盈不足術的思想和方法

柴 學 林

(蘭州職業技術學院，蘭州 730070)

盈不足術是我國數學史上解答應用題的一種方法，它是我國古代數學著作《九章算術》中的重要章節之一。盈不足術問題就是我們常說的“盈虧問題”的一般情況。許多數學史家的研究表明，盈不足術的方法在解答應用題中，有其應用的廣泛性。它既給出了線性問題的精確解，又給出了非線性問題的近似解，在古代算法中確實稱得上是“萬能”的解題方法。研究“盈不足術”的思想和方法，對認識我國古代數學的偉大成就具有重要的意義，同時也可探視現行數學解題思路的淵源。

1 盈不足術與它的數學模型

《九章算術》中的盈不足術是以“共買物”問題為例給出的。我們先看一道例題，并注意解題過程中的一些思維方法。

例1：今有共買物，人出八(錢數)，盈三；人出七，不足四。問人數、物價各幾何？(《九章算術》卷第七，盈不足，第1題)

根據《九章算術》中的盈不足術的思想，其解答方法可以表達為：

所以，人數為7，物價為53。

上面用盈不足術進行解題時，“維乘”是指：8×4=32，7×3=21；“相并”是指：32+21=53，3+4=7。而物價應該理解為：53÷(8-7)=53；人數應該理解為：7÷(8-7)=7。

這樣，計算人數的表達式是：7÷(8-7)，也就是(3+4)÷(8-7)。這正是我們現在解答“盈虧問題”時的思路。所以，《九章算術》中的這一古算法的思想一直流傳至今，對我國古今數學教育都有很深刻的影響。

在例題1中的已知數出現的是一次“盈”、一次“不足”(即就是“虧”)。如果以這種“盈虧問題”為特例，那么就可以建立如下的數學模型：

今有共買物，人出x1(錢數)，盈y1；人出x2，不足y2。問人數、物價各幾何？

盈不足術的解答方法為：

(1)

在《九章算術》中，x1、x2稱作所出率，所出率的“以少減多”是指：若x1>x2，則x1-x2；若x1

(1′)

盈不足術公式(1)和公式(1′)是怎樣推導出來的呢？根據李繼閔(1938—1993，生前任西北大學數學系教授)的觀點，是在“比率算法”(《九章算術》中盈不足術以前的一種古算法)的基礎上，為突破比率算法的局限性而創造的一種新的解題方法[1]266。實際就是現在的直線內插法的思想在比例關系中的應用。

從例1的數學模型中，可以看出，要求每人應出的錢數x0，就是求應用題中滿足“不盈不虧”的一個正數。根據古人把問題的有關數據按一定順序排列起來，研究比率關系的方法，我們可以把“每人出錢x1，買物1，盈錢y1；每人出錢x2，買物1，不足錢y2”的問題，按其數據排列為下面的形式，再由成正比例量的關系，把第一列的數分別乘y2，把第二列的數分別乘y1，問題就可以轉化為：“每人出錢x1y2，買物y2，盈錢y1y2；每人出錢x2y1，買物y1，不足錢y1y2”的問題，再進行計算。

(2)

2 盈不足術的解題思想

《九章算術》中的盈不足術的解題思想，不限于對例題1的那種類型的應用題進行求解。我們知道，一般的應用題，其答案是確定的一個數。如果我們以事先設定的一個數作為其答案，那么就可以根據題意進行假設試驗，若假設實驗的數據正好合適，則這個數就是答案；若假設實驗的數據不合適，則與題目中的已知數相比較出現的不是盈就是不足。通過兩次假設，就可以得到兩個盈數或虧數。從而，一般的應用題都可以轉化為盈不足問題進行解答。所以，盈不足術的解題思想和方法被稱為“雙設法”，后來一直被歐洲人稱為“雙假位法”[1]263。

利用盈不足術解一般應用題的思路框圖為：

(3)

例2：今有漆三得油四、油四和漆五。今有漆三斗，欲令分易油，還自和余漆。問出漆、得油、和漆各幾何？(《九章算術》卷第七，盈不足，第15題。)

分析與解：斗是古代的體積單位，三斗就是30升。把這道題用現代話說就是：已知三份漆可以換得四份油，四份油可以調和五份漆(都是按體積計算)。現有30升漆，如果用其中一部分去換油，換來的油又去調和余下來的漆。如果剛好把漆用完，問用去換油的漆有多少升？換得了多少升油？這些油又調和了多少升漆？

我們用盈不足術的解題方法“雙設法”來思考解答。假設取出9升漆，9÷3=3，可以換得油：4×3=12(升)，用12升油就可以調和漆：5×3=15(升)；9升漆和15升漆相加得24升漆，比原有的30升漆少6升，也就是不足6升。同樣，再假設取出12升漆，用12升漆去換得16升油，則可以調和20升漆；12升漆加20升漆得32升漆，比原有的30升漆多2升，也就是余2升漆。這樣問題就變成了盈不足問題。簡單地表示如表1：

表1

出漆(升)得油(升)和漆(升)與30升相比較91215不足6121620盈2

這是一道數量關系為線性關系的應用題。現在的解法當然是思路自然，推理清楚，方法簡單。但是用盈不足術的方法解答，通過假設試驗，按固定的模式計算出了精確結果，其解題思路是很有特色的。

3 盈不足術的現代解釋

前面提到，盈不足術是基于“比率關系”，即比例關系和直線內插思想的產物。下面我們用現代數學知識來研究盈不足術，從而進一步明確和理解它的數學思想和方法。

(1)對線性問題的討論。

設函數f(x)=kx+b，是應用題中數量之間的關系，求滿足應用題條件的數x0，就是求函數f(x)=kx+b與x軸的交點橫坐標x。如圖所示，根據比例關系有：

(5)

(6)

把盈數記為正，不足數記為負時，由于y1<0，因此-y1>0，那么(6)式正就是(1)式的求解的形式。

如果設盈不足y是每人出錢數x的函數，那么有y=Bx-A，其中A為物價數，B為人數。因而根據(5)式或(6)式，例1的解題方法就是：

由于錢數之差等于每人出錢數的差與人數的乘積，而且x1>x2，因此有，y2+(-y1)=B(x1-x2)，所以，就可以求出物價與人數：

所以，如果我們用正、負數分別表示盈數和虧數時，盈虧問題的求解公式可以統一為下面(5′)的形式：

(5′)

如果不用正、負數的記法，那么在“一次盈一次虧”的問題中，用相并(相加)的思想求解；在“兩次都盈”或“兩次都虧”問題中，用相減(即“以少減多”)的思想求解。這樣盈不足術就可適用于任何情況了。

(2)對非線性問題的討論。

設函數y=f(x)是非線性函數，在區間[x1，x2]上連續，并且有f(x1)f(x2)<0，因此函數y=f(x)在區間[x1，x2]上至少有一個根x0，使f(x0)=0，由此以(x2，y2)、(x1，y1)為端點的直線段L，是函數y=f(x)的一條弦。如圖所示，弦直線L的方程是：

因此有：

再根據前面線性問題的討論知道，弦直線L與x軸交點的橫坐標為：

(7)

4 用盈不足術解現行數學問題

例3：雞兔同籠不知數，三十六頭籠中露，看來足有一百只，幾只雞幾只兔？

分析與解：假設有36只雞，足數就有2×36=72(只)，足數不足100-72=28(只)；假設有15只雞，足數就有2×15=30(只)，因此兔就有36-15=21(只)，足數有4×21=84(只)，共有足數30+84=114(只)，足數盈114-100=14(只)。根據盈不足術有：

因此，雞是22只，兔是：36-22=14(只)。

答：雞是22只，兔是14只。

這個數學問題是“雞兔同籠”問題，先用兩次假設，轉化為“一盈與一不足”問題，然后用盈不足術進行解答。

例4：甲、乙兩人在相距360米的兩點同時出發，相向而行，甲每分鐘行40米，乙每分鐘行50米。多少分鐘后甲、乙兩人相遇？

分析與解：假設2分鐘后甲、乙兩人相遇，則行了(40+50)×2=180(米)，比360米少180米。就是不足180米；假設3分鐘后甲、乙兩人相遇，則行了(40+50)×5=270(米)，比360米少90米，就是不足90米。根據盈不足術有：

答：4分鐘后甲、乙兩人相遇。

例5：甲每小時行10千米，乙每小時行8千米。甲、乙兩人同行一段路，乙比甲多用了3小時，這段路長多少千米？

分析與解：按盈不足術進行兩次假設檢驗，如表2，然后根據盈不足術進行解答。

表2

假設路程甲所用時間乙所用時間乙比甲多幾小時與“乙比甲多3小時”比較40千米4小時5小時1小時不足2小時80千米8小時10小時2小時不足1小時

答：這段路長120千米。

這兩個例子都是一般的行程問題，也可以用盈不足術進行解答。

盈不足術以其特定的數學模型，可以解答各種數學問題。這種在解題過程中，既有假設檢驗，又有推理分析，并且注重演算程序化、模式化的思想和方法，在數學理論中尤其是在遠古時期的數學理論中是一種很有價值的解題方法。用盈不足術解答數學問題，規律性強，演算程序化，適用范圍較大，對研究數學解題策略和方法有一定啟發性。

參考文獻：

[1]吳文俊.《九章算術》與劉徽[M].北京：北京師范大學出版社，1982.

[2]傅敏，王仲春，等.數學教學研究新論[M].成都：電子科技大學出版社，1995：56～60.

[3]郭金彬.劉徽“術”中求術的方法和技巧[J].自然辯證法通訊，2004，(5)：86～87.