關于一個無限維四元空間列的研究

吳拿達

（韓山師范學院 數學與應用數學系，廣東 潮州 521041）

1 引言

文中所有空間都默認為可分、可度量化拓撲空間.在拓撲研究中,不僅需要研究空間的拓撲結構，還需要研究小空間在大空間中的拓撲位置（如果存在包含關系的話）.為此，有必要研究相應的拓撲空間列.

設X1,X2,…,Xi,…,Xn為一組空間且滿足 X1?X2?…?Xi?…?Xn,則（X1,X2,…,Xi,…,Xn）被稱為n元空間列.當n=2時，稱為空間對.兩個空間列(X1,X2,…Xi,…,Xn)和 (Y1,Y2,…Yi,…,Yn)同胚(下文用符號(X1,X2,…Xi,…,Xn)≈(Y1,Y2,…Yi,…,Yn)表示)指的是存在一個同胚 h:X1→Y1使得h(Xi)=Yi,i=1,2,…,n.在無限維拓撲學中，常把上述Xi取成一些重要的無限維空間來研究.下面先介紹幾個重要的無限維空間.

設Q=[-1,1]∞是希爾伯特方體賦予度量ρ:Q×Q→Q定義如下：對任意x,y∈Q，

對希爾伯特方體及它的一些子空間列成的空間列，已經有一些不錯的研究結果.在文[1]中，有分別對空間對(Q ,c0)和(Q ,∑) 的刻畫.在文[2]中，給出一個例子說明對一個三元空間列(X ,Y,Z)，即使(X ,Y)≈(Q ,∑)(或 ≈(s , ∑) ) 且(X ,Z)≈(Q ,σ)(或 ≈(s , σ ) )，仍不能推出(X ,Y,Z)≈(Q ,∑,σ ).對空間列的研究還有一些應用意義.例如，在文[3-6]中，空間列的知識被應用去研究具有數字圖像背景的函數空間[7]的拓撲結構.

本文主要研究四元空間列(Q ,s,∑,c0)和它的各三元空間列之間的關系以及研究三元空間列(Q ,∑,c0)和它的各空間對之間的關系.

2 預備知識

本節介紹一下相關的概念和引理，更多的相關概念可以參看文[1]或[8].

定義1 設X和Y是空間.C(X ,Y)表示從X到Y的全體連續函數.id(X)表示X上的恒等映射.若 A?X,f∈C(X ,Y)則 f|A:A→f(A)表示 f在A上的限制映射.

定義2 設A是度量空間(X ,d)的一個閉子集.若對任意連續函數ε:X→(0 ,+∞),存在一個連續函數 f:X→XA使得d( f (X),X )＜ε(X )對任意x∈X都成立，則A稱為X的一個Z-集.若X是緊的，則函數ε可換成正數ε.一個空間中的子集若能表示成該空間可數多個Z-集的并集，則稱之為一個Zσ-集.下文用Z(X )和 Zσ(Z)分別表示空間X中的所有Z-集和所有Zσ-集之集.如果一個嵌入映射的像是一個Z-集則稱它為一個Z-嵌入.

定義3 設M0表示所有緊空間列成的空間類.可數多個σ-緊空間的交集稱為絕對Fσδ-集.所有絕對Fσδ-集構成的空間類下文用符號Fσδ表示.

定義4 設(X ,d)為一個空間而Y?X.若對Q的任意一個Fσδ-集C，對任意連續映射 f:Q→X,對任意ε＞0,對任意使得 f|K是一個Z-嵌入的Q中的閉子集K，都存在一個Z-嵌入g:Q→X使得g|K=f|K,g-1(Y)K=CK且d(g (x),f(x) )＜ε所有x∈Q都成立，則空間對(X ,Y)被稱為強(M0,Fσδ)-萬有的.

定義5 空間X的子集Y在X中同倫稠，指的是存在一個同倫h:X×I→X使得h0=id(X)且ht(X)?Y對任意t＞0都成立.容易驗證∑和c0在Q中同倫稠.

定義6 一個同胚h:Q→Q若滿足h(s)=s則被稱為一個保邊同胚.

關于保邊同胚，有下面一個重要的引理.

引理1（[8,定理 6.3.4]）.設 E、F?s都是緊空間,f:E→F是一個同胚且對任意 x∈E有ρ( f (x),x)＜ε,則存在一個保邊同胚h:Q→Q使得h擴張了 f且對任意x∈Q仍有 ρ(f (x),x) ＜ε.

下面引理給出三元空間列(Q ,∑,c0)的一個刻畫.

引理2 [3,定理3]設(X ,d)是一個度量空間而Z?Y?X.則(X ,Y,Z)≈(Q ,∑,c0)當且僅當下面條件皆成立:

（1） X≈Q；

（2）Y能寫成一個塔 (Yn)n(即Yn?Yn+1)的并，且該塔滿足

（a）對任意n,有Yn∈Z(Yn+1)∩Z(X)；

（b）對任意n,有(Yn,Yn∩Z )是(M0,Fσδ) -萬有的且Yn≈Q；

（c）對任意ε＞0,n∈N,A∈Z(X),存在數m＞n和一個同胚h:X→X使得h|Yn=id(Yn),h(A)?Ym,d(h (x),x)＜ε對任意x∈X都成立.

3 三元空間列( )Q,∑,c0和它的空間對之間的關系

一般而言,對兩個空間列(X ,Y,Z)和(A ,B,C),即使有(X ,Y)≈(A ,B),(X ,Z)≈(A ,C),(Y ,Z)≈(B ,C),仍不能推出(X ,Y,Z)≈(A ,B,C).下例說明此點.

例1 設X=A=[-3,3]是閉區間(賦歐氏度量)，Y=B=[-3,-2)∪[-1,1],Z=[-1,1),C=(-1,1].不難驗證(X,Y)≈(A,B),(X,Z)≈(A,C),(Y,Z)≈(B,C)，但 (X ,Y,Z)不同胚于(A ,B,C).

然而對空間列(Q ,∑,c0),卻有下面的結論.

定理1 設(X ,Y,Z)是空間列.(X ,Y,Z)≈(Q ,∑,c0)當且僅當(X ,Z)≈(∑ ,c0)且Y在X≈Q中同倫稠.

證明 必要性是顯然的.下面證明充分性.設d是X的一個容許度量.下面驗證(X ,Y,Z)滿足引理2的條件.條件（1）已經成立，下面驗證條件（2）.因(X,Y)≈(∑ ,c0)，故存在一個同胚 h:∑→Y使得h(c0)=Z令則此外在引理2的證明中[3]，證明了對于塔(∑n)n，空間列(Q ,∑,c0)滿足引理2的條件（2）.下面只需驗證塔(Yn)n也滿足引理2的條件(a),(b),(c).

(a) Yn∈Z(Yn+1)∩Z(X)對任意n都成立.

由(∑n+1,∑n)≈(Yn+1,Yn)可得Yn∈Z(Yn+1).因(∑ ,∑n)≈(Y ,Yn)且∑n∈Z(∑) ,所以Yn∈Z(Y).因此由Y在X中同倫稠的條件可得Yn∈Z(X).

(b)對任意n有(Yn,Yn∩Z )是強(M0,Fσδ) -萬有的且Yn≈Q.

此條件由(Yn,Yn∩Z )≈(∑n,∑n∩c0)直接可得.

(c) 對任意 ε＞0,n∈N,A∈Z(X),存在 m＞n和同胚 H:X→X使得 H|Yn=id(Yn),H(A)?Ym而d(H (x),x)＜ε對任意x∈X都成立.

由同胚擴張定理([8,推論5.3.8])和X≈Q,可知存在γ＞0使得X中任意移動不超過γ的兩個Z-集之間的同胚都能擴張成X上的一個同胚且與恒等映射的距離不超過ε.因為Y≈∑，所以存在一個包含Y為子空間的空間X′和一個同胚Ψ:Q→X′使得Ψ|∑=h.此外,可設是X′上的一個度量滿足Y×Y=d|Y×Y.因為 Ψ 是一致連續的，所以存在 δ＞0 使得對任意滿足 ρ(x ,x′)＜δ的兩點 x,x′∈q有(Ψ (x),Ψ(x′))＜γ.由 A∈Z(X ) 知 Ψ-1(A)∈Z(Q).因為塔(滿足引理2的條件(c)，所以存在同胚H′:Q→Q和m＞n使得 H′|∑n=id(∑n),H′(Ψ-1(A))?∑m,且ρ(H′(y),y)＜δ對任意y∈Q都成立.

定義Φ:X′→X′如下：對任意 x∈X′,Φ(x)=Ψ°H′°Ψ-1(x).

首先，對任意y∈Yn,Φ(y)=Ψ°H′°Ψ-1(y)=Ψ°Ψ-1(y)=y,即Φ|Yn=id(Yn).

其次， Φ(A)=Ψ°H′°Ψ-1(A)?(∑m)=h(∑m)=Ym.

最后，對任意x∈X′，因為 ρ(H ′(Ψ-1(x) ),Ψ-1( x) )＜δ,所以 d(Ψ (H′(Ψ-1(x) )),Ψ (Ψ-1(x) ))＜γ ，即

由 Φ|Yn=id(Yn)和 Φ(A)?Ym,可 得 Φ(A ?Yn)?Y.因為 A?Yn∈Z(X)且d(Φ (x),x)＜γ 對任意x∈A∪Yn都成立，可以把同胚擴張成同胚H:X→X使得對任意X∈X都有d(H (X),X )＜ε.故上述正整數m和同胚H即為所求，即條件(c)也成立.證畢.

由定理1可得下面推論.

推論1 若X≈Q,Y≈∑而Y在X中同倫稠，則(X ,Y)≈(Q ,∑).

推論2 設(X ,Y,Z)是空間列，則(X ,Y,Z)≈(Q ,∑,c0)當且僅當(Y ,Z)≈(∑ ,c0)而(X ,Y)≈(Q ,∑)或(X ,Z)≈(Q ,c0).

問題1 對一個三元空間列(X ,Y,Z)，若(X ,Z)≈(Q ,c0)且(X ,Y)≈(Q ,∑) ，是否能推出(X ,Y,Z)≈(Q ,∑,c0)?

4 四元空間列( )Q,s,∑,c0和它的三元空間列之間的關系

由引理2的證明[3]及引理1，可直接得到下面定理.

定理2 設(Q ,s,Y,Z)是空間列.則(Q ,s,Y,Z)≈(Q ,s,∑,c0)當且僅當下列條件（*） 成立:

（*）Y可寫成一個塔(Yn)n的并，且該塔滿足下列條件：

(a) Yn∈Z(Yn+1)∩Z(X)對任意n成立；

(b)對任意n有(Yn,Yn∩Z )是強(M0,Fσδ)-萬有的且Yn≈Q；

(c)對任意ε＞0,n∈N,A∈Z(X),存在一個數m＞n和一個同胚h:X→X使得h|Yn=id(Yn),h(A)?Ym,且d(h (x),x)＜ε對任意x∈X都成立.

比較引理2和定理2，易得下面的推論.

推論3 設(Q ,s,Y,Z)是空間列,下面條件等價:

（A） (Q ,s,Y,Z)≈(Q ,s,∑,c0);

（B） (Q ,Y,Z)≈(Q ,∑,c0);

（C）條件(*)成立.

注1 空間列(Q ,s,Z)滿足(Q ,Z)≈(Q ,c0),不能推出(Q ,s,Z)≈(Q ,s,c0).

例如，在文[9]和文[10]中，有一個空間Ω2?s滿足 Q,Ω2≈(Q ,c0)但(s , Ω2)不同胚于(s , c0).事實上，但不存在任意一個σ-緊空間A使得s?A?Ω2.這個例子說明s和c0的一個同胚像之間能否插入一個σ-緊空間，對c0的該同胚像在s中的拓撲位置有很大的影響.

推論4 設(A ,B,C,D)是空間列，則(A ,B,C,D)≈(Q ,s,∑,c0)當且僅當(A ,C,D)≈(Q ,∑,c0)且(A ,B,C)≈(Q ,s,∑).

證明 必要性顯然，只需證明充分性.因為(A ,B,C)≈(Q ,s,∑) 故存在同胚h:Q→Q使得h(B)=s,h(C)=∑.令 E=h(D),則(A ,B,C,D)≈(Q ,s,∑,E ) 因而 (Q ,∑,E )≈(A ,C,D)≈(Q ,∑,c0).由推論3,有(Q ,s,∑,E )≈(Q ,s,∑,c0)成立.

注2 對一般的四元空間列(A ,B,C,D),即使(X ,Y,E,F)滿足(A ,C,D)≈(X ,E,F),(A ,B,C)≈(X ,Y,E),(A ,B,D)≈(X ,Y,E),(B ,C,D)≈(X ,Y,E),仍不能推出(A ,B,C,D)與(X ,Y,E,F )同胚.例如取A=X=[-4,4]是閉區間(賦歐氏度量),B=Y=[- 4,-3)∪[- 2,2],C=E=[- 1,1],D={-1},F={1}都是A的子空間.容易驗證(A ,B,C,D)不同胚于(X ,Y,E,F),但它們相應的三元空間列都同胚.

推論5 設(A ,B,C,D ) 是空間列，則(A ,B,C,D)≈(Q ,s,Σ,c0)當且僅當 (B ,C,D)≈(s , ∑,c0)且(A ,B)≈(Q ,s).

證明 必要性顯然，僅需證明充分性.因為(A ,B)≈(Q ,s),所以 B在 A中同倫稠.又因為(B ,C,D)≈(s , ∑,c0)所以C也在B中同倫稠，進而，C在A中同倫稠.故由定理1,(A ,C,D)≈(Q ,Σ,c0).因為(A ,B)≈(Q ,s),故存在一個同胚h:A→Q使得h(B)=s.令Y=h(C),則(A ,B,C)≈(Q ,s,Y).因此Y也在Q中同倫稠.由Y≈C≈∑和推論1可得(Q ,Y)≈(Q ,Σ).再由推論 3,可知(Q ,s,Y)≈(Q ,s,Σ) .因此，(A ,B,C)≈(Q ,s,∑).由推論4,(A ,B,C,D)≈(Q ,s,Σ,c0).證畢.

5 結語

本文給出了四元空間列(Q ,s,Σ,c0)及其子空間列的一些關系，通過這些關系可以把證明四元空間列(A ,B,C,D)同胚于(Q ,s,Σ,c0)的問題轉化為證明相應的一些三元空間列或空間對同胚的問題.一般而言，當n越大，要證明兩個n元空間列同胚就越難.因此，本文的結果在一定程度上有助于降低證明一個四元空間列(A ,B,C,D)同胚于(Q ,s,Σ,c0)的難度.

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