點接觸擺線行星傳動齒面構建方法

易文翠 陳兵奎 李海翔

1.重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶，400030

2.重慶電子工程職業學院，重慶，401331

0 引言

擺線類行星傳動具有傳動比大、剛性好、結構緊湊、傳動精度高等特性，在國防工業及國民經濟建設的各個領域獲得了廣泛的應用。近年來不少學者在擺線齒輪嚙合傳動理論方面作了有益的工作。Livtin等［1-2］推導了擺線齒廓的共軛嚙合方程，得到了齒廓的生成方法，并對齒面接觸特性進行了研究。Lai等［3-5］根據曲面單參數的包絡方法建立了擺線針輪傳動的嚙合方程，并對擺線行星輪的設計方法和加工方法進行了研究。文獻［6-9］推導了移距修形、等距修形及轉角修形的擺線輪齒形通用方程式。文獻［10-11］根據齒輪嚙合原理，建立了行星輪共軛齒廓的通用方程和錐形擺線齒廓方程，并對嚙合特性進行了系統分析。上述研究中的擺線針輪共軛嚙合齒面接觸為線接觸，線接觸輪齒通常有摩擦和滑動，而滑動是齒面磨損、產生熱量和功率損耗、降低效率、縮短壽命的重要因素。

本文根據齒輪嚙合原理，在擺線針輪行星傳動曲面共軛的基礎上，研究曲面與曲線的接觸問題;對點接觸擺線行星傳動的概念作出了定義，提出了點接觸擺線行星傳動的產生方法，建立了相應的幾何學理論，構建了管狀嚙合齒面;推導了針齒嚙合管齒面與擺線輪的點接觸嚙合副的齒面方程和接觸線方程，給出了針齒嚙合管的位置參數和嚙合管半徑的選擇方法，分析討論了點接觸擺線行星傳動的特性。

1 點接觸擺線行星傳動的形成方法

圖1中，曲面Σ1和曲面Σ2分別為齒輪1和齒輪2上已知的兩個相互共軛的擺線針輪齒面，曲線Γ1為曲面Σ1上選取的一條光滑曲線，曲線Γ2為曲面Σ2上與曲線Γ1相共軛的曲線。

在保持曲面Σ2不變的情況下，在曲面Σ1上選定曲線Γ1。Γ1應同時滿足以下4個條件:①Γ1上任一點的主法矢方向和原齒面上同一位置點的法線方向相同;②Γ1∈Σ1，即所選曲線在曲面Σ1上;③Γ1在自變量的定義域內是關于自變量的無窮可導函數，即Γ1是一條光滑曲線;④Γ1在原共軛齒面整個嚙合區都有取值。

圖1 擺線行星傳動點接觸示意圖

滿足上述4個條件的曲線Γ1與曲面Σ2按原給定方式運動時，可保持在各接觸點連續相切接觸，因此為曲線與曲面接觸，故稱Γ1和Σ2構成點接觸嚙合。

因現實中曲線不能單獨存在，且不具備傳遞運動和動力的能力，故需構造一個新的曲面∑3，該曲面應包含曲線Γ1，且在嚙合過程中只有曲線Γ1參與接觸，如圖1所示，即形成點接觸嚙合。

2 點接觸擺線行星傳動的基本理論

2.1 擺線針輪行星傳動共軛齒廓方程

圖2所示的坐標系中，在針輪與行星輪的中心分別建立與之固連的動坐標系S1(O1X1Y1Z1)和S2(O2X2Y2Z2)，在針齒中心建立動坐標系Sz(OzXzYzZz)，在針輪中心建立整體固定坐標系S(OXYZ)。在初始位置，X軸和X1軸重合，X2軸、Xz軸與X軸平行。針齒中心分布圓半徑為Rz，針齒的半徑為rz，針輪、行星輪的齒數分別為zb和zg，兩輪中心距(輸入轉臂軸承的偏心距)為e。為簡化問題，采用轉臂(曲柄)O1O2固定法。將行星輪繞Z2軸逆時針旋轉α角，根據相對運動關系，針輪將隨行星輪繞Z1軸逆時針旋轉β角。

根據文獻［11］，可寫出針齒齒廓在S1中的方程:

式中，θ為在任何位置均對輪齒形狀無影響的角參量。

擺線輪齒廓在S2中的方程為

圖2 固定坐標系與動坐標系

2.2 針齒面上光滑曲線的選取

為便于描述，在擺線針輪行星傳動針齒齒面上選取曲線Γ1，構造新的曲面Σ3來代替針齒齒面，如圖1所示。

如圖3所示，按前述4個條件在針齒上選定曲線Γ1，由式(1)可得Γ1在S1坐標系中的方程:

式中，θ1、θ2分別為針齒參與嚙合的最小轉角和最大轉角;f(θ)為曲線在軸向的變化函數，f(θ)可以是螺旋線、正弦曲線、余弦曲線等。

圖3 針齒嚙合管示意圖

2.3 針齒嚙合管齒面的構建

如圖3所示，Γ3為Γ1的等距線，等距量為r，由式(3)可得Γ3在S1坐標系中的方程:

式中，A為原針齒圓柱面半徑與等距量之差，A=rz－r。

根據微分幾何［11］，以等距線Γ3為球心軌跡線，等距量r為半徑的球族方程為

式中，ω、γ為球面參數，0≤ω≤2π，0≤γ≤2π。

根據單參數曲面族的包絡理論［10］，球族包絡面的嚙合方程為

式中，rω、rγ、rθ為曲面族 r(ω，γ，θ)對參數 ω、γ、θ的偏微導。

聯立式(5)、式(6)可得球族管狀包絡面方程Σ3在S1坐標系中的方程:

此時，球族管狀包絡面Σ3與原針齒面Σ1恒定相切于曲線Γ1，曲線Γ1是包絡面Σ3上的一條脊線;嚙合過程中，包絡面Σ3上只有曲線Γ1參與嚙合，即球族管狀包絡面Σ3與曲面Σ2構成點接觸共軛嚙合，將球族管狀包絡面Σ3稱為嚙合管齒面。

2.4 擺線輪上的接觸線

根據齒輪嚙合原理，Γ1的共軛曲線Γ2在S2中的方程為

式中，M21為坐標系 O1βX1βY1βZ1β到坐標系 O2αX2αY2αZ2α的變換矩陣。

將式(9)～式(11)代入式(8)，得到Γ1在S2中的共軛曲線Γ2的方程:

3 點接觸擺線行星傳動設計實例

3.1 光滑曲線的選取

圓柱螺旋線是圓柱面上的光滑曲線，且具有曲率和撓率都是常數但不為零的性質，因此將原針齒圓柱面上一條圓柱螺旋線作為曲線Γ1。此時，由式(3)可得Γ1在S1中的方程:

式中，P為螺旋線節距，P=B/(θ2－θ1);B為齒寬。

根據式(7)，針齒嚙合管齒面在S1中的方程為

根據式(12)，擺線內齒輪上的接觸線Γ2在S2方程為

3.2 針齒嚙合管齒面參數

3.2.1 位置參數

根據文獻［12］可知，擺線針輪嚙合時，針齒只是部分參與運動，并且擺線針輪行星運動過程中，針齒存在兩次接觸。如圖4所示，針齒在嚙合過程中只有K1K'n部分齒廓參與嚙合，所以針齒始終重復著由K1轉至K'n，再反向轉回K1的運動。K'n處是針齒與擺線輪的凸齒、凹齒接觸轉換點，在K1處，針齒上的這點分別與擺線輪的凸齒、凹齒接觸。用嚙合管齒面代替針齒齒面后，為了不改變原來的嚙合特性，將螺旋線Γ1的起點選擇在K1點，終點選擇在Kn點，Kn在端面上的投影為K'n。那么在嚙合過程中，嚙合管齒面就重復著K1→Kn→K1的轉動，在端面上就是K1→K'n→K1的轉動。這樣可繼承原擺線針輪行星傳動的嚙合特性。

圖4 針齒嚙合管齒面示意圖

本例將K1點放在Yz軸上，則此時θ1=π/2，θ2可以根據文獻［12］中的公式計算出來。因傳動過程有正反轉，在針齒的另一側按上述方法選擇一條Γ1的等距線Γ'1就是針齒反轉接觸線。

3.2.2 嚙合管半徑

為保證嚙合管齒面Σ3上只有曲線Γ2參與嚙合，嚙合管半徑必須滿足r＜rz。同時，為保證用嚙合管齒面代替原針齒齒面時嚙合特性改變量較小，嚙合管的半徑r又不能取太小。圖4為針齒嚙合管齒面單齒齒形示意圖。

3.3 點接觸擺線行星傳動特性分析

將式(2)和式(13)進行比較可知，兩式中的x坐標、y坐標的表達式相同，因此針齒上給定的光滑曲線Γ1的共軛曲線Γ2在擺線輪上，并且該曲線沿Z軸方向按P(θ－θ1)變化，是一條擺線柱面螺線。

嚙合副中的擺線輪齒廓沒有任何的變化，只是用嚙合管齒面代替了原來的針齒齒廓。嚙合管齒面和針齒圓柱面相切于曲線Γ1處，Γ1為嚙合管齒面上的一條脊線，如圖4所示，其余各點的曲率半徑小于原針齒半徑，所以在嚙合過程中均不與擺線齒面接觸，即嚙合管齒面上只有曲線Γ1參與嚙合，從而具有點接觸的性質。

嚙合管齒面和擺線輪齒面的端面投影與傳統的擺線針輪行星傳動相同。如圖4所示，嚙合管齒面上的接觸曲線就是原針齒上的一條曲線，由前述曲線的選取條件可知，這條曲線在整個針齒嚙合區域內都有取值，因此點接觸的擺線行星傳動可繼承傳統擺線針輪行星傳動的嚙合齒數多、重合度大、嚙入嚙出平穩、誤差平均效應顯著等優點。

3.4 實體模型

本文所研究的點接觸擺線針輪行星傳動裝置，是在針齒上選擇一條圓柱螺旋線為光滑曲線構造嚙合管齒面，以嚙合管齒面為針輪新齒面同擺線輪相嚙合。點接觸擺線行星傳動基本參數如表1所示。

表1 點接觸擺線行星傳動參數表

根據表1中點接觸擺線行星傳動的幾何參數，利用三維建模軟件創建內齒輪三維實體模型(圖5)，其嚙合管齒面實體模型如圖6所示。

圖5 針輪實體模型

圖6 嚙合管齒面模型

4 結論

(1)提出了點接觸擺線行星傳動的定義，并給出由擺線針輪共軛嚙合副齒面形成點接觸共軛嚙合的一般方法。

(2)推導了點接觸擺線行星傳動的嚙合管齒面方程及與其共軛的齒面接觸線方程。

(3)以擺線行星傳動為基礎，在針齒上選擇一條圓柱螺旋線為光滑曲線來構造針齒嚙合管齒面，以嚙合管齒面同擺線輪齒面相嚙合所形成的點接觸擺線行星傳動為設計實例，確定其轉角參數和嚙合管半徑，討論了點接觸擺線行星傳動的特性。

(4)給出了點接觸擺線行星傳動裝置的設計參數，構建了針輪及嚙合管齒面實體模型。

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