密度層，而低密度層在距地面200 km以下［8］。其原因在于地球內部的各層密度分布不僅不均勻，而且相鄰界面之間正負的異常密度，有互相抵消的作用，乃至產生以大的正(值)抵壓小(值)或是相反的現象。因此在這種情況下，用地表擾動位(包括重力異常、大地水準面起伏)資料作反演，是不可能得到正確結果的，即使假定內部點的擾動位滿足重調和方程，其結果也是不正確的，因為這就意味著地球內部密度呈調和分布，文獻［9］已經證明這是不符合實際的理論。

3 用簡單的數學模型無法刻畫地球的密度

從整體上看，地球內部密度的結構產生在諸多物理因素之中，它包括溫度、壓力、體積、質量、轉動慣量、剛度、彈性等等，因此今天人們試圖徹底了解整體地球的密度分布幾乎是不可能的。當然，前人通過理論分析、觀測和實驗，在這方面做了有益的研究和探索［10-12］，至于地球內存在不少徑向和側向密度的界面、縱橫交錯的斷層、空洞，以及內部物質又在不停地運動之中，如用一些簡單的數學模型來刻畫地球內部密度的三維、四維分布，則更難以想像。現僅用下例來說明:

假定有ρu=ρw-dρ，其中ρw、ρu分別為地球的真實和正常密度，若dρ滿足調和分布的條件，即Δdρ=0時，則有［9］:

式中r為一點在球坐標中的向徑，θ、λ分別為該點的余緯和經度，R為球的半徑，對地球而言，就是它的平均半徑，現對上式進行討論。

眾所周知，地球密度ρw的分布極為復雜，r處的ρw分布，可用該面上的球諧函數來表達，當r變化時，面球諧函數也跟著變化;函數Fn(r，θ，λ)的分布與Fn(R，θ，λ)的分布相似，但前者的幅度隨r的減小而變小，且隨(r/R)n中的n的增高而衰減。對真實地球而言，它的密度ρw，則隨r的減小而增大。但Fn(r，θ，λ)隨r減小而減小，直至為零。因此對上式中的系數:、無論怎么去選取，僅憑表面上的Fn(r，θ，λ)和(r/R)n的數值，也無法改變(抵消)球內r點處的密度ρw在經度方向上不均勻分布的狀態。只有在假設Δdρ=0的條件下，才能得到正常密度在經度方向上存在著不均勻性的分布，這時才有正常引力位與經度相關的結論，不過這與既有的規則或慣用的事實是不符的。因此，Δdρ=0的假設不能成立，且dρ不可能是連續函數。

應當指出，Bowin公式(1)～(5)的推導是正確的，它只是在同一場源情況下推得的，對于多個場源就不可能得到該公式，更為重要的是重力反演存在多解性，因地球表面測得的結果是地球內部眾多場源的反映。在一點上不管測多少個擾動位派生出的數據，如位、重力、及其若干階的導數等，而眾多個場源是分解不出來的，當然重力在地球物理解釋中的約束作用也不可缺少，因為它從一個側面反映了地球的總質量，及其平均結果。

4 結語與討論

1)擾動位、重力異常及它們的各階導數都屬于同一類的重力場資料，只是表現形式不同，而由重力場資料無法取得唯一的反演結果，但它在地球物理解釋中可起到約束的作用，它從一個側面反映了地球物質的總量，及其平均密度等，即使對地球內部給予一些附加條件，也不可能用一個簡單的數學模式來描述其內部真實密度的分布。

2)現今人們一般用地球重力位的階數來研究重力場及其派生物在球面上的分辨率，至于可否用它來劃分場源的深度，倒是值得討論的問題;可否用它來求解核幔的起伏，也需要進一步探討;而重力場的4-10階位系數是否與板塊匯聚的位置有關也是需要進一步研究的。

待將來地震數據日益增多，核幔邊界的反射和折射波形相當清晰且分析方法更為先進的情況下，才能對核幔邊界的起伏得出有效而明確的結論。

1 Bowin C.Depth of principal mass anomalies contributing to earths geoid undulations and gravity anomalies［J］.Mains Geodesy，1983，(7):61-101.

2 波威.全球重力圖與地球構造，陳維維譯，欣茲主編.區域重磁異常圖的應用效果［M］.北京:地質出版社1990.(Bowin C.Globe gravity map and it’s construction［M］.SEG Press，1985)

3 石磐，盛空琪.可見重力場信息—地形在重力場研究中的應用［A］.朱灼文，潘顯章主編.動力大地測量學進展［C］.北京:地震出版社，1991.(Shi Pan and Sheng Kongqi.The application of terrain information in the inverstigation of the gravity field［A］.Zhu Zhuowen and Pan Xianzhang.Progressing of dynamical geodesy［C］.Beijing: Seismological Press，1991)

4 張赤軍，任康.由擾動位確定核幔起伏［A］.朱灼文，潘顯章主編:動力大地測量學進展［C］.北京:地震出版社，1991.(Zhang Chijun and Ren Kang.A method for determing depth variation of core-mantle boundary with disturbing potential［A］.Zhu Zhuowen and Pan Xianzhang.Progressing of dynamical geodesy［C］.Beijing:Seismological Press，1991)

5 Morelli A and Deieonskyi A M.Topography of the coremantle boundary and lateral homogeneity of liquid core［J］.Neture，1987，(235):678-683.

6 Buchbinder Geotz G R.Properties of the mantle boundary and observations of PcP［J］.J Geophys Res.，1968，(73):5 901-5 907.

7 張赤軍，等.青藏原大地水準面異常的解釋與場源效應初探［J］.中國科學(D)，2011，41(8):1 126-1 133.(Zhang Chijun，et al.The interpretation of Qinghai Tibet plateau geoid anomaly and primary research on its field effect sources［J］.Science in China(D)，2011，41(8):1 126-1 133)

8 張赤軍，駱鳴津.用地表重力能否推求地球內部密度分布——對統一引力場表示理論的看法［J］.中國科學(D)，2009，39(4):443-447.(Zhang Chijun and Luo Minjin.Can Earth interior density distribution be determined from the gravity on the Earth`s surface［J］.Science in China (D)，2009，39(4):443-447)

9 徐果明，等.中閨西部及其鄰域地殼上地幔橫波速度結構［J］.地球物理學報，2007，50:(1):193-208.(Xu Guoming，et al.Shear wave velocity structure of the crust and upper mantle in western China and it`s adjacent area［J］.Chinese Geophysics，2007，50(1):193-208)

10 Bullen K E.The Earth’s Density［M］.London:Chapman and Hall，1975.

11 周惠蘭.地球內部物理學［M］.北京:地震出版社，1990.(Zhou Huilan.Inner physics of the Earth［M］.Beijing: Seismology Press，1990)

12 Dziewonski A M and Anderson D L.Preliminary reference earth model［J］.Phys.Earth Planet Int.，1981，(11):217 -356.

1671-5942(2012)03-0094-03

2012-04-23

張赤軍，男，研究員，從事大地測量與地球重力學研究.E-mail:iggzhangcj@sohu.com