查詢RLC電網絡中“獨立”全電容割集的算法研究＊

高國章 勞 深

（武漢理工大學能源與動力工程學院1） 武漢 430063） （武漢理工大學國際教育學院2） 武漢 430063）

0 引 言

利用狀態方程分析電網絡的結構性質［1］時，常常要用到系數矩陣A．文獻［2］中已經證明，在多元有理函數域F（z）上，A的特征根可能是“0”或者不相等的非常數根．根據電網絡理論，當A有“0”根時，表明網絡中有全電容割集（包括電容電流源割集）和或者全電感回路（包括電感電壓源回路）．

眾所周知，全電容割集和全電感回路并不改變網絡的復雜度（N）．一個網絡的非零特征根的個數（N－（NL＋NC））等于網絡的復雜度減去網絡中“獨立”的全電容割集數（NC）和全電感回路的個數（NL）的和．那么該如何去查尋一個網絡中有多少個“獨立”的全電容割集和全電感回路呢？對于一個復雜的網絡來說顯然人工難以去確定．如果利用計算機來完成，則需要確定一個算法．本文主要討論查尋網絡中“獨立”的全電容割集的算法．

在討論之前，先給出下文中要利用的關于“環和”的定義．

定義 設S，S1，S2是3個集合，且S＝｛S1－（S1∩S2）｝∪｛S2－（S1∩S2）｝，那么稱S 為S1和S2的“環和”，記為：S＝S1⊕S2．

根據文獻［3－4］確定電網絡的全部割集可以采用如下步驟：（1）確定網絡的一棵正則樹；（2）確定每條樹支所對應的基本割集矩陣Qf；（3）對Qf中的行向量執行所有的環和；（4）消除環和所產生的冗余行向量，即得到Qa．

很顯然，全電容割集也是網絡所有割集中的一部分，所以它們所對應的集合也對應著Qa中的某些行向量，但是它們所對應的全電容割集并不都是我們所要尋找的“獨立”的割集．

1 電網絡中全電容割集的確定方法

對于已經找出的網絡中的所有割集，“獨立”的全電容割集及其數目可以按如下步驟搜尋．

步驟1 確定網絡的一顆正則樹．

步驟2 寫出每一個樹支電容所對應的基本割集矩陣Qfcap．

假定網絡中有m個樹支電容SBCap＝｛Ct1，Ct2，…，Ctm｝，它們所對應的基本割集分別Cut1，Cut2，…，Cutm．這些基本割集中，有些可能是全電容割集，有些則可能不是，具體見下文的實例分析中．

步驟3 判斷全電容割集 一般地，電容電流源割集也包含在全電容割集中．根據前面割集集合的尋找方法，全電容割集的集合應該由兩部分組成，一部分是樹支電容所對應的基本割集，另一部分是由樹支電容所對應的基本割集環和產生，所以Cut1，Cut2，…，Cutm中包含了第一部分．為了找出全部的全電容割集，這一步中應完成如下工作：

1）對Cut1，Cut2，…，Cutm，判斷每一個割集中的元素，若它們都是電容或者電流源，則該基本割集就是一個全電容割集（即單樹支電容的割集）；否則不是．假設其中有p個這樣的全電容割集，分別記為：Cut1，Cut2，…，Cutm（0≤p≤m）；

2）對Cut1，Cut2，…，Cutm執行所有的環和，即先取任意2個求環和，然后取3個求環和，如此直至取m個求環和，并判斷，因此總的求環和的次數為＋＋…＋＝2m－1－m（m≥2）．記某次求環和所得到的集合為Ssum＝Cuti⊕Cutj⊕…⊕Cutk．其中（0＜i，j，k≤m，i≠j≠…≠k），若Ssum＝Cuti⊕Cutj＝Cuti∪Cutj，則Ssum為冗余項，則消除，說明本次環和所得到的新集合不是一個割集，它也不屬于Qa，即Ssum?Qa；否則，Ssum∈Qa．記所有屬于Qa的割集集合為：CSsumc1，CSsumc2，…，CSsumcr．顯然r小于等于Qa的維數．也就是說，含有樹支電容的割集除了Cut1，Cut2，…，Cutm以外，還有CSsumc1，CSsumc2，…，CSsumcr，但這些割集并不都是全電容割集．

3）判斷CSsumc1，CSsumc2，…，CSsumcr是否是全電容割集．任取其中一個割集CSsumci（0≤i≤r），判斷CSsumci的元素是否都是電容或者電流源，若是，則該割集為全電容割集；否則不是．記其中的全電容割集為ACSsumc1，ACSsumc2，…，ACSsumcq（0≤q≤r）．

4）網絡中的全電容割集為：ACC＝｛Cut1，Cut2，…，Cutp，ACSsumc1，ACSsumc2，…，ACSsumcq｝，其數目為：Nacc＝p＋q，但是，Nacc并不是網絡中“獨立”的全電容割集數．

2 電網絡中“獨立”的全電容割集及其數目

對于已經搜尋出的網絡中所有的全電容割集，它們并不是每一個都是“獨立”的．重記ACC中的每一集合，令：Acc1＝Cut1，Acc2＝Cut2，…，Accp＝Cutp，Accp＋1＝ACSsumc1，…，Accp＋q＝ACSsumcq，則：ACC＝｛Acc1，Acc2，…，Accp＋q｝．

從某種程度上說，ACC中每一個集合都是“獨立”的，但它們的“獨立”性具有一定的相對性．比如，假設Accj∈ACC（j＝1，2，3），但是Acc3＝Acc1⊕Acc2，那么可以認為其中的任意2個都是獨立的，另外一個可由其他2個求“環和”得到．根據KCL定理，每一個割集都對應一個方程，那么ACC就對應了一個方程組．這些割集不是“獨立”的原因，是因為方程組中的某些方程可以由其他的幾個方程通過線性變換得到，所以尋找獨立的割集過程也就是消除方程組的相關性的過程．當消除相關性以后，剩下的方程的個數，就是“獨立”的割集的個數．很顯然，仍然可以通過求環和的方法來消除這些多余的割集（也就是多余的方程）．令網絡中"獨立"的全電容割集個數為Nindac，非“獨立”的個數為K，這個過程可按如下步驟進行．

步驟1 先取出Acc1分別與Acc2，…，Accp＋q兩兩求環和．令K＝0，RN＝2．p＋q＝RN嗎？若是，則程序結束；否則往下執行．假設記：Set＝Acc1cct（2≤t≤p＋q），若Set∈ACC，則Set是一個割集，假設為Accj（3≤j≤p＋q），但它是非“獨立”的，消除它，程序中可將該集合的元素全部置“0”的方法來標記，同時K＝K＋1；否則，t＝t＋1，且Acc1不再與Accj求環和．

步驟2 對ACC中的剩下的非“0”向量每3個求環和．RN＝RN＋1，RN＝p＋q－K 嗎，若是，則程序結束；否則繼續．同步驟1一樣，如果環和所得到的集合仍為一個屬于ACC的元素，則消除它．

…

假設經過這樣的消除過程以后，ACC中的剩下的非“0”元素為（p＋q－K）個．

（p＋q－K－1） 在剩下的（p＋q－K）個非“0”集合中取（p＋q－K－1）個求環和．RN＝RN＋1，RN＝p＋q－K 嗎，若是，則程序結束；否則繼續．執行類似消除過程．

（p＋q－K） RN＝RN＋1，RN＝p＋q－K嗎，若是，則程序結束；否則繼續．結束程序．記錄ACC和K，則可將ACC中的集合中的“非”零的集合，作為“獨立”的全電容割集．其個數為：Nindac＝p＋q－K．

3 應用實例

考慮如圖1所示的電網絡．

圖1 電網絡

按前文的算法，文獻［1，4］中提到作者所在的課題組已經開發了一個分析電網絡的軟件［5－7］，利用該軟件不難得到一顆正則樹，同時得到樹支中的電容集合．如圖1軟件選擇C1，C2，C3，C4，C5，C6，R1，V1為樹枝，則上文中的步驟如下．

1）選定正則樹和確定樹支電容集合 令選取的樹支中電容集合為SBCap＝｛C1，C2，C3，C4，C5，C6｝．

2）找出樹支電容所對應的基本割集 Cut1＝｛C1，I1｝，Cut2＝｛C2，I1，L2｝，Cut3＝｛C3，L2｝，Cut4＝｛C4，L1，L2｝，Cut5＝｛C5，C7，L2｝，Cut6＝｛C6，R2｝．

3）確定全電容割集 對Cut1，Cut2，…，Cut6執行所有的環和，共執行26－1－6＝57次．限于篇幅，這里不列出所有的環和結果，這里只列出Step1－3－4的結果，也就是網絡中所有的全電容 割 集，ACC ＝ ｛Cut1，ACSsumc1，ACSsumc2，ACSsumc3，ACSsumc4，ACSsumc5｝，其中 Acc1＝Cut1＝｛C1，I1｝，Acc2＝ ACSsumc1＝｛C2，C3，I1｝，Acc3＝ ACSsumc2＝ ｛C2，C5，C7，I1｝，Acc4＝ACSsumc3＝｛C3，C5，C7｝，Acc5＝ ACSsumc4＝｛C1，C2，C3｝，Acc6＝ ACSsumc5＝｛C1，C2，C5，C7｝，所以程序執行到此，可以知道，p＝1，q＝5．接下來，找出這些全電容割集中的“獨立”的部分．

4）兩兩求環和 令RN＝2．p＋q＝6≠RN程序往下執行．開始執行求環和．如：Set＝Acc1⊕Acc2＝｛C1，C2，C3｝，顯然，Set＝Acc5，所以，可以認為Acc5是非獨立的，應消除它，同時令Acc5＝｛0｝，K＝1，Acc1不再與Acc5求環和．在還沒有消除Acc4之前，程序執行到Set＝Acc1⊕Acc4＝｛C1，I1，C3，C5，C7｝得到兩個割集的并集，則不必管它，不執行消除判斷．本例中，這一步還可消除Acc6＝Acc1⊕Acc3和Acc4＝Acc2⊕Acc3，所以K＝3．經過這一步，ACC中還剩下3個集合中的元素不為“0”，即（p＋q－K）＝1＋5－3＝3．

5）執行每3個集合求環和 RN＝RN＋1，RN＝p＋q－K＝3嗎，若是，則程序結束．由于只剩下3個集合，所以不可能再消除某一個集合，所以程序不再往下執行．記錄下Nindac＝p＋q－K＝3，而"獨立"的全電容割集就是Acc1，Acc2和Acc3．

4 結 論

如果某電網絡有NC個全電容割集，那么網絡的系數矩陣A有NC個“0”特征根．圖1中，利用分析軟件易知，網絡的復雜度為8，系數矩陣A的秩為5，且能控性矩陣的TC的秩為6，因此系統是不能控的，這意味著某個“0”根對應的狀態變量是能控的．進一步分析3個全電容割集，可以知道，在Cut1中，電容C1的電壓是能控的，這正是在分析系統結構性質時，需要找出這些“0”根的特殊結構，而研究這個算法的原因．

［1］Lu Kaisheng，Gao Guozhang．Various sufficient conditions of separability，reducibility，controllability and observability for electrical networks over F（z）［C］／／Proc．IEEE ICMLC，2007．

［2］Lu K S，Wei J N．Rational function matrices and structural controllability and observability［J］．IEE Proc－D，1991，138：388－394．

［3］Chen Shubai，Zuo Kai，Zhang Liangzhen．Network graph theory and its application ［M］．Beijing：Science Press，1982．

［4］Chen Waikai．Modern network analysis［M］．Beijing：People＇s Post ＆ Telecommunications Publishing House，1992．

［5］Guozhang Gao，Kaisheng Lu．Algorithms of analyzing RLC electrical network structure［J］．Proc．IEEE WCICA，2006，6：4 147－4 151．

［6］高國章，馮常奇，魯凱生．域F（z）上RLC電網絡結構性質分析的計算機實現［J］．武漢理工大學學報：交通科學與工程版，2006，30（1）：73－76．

［7］Zhang Ke，Gao Guozhang，Liu Guanmin，et al．A computer analysis program for finding state equation of RLC network over field of rational functions in muti－parameters［C］／／Proc IEEE Region 5 Technical Conference，2004：45－48．