改進的灰色模型在船閘通過量預測中的應用

王 馨 陶桂蘭 楊 正

（河海大學港口、海岸與近海工程學院 南京 210098）

船閘通過量預測是船閘擴容改建工程的決策依據和規劃基礎．常用的船閘通過量預測方法很多，如線性回歸法、彈性系數法、三次指數平滑法、灰色GM（1，1）模型等．各方法總體思想大致相同，以多年特征數據為基礎，運用線性或非線性增長函數或模型進行定量預測．前兩種方法是一種相關因素分析預測方法，后兩種是數據序列預測方法．船閘通過能力影響因素眾多，常規的預測方法并不能涵蓋所有因素的影響；三次指數平滑法雖然精度較高，預測終值趨于平穩，但始終只是單一數據量分析，不能反應其他因素的影響情況，并且當原模型數據少時，準確性越低．灰色模型，雖然也是數據量分析，但由于它分布顯示概率特性，以及本身的模糊性，可通過少量數據進行預測，建模過程簡單，模型表達式求解容易，應用日趨廣泛．

灰色模型進行短期預測精確度較高，但中長期預測效果并不好，有可能出現預測值偏大的結果．這主要與灰色模型的序列光滑度有關．當原始序列越平緩，模擬值精度較高．反之，模型偏差較大，通常無法用于中長期預測，甚至不宜作短期預測［1］．

本文對灰色GM（1，1）模型進行了改進，通過函數變換改變序列的光滑度，以積分逼近值代替均值提高發展系數精度，從而得到了比原GM（1，1）模型模擬精度高和適用范圍更廣的新模型．

1 灰色模型介紹

1．1 GM（1，1）模型

灰色模型預測是在數據不呈現一定規律下可以采取的一種建模和預測方法，其預測數據與原始數據存在一定的規律相似性．灰色模型尤其適用于存在不確定性和未知因素的動態預測．最簡單最常用的灰色模型為GM（1，1）模型．其主要理論是以灰色模塊為基礎，通過數據處理和微分擬合，進行動態預測．GM（1，1）模型如下．

1）建立原始時間序列

2）初始數據處理 對原始數據進行一次累加，形成新的時間序列，記1－AGO，為

其中：k為原始數據個數；

3）建立灰色微分方程

一階微分方程又稱白化方程，積分后可得到灰色模型

式中：b為模型的發展系數；u為待定系數；z為1－AGO序列相鄰時間間隔內的增長量，其值為

4）函數求解 為簡化計算，假定相鄰時間間隔內無突變，以均值代替積分值，取Z（1）為

式中：

假定φ為待辨識參數向量，可由最小二乘法求得

式中：

解微分方程得到灰色微分方程的時間響應函數為

5）預測方程 經過累減，進行數據還原可以得到原序列的預測值

1．2 GM（1，1）模型的改進

傳統的灰色GM（1，1）模型短期預測精確度較高，但中長期預測效果并不好，有可能出現預測值偏大的結果．這主要與灰色模型的序列光滑度有關．一般地，通過指數函數變換、冪函數變換、指數函數、冪函數復合變換，將初始序列變換為1－AGO序列，使序列變化趨于平緩，從而提高序列光滑度．

此外，從時間響應函數的解的形式可以看出，方程解的精度實際上取決于發展系數b的取值，而b的取值與相鄰時間間隔增長量z密切相關．由于假定數據在相鄰時間間隔內無突變，以均值代替z的積分值的辦法簡化計算，當發展系數取值較小時，傳統模型預測值滿足精確要求，若發展系數偏大，則傳統模型不再適用．文獻［2］通過z值處理，即用積分逼近真實值代替均值計算相鄰時間間隔增長量z，來拓展發展系數b的取值范圍．經過傳統模型與z值處理模型在不同發展系數下的擬合精度比較，驗證了z值處理后的模型可提高b的取值范圍，從而增強模型的適用性．

本文采用冪函數變換對初始數列處理，同時以積分逼近值代替均值提高發展系數取值，從而得到了比原GM（1，1）模型模擬精度高和適用范圍更廣的新模型．

1）原始序列處理 引入冪函數a－xm（a＞1，m＞1），將x（0）進行冪函數變換，得到新的序列x（1），對于序列x（1），累加得到1－AGO 序列x（2）．從冪函數的形式可以看出，不同的a和m 的取值，會產生不同的新序列，從而得到不同的預測模型．文獻［3］經過數學定理驗證了只要滿足a＞1，m＞1，冪函數即為光滑離散函數，通過相應的冪函數變換提高序列的光滑度．為得到效果較好的預測模型，通常采用試算的方法，通過多次數據擬合，選定一組使得預測模型擬合精度較好的a和m值，從而確定冪函數的形式，進行冪函數變換．

2）z值積分逼近 文獻［4］從灰色模型原理出發，認為一切經過累加后的序列，均以指數形式增長．將x（2）以指數時間函數擬合，即：x（2）（t）＝B eAt，經過累加變化，得到從而得到z（i）的積分逼近值為

3）預測方法 重復前節所述步驟，得到模型響應函數，求解即得到冪函數變換序列下的預測值．然后通過指數－對數還原，得到原始序列下的預測值．

2 實例驗證

本文采取蘇北運河1990年至1996年累積貨物通過量作為原始數據，分別建立原始預測模型和本文改進預測模型，運用自編matlab程序計算，預測1997年至2001年貨運量．為敘述方便，下文分別記為原始模型、新模型．

2．1 響應函數

本文通過初始數據冪函數變換、z值處理和函數響應，建立改進的GM（1，1）模型，即新模型．經過多次數據擬合，選取a取1．14，m取1．06，可以平均相對誤差絕對值最小，模型精度最高．經過冪函數變換后的數據所擬合的灰色方程的響應函數為

原始模型時間響應函數為

2．2 模型檢驗

建立的預測模型是否合理，預測結果的精度是否滿足要求，通常采用原點檢驗法檢驗．原點檢驗法即以相對誤差絕對平均值來反映原始數據與擬合數據的接近程度，一般地，當相對誤差絕對平均值小于5%時，可以認為模型誤差合格．

經過函數響應，得到原始模型和新模型的預測結果，現通過原點檢驗法檢驗模型的合理性和精度．兩模型擬合量及誤差分析見表1．各模型的相對誤差絕對平均值在允許范圍內，其建立的擬合曲線可以作為預測曲線使用．

表1 模型擬合量與誤差比對表

2．3 模型預測

運用原始模型和新模型預測1997～2009年蘇北運河船閘累積貨物通過量．1997～2001年為短期預測，預測結果見表2；2002～2009年為中長期預測［5－7］，預測結果見表3．

2．4 模型精度分析

現繪出模型短期預測曲線與實際量曲線比對圖（見圖1），結合上節各擬合、預測表，可以得出以下結論：（1）兩模型擬合值關聯度較好、相差不大，而預測值差異很大．從預測結果來看，新模型無論短期預測還是中長期預測，預測結果比較接近實際值，而原始模型預測值與實際值差異較大．2001年原始模型預測量超過實際量40%以上，原始模型短期預測效果并不理想．而2009年預測結果來看，原始模型預測量與實際貨運量的比值達到220%，原始模型基本不適用于中長期預測；（2）原始模型擬合量相對誤差絕對平均值為2．28%；而新模型擬合量相對誤差絕對平均值為1．80%．后者誤差平均值較前者減小了約1／5；（3）從短期預測曲線來看，新模型預測曲線較為平緩，且接近實際量走勢線；原始模型預測曲線較陡，偏離實際值走勢線．

表2 1997～2001年蘇北運河船閘累積貨物通過量億t

表3 2002～2009年蘇北船閘累積貨物通過量 億t

顯然，新模型預測結果較好、精度較高、適用范圍更廣．這是由于新模型結合了冪模型和z模型的改進特性，不僅預測結果趨于平穩、接近實際值，又有效提高了模型精度、增強了模型適應性．

圖1 模型短期預測曲線與實際運量曲線比對圖

3 結束語

由表3可見，自2004年起蘇北船閘累積貨運實際量比新模型預測量偏高．這是由于“十一五”期間，蘇北10個梯級船閘陸續開展了擴容改造工程建設，蘇北船閘累積貨物通過量明顯提高．由于新模型以1997年以前數據為原始數據，未能及時反映數據變化新特性，新模型預測量偏于保守．在實際船閘工程貨物通過量預測中，還要充分考慮國民經濟發展趨勢，結合其他預測方法的結果，綜合考量，確定合理的預測量．

綜上所述，新模型既適用于短期預測，又適用于中長期預測，可以作為船閘貨運量預測模型廣泛應用于實際工程中．

［1］吳春廣．灰色預測模型的進一步改進［J］．赤峰學院學報：自然科學版，2008，24（5）：5－7．

［2］羅 黨，劉思峰，黨耀國．灰色模型 GM（1，1）優化［J］．中國工程科學，2003，5（8）：50－53．

［3］陳 潔，許長新．改進的灰色模型在港口吞吐量預測中的應用［J］．水運工程，2005（1）：20－23．

［4］何 斌，蒙 清．灰色預測模型拓廣方法研究［J］．系統工程理論與實踐，2002（9）：137－140．

［5］錢 芳．水運量預測方法與應用［D］．南京：河海大學交通學院，2006．

［6］文 軍．基于灰色馬爾可夫鏈模型的航空貨運量預測研究［J］．武漢理工大學學報：交通科學與工程版，2010，34（4）：695－698．

［7］宋中民．灰色區間預測的新方法［J］．武漢理工大學學報：交通科學與工程版，2002，26（6）：796－799．