輪控欠驅(qū)動航天器的姿態(tài)控制特性

桂海潮 徐世杰 金磊 張軍

（1北京航空航天大學(xué)，北京100191）（2空間智能控制技術(shù)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190）

1 引言

由于執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障或其他原因，航天器的控制力矩個(gè)數(shù)可能會少于3個(gè)，從而變?yōu)榍夫?qū)動航天器。研究欠驅(qū)動航天器的姿態(tài)控制問題有助于應(yīng)對執(zhí)行機(jī)構(gòu)失效，提高航天器的可靠性。

對于使用推力器的欠驅(qū)動航天器，已經(jīng)有學(xué)者得出了判定航天器姿態(tài)的全局可控性與小時(shí)間局部可控性（Small-time Local Controllability，STLC）的充要條件［1-2］。由于使用飛輪的欠驅(qū)動航天器的姿態(tài)指向與角速度不可控［1］，因此，應(yīng)研究其可以實(shí)現(xiàn)的有實(shí)際意義的姿態(tài)控制形式。對于使用兩個(gè)飛輪的航天器，在系統(tǒng)總角動量為零的假設(shè)下，文獻(xiàn)［3］構(gòu)造了分段連續(xù)的非線性控制律鎮(zhèn)定航天器的姿態(tài)，但控制律產(chǎn)生的指令力矩信號太大以致飛輪難以輸出；文獻(xiàn)［4］、［5］分別利用羅德里格斯參數(shù)和四元數(shù)構(gòu)造了帶有奇點(diǎn)的控制律鎮(zhèn)定航天器姿態(tài)；開環(huán)控制與最優(yōu)控制也分別被用于實(shí)現(xiàn)航天器的姿態(tài)再定向［6-7］；文獻(xiàn)［8］則在系統(tǒng)總角動量非零的情況下實(shí)現(xiàn)了航天器的指向穩(wěn)定控制。以上大部分研究中均將飛輪視為力矩輸出機(jī)構(gòu)，而實(shí)際中飛輪常以其轉(zhuǎn)速作為控制指令。因此，分析以飛輪轉(zhuǎn)速為輸入時(shí)欠驅(qū)動航天器姿態(tài)控制問題，更具有實(shí)際工程意義。

針對上述問題，本文研究了直接以飛輪轉(zhuǎn)速為控制輸入時(shí)航天器姿態(tài)的小時(shí)間局部可控性與可鎮(zhèn)定性問題。證明了只有當(dāng)航天器至少帶有兩個(gè)非平行安裝的飛輪時(shí)，系統(tǒng)的動力學(xué)方程才有可能滿足STLC，然而，此時(shí)系統(tǒng)已不能被時(shí)不變光滑反饋控制律鎮(zhèn)定。因此，構(gòu)造了基于四元數(shù)的非光滑控制律鎮(zhèn)定航天器姿態(tài)，并通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了該控制律的有效性以及理論分析結(jié)果的正確性。

2 基本概念與建模

2.1 基本概念

記so（3）表示3×3的反對稱矩陣，定義線性同構(gòu)S∶R3→so（3），對a＝ ［a1，a2，a3］T∈R3有

對于?a，b∈R3，有S（a）b＝a×b，這里的×表示R3中的叉乘。進(jìn)一步，有

令M表示n維光滑流形，X和Y是M上的兩個(gè)解析向量場。記φt，X：M→M；xaφt，X（x）為X生成的流，記［X，Y］表示X和Y的李括號，通常也記為adXY。若記則可以遞推定義高階李括號為由李括號的定義［9］：

式中φt，X和φt，Y分別為由向量場X和Y生成的流。

2.2 非線性系統(tǒng)的STLC

考慮下面的一般仿射非線性系統(tǒng)

式中f0，f1，…，fm為n維光滑流形M上的解析向量場，通常稱f0為漂移向量場，f1，…，fm為控制向量場，并記F＝｛f0，f1，…，fm｝；u＝［u1，…，um］T∈U?Rm為容許控制，為了應(yīng)用關(guān)于STLC的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果，假定容許控制u（t）在有限時(shí)間內(nèi)勒貝格可積［10-11］。

考慮式（3）表示的系統(tǒng)，對于狀態(tài)x的任何一個(gè)鄰域和任意時(shí)間T＞0，若在時(shí)間T內(nèi)從x出發(fā)的可達(dá)集包含一個(gè)開集，且x是此開集的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，則稱該系統(tǒng)在x點(diǎn)滿足STLC。若從x出發(fā)的可達(dá)集包含M中的一個(gè)開集，則稱該系統(tǒng)在x可接近。從定義可知，可接近性是STLC的一個(gè)必要條件。式（3）表示的系統(tǒng)在x可接近的充分必要條件是dimL（F）x＝n，其中，dim表示取維數(shù)，L（F）為F中的元素作成的有序李括號的實(shí)線性組合［9］。為給出本文所采用的判定一般非線性系統(tǒng)的STLC的條件，首先記

式中 TxM為在流形M的x點(diǎn)處的切空間。另記conv（·）表示取某一集合的凸包。至此，可以敘述下面的引理，詳細(xì)的證明過程參見文獻(xiàn)［10-11］。

引理 對于式（3）所表示的解析系統(tǒng)：

1）若0?conv［V（x）］， 則該系統(tǒng)在x點(diǎn)非STLC［10］；

2）假定容許控制U是恰當(dāng)?shù)模?∈conv（U），并且f0（x）＝0，若切向量可以線性張成TxM， 則該系統(tǒng)在x點(diǎn)STLC［11］。

2.3 模型建立

這一節(jié)將建立帶有兩個(gè)飛輪的航天器的運(yùn)動學(xué)方程與動力學(xué)方程，然后將其化為式（3）的形式。記3×3坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣組成的集合為SO（3），令A(yù)∈SO（3）表示航天器的姿態(tài)，它將一個(gè)矢量在航天器本體系下的分量變換為在慣性系下的分量，并且可以避免使用歐拉角的奇異問題，從而對所有姿態(tài)下的STLC進(jìn)行整體分析。航天器的運(yùn)動學(xué)方程為

式中ω為航天器相對慣性系的角速度在本體系下的分量。

下面建立帶有兩個(gè)飛輪的剛體航天器的姿態(tài)動力學(xué)模型。設(shè)航天器系統(tǒng)的質(zhì)心為O，定義航天器的本體固連坐標(biāo)系為O-b1b2b3，它是單位正交的右手坐標(biāo)系。圖1顯示了兩個(gè)飛輪在航天器中的安裝位置關(guān)系，c1與c2分別為兩個(gè)飛輪的轉(zhuǎn)子軸在航天器中的單位方向矢量，它們相對航天器本體系固定，且二者不共線。

系統(tǒng)總角動量在航天器本體坐標(biāo)系下可表示為

圖1 兩個(gè)飛輪在航天器中的安裝位置關(guān)系Fig.1 Schematic of the arrangement of two reaction wheels

式中J為飛輪鎖定時(shí)航天器系統(tǒng)的慣量矩陣；Ik為第k個(gè)飛輪繞其轉(zhuǎn)子軸的轉(zhuǎn)動慣量；Ωk為第k個(gè)飛輪的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，k＝1，2。

在無外力矩作用時(shí)，應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)的Euler定理可得系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

由于不存在外力矩，系統(tǒng)總的角動量守恒，這相當(dāng)于對系統(tǒng)施加了一個(gè)約束。設(shè)系統(tǒng)的總角動量在慣性系下表示為μ，則μ是常矢量，于是有h＝ATμ，將其代入式（6）可求得

將式（8）代入式（5），并將飛輪轉(zhuǎn)速看作輸入，可得系統(tǒng)動力學(xué)方程：

3 STLC分析

3.1 帶有一個(gè)飛輪的情況

不失一般性，假設(shè)航天器只帶有圖1中的第一個(gè)飛輪，利用式（9）可知系統(tǒng)方程變?yōu)?/p>

定理1 對任意姿態(tài)A∈SO（3），由一個(gè)飛輪控制的航天器的姿態(tài)動力學(xué)方程式（10）不滿足STLC。

證明 式（10）的漂移向量場和控制向量場分別為

記F1＝｛f0，f1｝。當(dāng)h∈D1，只需要對f0（A）＝0，即系統(tǒng)總角動量μ＝0的情況證明。因?yàn)椋鬴0（A）≠0，由于總可以找到適當(dāng)?shù)目刂剖沟?/p>

利用公式（2）計(jì)算可得 ［f0，f1］（A）＝0，［f1，f1］＝0。因此，L（F1）A＝span｛f1｝（A），dimL（F1）A＝1＜3，由2.2節(jié)中可接近性的充要條件可知，式（10）表示的系統(tǒng)在A不可接近，自然不滿足STLC。

當(dāng)h?D1時(shí)，由于D1是凸集，可知0?conv｛AS［J-1（h-u1I1c1）］｝。進(jìn)而根據(jù)引理1）可知，式（10）表示的系統(tǒng)不滿足STLC。

綜上所述，式（10）表示的系統(tǒng)對任意姿態(tài)A∈SO（3）都不滿足STLC。證畢。

當(dāng)航天器帶有兩個(gè)轉(zhuǎn)子軸相互平行的飛輪時(shí)，類似僅帶有一個(gè)飛輪的情況，航天器姿態(tài)指向不滿足STLC。

3.2 帶有兩個(gè)飛輪的情況

為了給出結(jié)果，首先定義集合

如圖2所示，實(shí)際上D2表示的是由兩個(gè)飛輪可以提供的角動量張成的四邊形區(qū)域，D2的邊界即為兩個(gè)飛輪的角動量包絡(luò)。

于是，對于帶有兩飛輪的航天器有下面的結(jié)果成立：

定理2：

1）若對A∈SO（3），h處于區(qū)域D2的內(nèi)部，則由兩個(gè)飛輪控制的航天器的姿態(tài)動力學(xué)方程（9）在A滿足STLC；

2）當(dāng)h?D2時(shí)，由兩個(gè)飛輪控制的航天器的姿態(tài)動力學(xué)方程式（9）在姿態(tài)A不滿足STLC。

證明

1）式（9）的漂移向量場和控制向量場分別為f0（A）＝AS（J-1ATμ），fk（A）＝-IkAS（J-1ck）只需要對f0（A）＝0，即系統(tǒng)總角動量μ＝0的情況證明。若f0（A）≠0，由于h處于區(qū)域D2的內(nèi)部，總可以找到控制使得

圖2 兩個(gè)飛輪的角動量張成的四邊形區(qū)域Fig.2 Quadrilateral area spanned by the angular momentum of two reaction wheels

從而得到漂移場在A處為零的等價(jià)控制系統(tǒng)。

由f1和f2生成的流分別為

式中 exp（·）表示指數(shù)映射。將式（12）代入式（2）并運(yùn)用公式（1）可計(jì)算得到

由于c1與c2不共線，則J-1c1，J-1c2和J-1c1×J-1c2線性無關(guān)，因此，

式中 span｛·｝表示線性組合。又因控制U2是恰當(dāng)?shù)模瑒t由引理2）可知式（9）表示的系統(tǒng)在A滿足STLC。

2）對式（9）運(yùn)用式（4）有

由式（11）和式（15）易知

又由于A、S和J-1都是線性映射，從式（16）可以推出

式（17）中第一個(gè)等號應(yīng)用到兩條關(guān)于線性空間的子集的凸包的性質(zhì)，即線性空間的子集經(jīng)平移后的凸包等同于該子集的凸包做同樣的平移，線性空間的子集做線性變換后的凸包等同于該子集的凸包做同樣的線性變換。這兩條性質(zhì)的證明比較簡單，故不再給出。第二個(gè)等號應(yīng)用到D2是一個(gè)凸集，即D2＝conv（D2）。

又由于A、S和J-1均線性可逆，由式（17）可知0?conv［V（A）］。 否則， 若0∈conv［V（A）］，由式（17）易知h∈D2，從而與假設(shè)h?D2矛盾。至此，根據(jù)引理1）可知式（9）表示的系統(tǒng)在姿態(tài)A不滿足STLC。證畢。

此結(jié)果在直觀上很容易理解，若h?D2，則漂移向量場f0（A）＝AS（J-1h）將超過控制的影響而主導(dǎo)航天器的姿態(tài)運(yùn)動，航天器的姿態(tài)將沿漂移場主導(dǎo)的方向運(yùn)動。因此，在微小時(shí)間里不可能將航天器姿態(tài)調(diào)整到其他方向。由定理2可以看出，系統(tǒng)總角動量為零只是系統(tǒng)滿足STLC的一種特殊情況。當(dāng)h落在D2的邊界上時(shí)，由式（14）可知式（9）表示的系統(tǒng)可接近，但此時(shí)利用引理無法判斷式（9）表示的系統(tǒng)是否STLC。

4 可鎮(zhèn)定性分析與姿態(tài)鎮(zhèn)定控制律設(shè)計(jì)

4.1 可鎮(zhèn)定性分析

由上面的分析可知，僅在帶有兩個(gè)非共軸的飛輪時(shí)，航天器的姿態(tài)才有可能滿足STLC。下面將分析帶有兩個(gè)飛輪的航天器在滿足STLC時(shí)可以被何種類型的控制律鎮(zhèn)定。所使用條件可以描述為：若式（3）的平衡點(diǎn)可以被時(shí)不變光滑反饋漸近鎮(zhèn)定，則下面的映射

映滿零的某個(gè)鄰域［9］。

定理3 考慮式（9）描述的帶有兩個(gè)飛輪的航天器姿態(tài)動力學(xué)方程，當(dāng)h處于區(qū)域D2的內(nèi)部時(shí)，由兩個(gè)飛輪控制的航天器不能被時(shí)不變光滑反饋控制律漸近鎮(zhèn)定到任意平衡點(diǎn)，但是，存在時(shí)不變分段連續(xù)的反饋控制律使該動力學(xué)方程漸近鎮(zhèn)定到任意平衡點(diǎn)。

證明 當(dāng)h處于區(qū)域D2的內(nèi)部，類似第3節(jié)中的分析，只需要考慮系統(tǒng)總角動量μ＝0的情況。此時(shí)式（9）可以寫為

式中fk（A）＝-IkAS（J-1ck）。由于c1與c2不共線，在任意的平衡點(diǎn)A∈SO（3），f1與f2線性無關(guān)，因此

式中 rank（·）表示取秩運(yùn)算。

考慮到式（18）僅有兩個(gè)輸入，而狀態(tài)空間則是三維的，因此，由式（18）代表的映射不能映滿三維空間中零點(diǎn)的某個(gè)鄰域，從而不滿足前述的必要條件。因此，航天器的姿態(tài)不能被時(shí)不變光滑反饋控制律鎮(zhèn)定到任意平衡點(diǎn)。另一方面，由文獻(xiàn)［11］可知，解析控制系統(tǒng)在某個(gè)平衡點(diǎn)滿足STLC則意味著該平衡點(diǎn)可以被時(shí)不變分段連續(xù)的反饋控制律漸近鎮(zhèn)定。當(dāng)h處于區(qū)域D2的內(nèi)部時(shí)，式（9）表示的姿態(tài)動力學(xué)方程在平衡點(diǎn)A滿足STLC，因此，存在時(shí)不變分段連續(xù)的反饋控制律使該動力學(xué)方程漸近鎮(zhèn)定到任意平衡點(diǎn)。證畢。

4.2 姿態(tài)鎮(zhèn)定控制律設(shè)計(jì)

基于4.1節(jié)中對式（9）的可鎮(zhèn)定性分析的結(jié)果，本節(jié)針對由兩個(gè)飛輪控制的航天器，在系統(tǒng)總角為零的情況下，設(shè)計(jì)基于四元數(shù)的非光滑控制律鎮(zhèn)定航天器的姿態(tài)。首先，設(shè)航天器與飛輪系統(tǒng)的慣量矩陣為J＝diag（J11，J22，J33），其中，diag（·）表示對角矩陣。使用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣便于對前述局部可控性與可鎮(zhèn)定性的分析，但不便于控制器設(shè)計(jì)。為此，利用四元數(shù)q＝ ［q0，q1，q2，q3］T作為姿態(tài)描述參數(shù)將式（9）寫為

設(shè)計(jì)如下的控制律

下面將分析在式（21）代表的控制律作用下，式（20）的穩(wěn)定性。將式（21）代入可得

由式（22）可知q0隨時(shí)間的增加單調(diào)遞增，又由于q0有界，因此，q0必然收斂到某一常值。又由式（22）可知有界且非負(fù)，因此，當(dāng)時(shí)間于是，由可知q0→1。因此，在式（21）代表的控制律作用下，航天器的姿態(tài)可以被漸近鎮(zhèn)定。

需要說明式（21）存在奇點(diǎn)，即q1，q2→0時(shí)，u1和u2可能變得無窮大。因此，將式（21）代表的控制律修正如下：

式中ε為正常數(shù)；sgn（·）為符號函數(shù)。若qk＞0，sgn（qk）＝1；若qk＜0，sgn（qk）＝-1；若qk＝0，sgn（qk）＝0。顯然，由式（23）代表的控制律連續(xù)但不光滑。

為了驗(yàn)證式（23）代表的控制律的有效性，在Matlab／Simulink環(huán)境中進(jìn)行航天器的姿態(tài)控制數(shù)值仿真。假設(shè)J＝diag（30，20，25）kg·m2，I1＝I2＝0.05kg·m2，Ωmax＝167.6rad／s，兩個(gè)飛輪分別沿著航天器的b1軸和b2軸安裝，兩個(gè)飛輪的最大加速度均為初始姿態(tài)四元數(shù)為q（0）＝［-0.679 3，0.3，-0.2，0.4］T， 由于假定系統(tǒng)總角為零，航天器的初始角速度和飛輪的初始轉(zhuǎn)速均為零值，控制參數(shù)為g1＝0.01，g2＝0.008，ε＝10-3。 圖3和圖4分別顯示了在式（23）代表的控制律作用下，航天器的姿態(tài)四元數(shù)與飛輪轉(zhuǎn)速的響應(yīng)曲線。

圖3 航天器的姿態(tài)四元數(shù)響應(yīng)曲線Fig.3 Response curves of the spacecraft attitude quaternion

圖4 飛輪轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線Fig.4 Response curves of the wheel speeds

由圖3可以看出，航天器的姿態(tài)逐漸收斂到期望的平衡姿態(tài)。由圖4可以看出，飛輪的轉(zhuǎn)速先是很快地加速，再逐漸地收斂到零，兩個(gè)飛輪的轉(zhuǎn)速在初始時(shí)刻附近出現(xiàn)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，飛輪轉(zhuǎn)速連續(xù)，但是并不光滑。綜上所述，所設(shè)計(jì)的非光滑控制律夠有效地鎮(zhèn)定僅帶有兩個(gè)飛輪的航天器的姿態(tài)，驗(yàn)證了本文中對輪控欠驅(qū)動航天器的STLC特性與可鎮(zhèn)定性的分析結(jié)論的正確性。

5 結(jié)束語

證明了在以飛輪轉(zhuǎn)速為控制輸入時(shí)，輪控欠驅(qū)動航天器的姿態(tài)只有在受兩個(gè)飛輪控制時(shí)才有可能滿足小時(shí)間局部可控，并給出了航天器姿態(tài)滿足小時(shí)間局部可控的相應(yīng)條件。然而，即使?jié)M足小時(shí)間局部可控，此時(shí)航天器的姿態(tài)已經(jīng)不能被時(shí)不變光滑反饋控制律漸近鎮(zhèn)定到任意平衡點(diǎn)，但至少可以被時(shí)不變分段連續(xù)的反饋控制律漸近鎮(zhèn)定到任意平衡點(diǎn)。進(jìn)一步設(shè)計(jì)了連續(xù)但非光滑的控制律鎮(zhèn)定航天器姿態(tài)，驗(yàn)證了這一結(jié)果。本文的分析結(jié)論對兩個(gè)飛輪控制的航天器的姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)具有一定參考意義。

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