葉輪流道非正交四軸加工的刀軸控制方法

吳寶海 韓飛燕 楊建華 秦 濤

1.西北工業大學現代設計與集成制造技術教育部重點實驗室，西安，710072

2.西安航空發動機(集團)有限公司，西安，710021

0 引言

自由曲面葉輪廣泛應用于航空、航天等領域，它工作轉速高、形狀復雜、加工精度高，而葉輪流道型面的加工精度對整機性能有著重要的影響。目前國內外自由曲面葉輪大多采用五軸聯動的加工方式進行加工［1］，但五軸機床價格昂貴，而且我國許多葉輪生產廠家仍有大量四軸設備，從加工成本和生產實際情況考慮，研究葉輪的四軸數控加工方法對于開發現有設備的加工潛力、降低葉輪加工成本有著重要的現實意義。

在流道加工中，由于刀具伸入葉輪長度最大，同時還要避免刀具與葉片壓力面和吸力面的干涉，因此，流道加工的刀軸控制是自由曲面葉輪加工中最為關鍵的內容。與五軸加工中刀軸為一自由矢量相比，四軸加工的刀軸被約束在其擺刀平面上，因此，葉輪流道四軸加工中刀軸控制更加困難，刀軸控制直接決定了葉輪四軸加工的可能性、加工質量和效率。許多學者針對自由曲面［2-4］的刀軸控制方法開展了大量研究，而針對自由曲面葉輪流道加工刀軸控制方法的研究甚少。文獻［5］通過對流道兩側葉片壓力面和吸力面相應的精加工刀軸矢量進行線性插值得到流道粗加工的刀軸矢量，但該方法無法保證刀軸在整個流道加工切削軌跡上光滑過渡。文獻［6］提出了一種新的側刃銑削五軸加工葉輪流道刀軌生成算法，該算法通過設置刀軸矢量變化的閾值并采用集合碰撞體，實現了刀軸的全局碰撞快速檢查，但該方法并未涉及干涉后刀軸的修正問題。文獻［7］借鑒動畫制作中設置關鍵幀的思想，提出了一種新的全局過渡光滑的刀軸矢量生成方法，該方法需要在干涉位置重復插入關鍵刀軸來修正干涉，降低了算法速度。上述刀軸控制方法僅適用于五軸加工，對于四軸加工，文獻［8-9］開展了相關研究，但都是基于曲面的局部信息，計算出每一個切觸點處無干涉的刀軸，沒有考慮相鄰刀軸矢量之間的光滑過渡問題。文獻［8］在一組錐形面矢量組中，求取與由曲面局部信息計算出的刀軸矢量最相近的矢量作為最終刀軸，該方法可能會出現修正后仍無法避免干涉的刀軸。文獻［9］利用兩個圓錐面求交集并結合葉輪加工的特點給出了非正交四軸加工刀軸矢量的確定方法，該方法的缺點是初始后跟角的取值對算法收斂性影響較大。

本文針對自由曲面葉輪流道非正交四軸加工的刀軸控制，提出在約束刀軸的單位圓錐面上，由流道兩側相應的清根刀軸來旋轉插值流道加工的刀軸矢量的方法。

1 非正交四軸加工刀軸約束面的建立

在自由曲面葉輪的四軸加工中，為了增加葉輪的加工開敞性、減小刀具深入流道的長度以降低碰撞干涉發生的可能性，需將工作臺傾斜一定的角度，使四軸機床成為非正交四軸機床，如圖1所示。

圖1 帶傾斜回轉工作臺的四軸加工示意圖

圖1中，機床的平動坐標軸為 XM、YM、ZM，旋轉運動為繞工作臺回轉軸線的轉動。工作臺繞XM軸旋轉角度α后，工作臺的回轉軸線變為R軸，不再與機床的平動坐標軸重合。在刀具軌跡規劃中，工作臺的旋轉可看作是刀軸繞回轉軸R的擺動，因此，刀軸矢量不再被約束在常規四軸加工的擺刀平面內，而是被約束在以回轉軸 R為軸，π/2－α為半頂角的圓錐面上，所以滿足該四軸機床約束條件的所有刀軸就位于一系列回轉軸線平行于R，半頂角為π/2－α的圓錐面上。研究該非正交四軸加工的核心問題即是如何在這一系列圓錐面上確定合適的刀軸矢量以實現對給定曲面的加工。

基于此，在工件坐標系下建立以原點OW為頂點，回轉軸線R為軸，π/2－α為半頂角的單位圓錐作為刀軸約束面，如圖2所示，使滿足約束條件的刀軸矢量經過平移后都位于該單位圓錐面上，從而將四軸機床加工的核心問題轉化為如何在單位圓錐面上確定合適刀軸的問題。

圖2 單位圓錐母線繞回轉軸旋轉示意圖

在工件坐標系OWXWYWZW中，回轉軸線R的初始矢量為(0，0，1)，繞YW軸旋轉角度α后回轉軸矢量R的表達式為

單位圓錐面S的表達式為

2 清根刀軸的確定

從幾何構造的角度考慮，離心葉輪流道是由葉片葉根曲線繞軸線旋轉一周得到的曲面，因此，流道加工的軌跡分布及刀軸也可由清根軌跡及刀軸通過插值的方式獲得。本文首先計算清根切觸點的初始刀軸，然后將初始刀軸向單位圓錐面投影，再將投影矢量在圓錐表面上旋轉修正來計算各個切觸點處無干涉的清根刀軸。

2.1 清根初始刀軸的計算

在流道加工中，初始刀軸的選取應盡量保證實際加工中刀具深入流道的長度最短，且在切削軌跡上盡量均勻變化。根據上述原則，清根初始刀軸的確定如圖3所示。假設清根切觸軌跡C1已知，C1i為C1上第i個切觸點，L為葉片壓力面Sp的葉頂線，在流道進出口位置，為了保證仍能得到合適的初始刀軸，將L沿其切向延長一段距離，按照點到曲線的距離計算出垂足pc，連接垂足pc與切觸點C1i作為初始刀軸。本文定義切觸點C1i處的初始刀軸為l0i=pc－ C1i，l01、l0n分別為流道進出口切觸點處的初始刀軸矢量。

圖3 初始刀軸示意圖

2.2 無干涉清根刀軸的計算

流道清根初始刀軸可能不滿足非正交四軸加工的刀軸約束條件，即不在刀軸約束面上，因此，需將初始刀軸平移至單位圓錐頂點后向圓錐表面S投影，并在圓錐面上進行碰撞干涉的檢測與修正，使投影后的初始刀軸滿足刀軸約束條件且無干涉。初始刀軸平移至圓錐頂點時會出現三種情況:第一種是平移后的矢量l0在圓錐外部(圖4a);第二種是平移后的矢量l0在圓錐內部(圖4b);第三種是平移后的矢量在圓錐表面S上，這種情況不需計算。下面計算平移后的初始刀軸在圓錐內部和外部時向圓錐表面投影后得到的刀軸矢量。

圖4 初始刀軸投影示意圖

由幾何學知識可知，矢量l0在單位圓錐面S上投影的刀軸矢量即為過矢量l0與回轉軸R構成的平面S0與單位圓錐面S的交線OP與OP'。由解析幾何知識可知:

且P點為單位圓錐圓周上的點，因此

假設OP 為(x，y，z)，矢量 l0為(l0x，l0y，l0z)，那么聯立式(2)～式(4)，得

其中，l0、α 已知，且 z∈ (0，sin2α)，由式(5)可求出兩個刀軸矢量(x1，y1，z1)和(x2，y2，z2)，記為l1、l2。如圖4所示，這種情況下得到兩個刀軸矢量l1和l2在數學上均滿足四軸加工的條件，而在實際加工中只有一個刀軸矢量是合理的，文獻［9］給出了如何在l1、l2中選取合理的刀軸矢量的判斷方法。

圖5 合理刀軸矢量的選取

選取的合理刀軸矢量雖滿足刀軸約束條件，但仍可能會與流道兩側葉片發生碰撞干涉，因此需對其進行干涉檢查及修正。干涉檢查可采用基于距離監視的方法［10］，而刀軸的修正可通過調整刀軸在單位圓錐面上的位置來實現(如圖5所示，若選取的合理刀軸矢量l1發生干涉，可以將l1繞單位圓錐回轉軸R朝向遠離干涉曲面的方向旋轉一個合適的角度)。

3 流道加工刀軸的確定

在葉輪流道兩側清根刀軸確定的情況下，流道加工刀軸的計算可采用矢量插值的方法。為滿足非正交四軸機床的刀軸約束條件，本文采用在刀軸約束面上旋轉插值清根刀軸矢量的方法來計算流道加工刀軸矢量，并采用機床運動學優化方法對流道加工同一個切削行上的刀軸進行了光順處理。

3.1 流道清根切觸軌跡的對應處理

采用本文方法計算流道加工的刀軸時，首先要保證流道兩側清根軌跡上的切觸點數目是相等的，且序列號相同的切觸點應該在同一個流道周向回轉圓周上，這樣兩條清根軌跡上的切觸點才是一一對應的，才能使插值后的周向刀軸在同一個回轉圓周上連續變化。而在流道加工中，由于流道曲面不是規則曲面，因此流道兩側清根軌跡線上切觸點數目可能不相同。按照切觸點序列依次旋轉插值流道周向刀軸時，序列號相同的切觸點在流道曲面上的位置就可能不在同一個圓周上，而在數控加工中，不同切觸點處的刀軸矢量是不同的。在這種情況下，需對清根軌跡上的切觸點進行對應處理，使清根軌跡具有相同的切觸點數目，且序列號相同的切觸點位于同一個回轉圓周上。

假設流道清根切觸軌跡分別為C1、C2，在C1、C2中選取切觸點較多的那條作為基準線，并計算與之一一對應的另一條清根切觸軌跡。若C1為基準線，延長C2。計算C1上某一點C1i到葉輪回轉軸R 的距離為 di，建立 di、nt、C2、R 與曲線 C2對應的參數ui的映射關系:

其中，nt是C2的切觸點數目，R是葉輪回轉軸。得到ui后可以在C2中找到一個與C1i具有相同回轉半徑di的切觸點C2i，依次重新計算出一條與C1一一對應的清根軌跡C2，如圖6所示。則由對應處理后的C1、C2計算的清根刀軸，經過旋轉插值后得到的流道周向刀軸是在同一個流道回轉圓周上連續變化的。

圖6 對應清根軌跡計算示意圖

3.2 旋轉插值方法

為滿足非正交四軸機床的刀軸約束條件，可采用旋轉插值的方法根據清跟刀軸和流道加工軌跡線確定流道加工的刀軸分布。旋轉插值方法的原理是將刀軸矢量繞單位圓錐回轉軸R沿插值方向旋轉，插值區域是清根刀軸在圓錐面上確定的扇形曲面區域，旋轉插值的方向和角度根據清根軌跡上對應切觸點處的刀軸矢量在單位圓錐面上的位置來計算。因此，旋轉插值方法可以保證插值后的矢量都位于刀軸約束面上，且均勻變化。

由上述方法計算出的清根刀軸矢量滿足刀軸約束條件，平移到單位圓錐頂點后仍位于圓錐表面上，相當于一條圓錐母線。平移后的刀軸繞圓錐回轉軸R的旋轉過程，可看作矢量繞過原點的空間任意軸線的旋轉過程。如圖2所示，根據計算機圖形學中的旋轉變換方法，矢量l繞R軸旋轉θ角后的矢量為

這種插值方法不僅保證了流道加工的刀軸矢量位于非正交四軸機床的刀軸控制面上，而且能保證插值后的刀軸完全位于流道壓力面、吸力面清根刀軸所圍成的空間內。因此，只要流道兩側清根刀軸無干涉，就能保證插值獲得的流道加工刀軸不會與相鄰葉片發生碰撞干涉，從而避免了對流道加工刀具碰撞干涉的檢查及修正。

3.3 旋轉角度及插值方向的確定

如圖 7 所示，Ti，1、Ti，n分別為流道兩側清根軌跡C1、Cn上第i個切觸點對應的清根刀軸，M、N分別為 Ti，1、Ti，n與單位圓錐圓周線的交點。清根刀軸Ti，1與Ti，n在單位圓錐面S上確定的曲面區域為S1，曲面S1在圓錐圓周線上對應的曲線段為MN，MN在圓錐頂面上確定了一個圓心角θi，θi就是 Ti，1和 Ti，n在圓錐上確定的圓心角，也就是清根刀軸 Ti，1和Ti，n之間旋轉插值的總角度。

圖7 插值方向示意圖

第i行第j列的葉輪周向刀軸Ti，j對應的旋轉插值角度為

其中，sign(θ)是與刀軸旋轉方向有關的系數，n是流道加工切削行數目，m是一條切削行軌跡上的切觸點數目。

在葉輪流道加工中，本文定義清根刀軸Ti，1、Ti，n之間的插值方向為由 Ti，1變換到 Ti，n時的旋轉方向。因此，如果(Ti，1× Ti，n)·R ＞ 0，說明 Ti，1在 Ti，n左側(圖 7a)，插值方向為由 Ti，1逆時針旋轉到 Ti，n;如果(Ti，1× Ti，n)·R ＜ 0，說明 Ti，1在Ti，n右側(圖 7b)，插值方向為由 Ti，1順時針旋轉到 Ti，n。

因此，在確定旋轉角度及插值方向后，流道第i 行第 j列的刀軸矢量 Ti，j可以由 Ti，1、Ti，n、θi，j代入式(10)來計算。由于流道周向的旋轉插值角度θi，j是均勻變化的，所以對應切觸點處的刀軸旋轉插值后得到的周向刀軸矢量 Ti，j也是連續變化的。

3.4 流道加工切削行內相鄰刀軸的光順

采用上述方法計算的刀軸矢量，只能保證在每一個切觸點處流道周向刀軸是無干涉且連續變化的，而不能保證同一個切削行內相鄰刀軸矢量之間是光滑過渡的。因此，需要對同一個切削行內的刀軸再進行光順處理。

對于圖1所示非正交四軸機床，刀軸只有一個繞回轉軸R的轉動自由度，當刀軸繞R相對初始刀軸位置(如圖1所示，在該四軸機床中，初始刀軸位置為主軸位置(0，0，1)，其在工件坐標系下為(1，0，0))轉動θ后，就與初始刀軸在約束刀軸的圓錐上確定一個圓心角θ，因此對相鄰刀軸的光順可以通過約束相鄰刀軸之間的圓心角來實現，即

其中，δθ表示刀具由切觸點Ci運動到切觸點Ci+1時，刀軸由Ti(θi)變換到Ti+1(θi+1)的轉動速度，λθ為圖1所示機床工作臺轉動時的速度約束值，vi為當前切觸點的進給速度，本文中假定加工時刀具的進給速度恒定。

4 算例分析

為驗證本文方法的正確性與有效性，以圖8所示自由曲面葉輪為研究對象進行了驗證。該葉輪高度為 250mm，內徑為 372mm，外徑為1130mm，具有22個等長葉片，流道最窄處寬度為49.775mm，葉片型面為空間扭曲自由曲面且最大高度為275mm。與直紋面三元葉輪相比，自由曲面葉輪沿葉片高度方向扭曲更為嚴重，且在葉片壓力面側存在內凹現象，導致刀軸控制更加困難。

圖9、圖10分別為采用本文方法生成的清根軌跡與流道一條切削軌跡上的刀軸分布圖，圖11所示為流道周向插值的刀軸分布。由圖9～圖11可知，本文方法獲得的流道加工切削行軌跡上的刀軸及其周向插值的刀軸都是連續變化的。

圖8 葉輪示意圖

圖9 流道清根刀軸示意圖

圖10 流道一條切削軌跡刀軸示意圖

圖11 流道周向刀軸示意圖

對于非正交四軸加工來說，每個切觸點處的刀軸矢量唯一對應一個繞單位圓錐回轉軸的旋轉角度。如果切削行軌跡上刀軸矢量是平滑變化的，那么它繞回轉軸的旋轉角度應該是連續變化的。由此可知，流道加工中刀軸對應的旋轉角度在一個切削行內是連續變化的。在非正交四軸機床實際加工過程中，刀軸矢量繞回轉軸R的旋轉是通過機床工作臺的旋轉來完成的。相鄰刀軸矢量之間旋轉角度的增量變化情況會影響機床工作臺轉動的平穩性。在一個切削行軌跡上刀軸的旋轉角度連續變化并不能說明相鄰刀軸的旋轉角度就不會產生劇烈變化。

圖12、圖13分別為清根刀軸和流道一條切削軌跡上相鄰刀軸之間的旋轉角度增量變化圖。由圖可知，這兩條切削行軌跡上相鄰刀軸對應的旋轉角度最大變化量分別為3.512°和1.569°。由此可見，流道切削行軌跡上相鄰刀軸的旋轉角度無劇烈變化，這意味著在流道加工過程中機床工作臺的轉動較為平穩，在一定程度上確保了機床運行的穩定性，從而保證了加工的精度。

圖12 流道壓力面清根刀軸旋轉角度增量變化圖

圖13 流道一條切削軌跡上刀軸旋轉角度增量變化圖

本文方法適用于流道開敞性相對較好的自由曲面、直紋面類型的三元離心葉輪的加工，包括長葉片和長短葉片兩種形式。對于流道開敞性較差的離心葉輪，可通過旋轉工作臺傾斜角度的優化和調整實現其四軸加工，也可通過增加分度機構進一步增強四軸機床加工離心葉輪的能力。對于葉片稠度大且扭曲嚴重的離心葉輪，仍然需要五軸聯動加工設備進行加工。

5 結論

(1)依據非正交四軸機床特性，建立滿足刀軸約束條件的單位圓錐，在該單位圓錐面上旋轉插值刀軸的控制方法簡單易行。

(2)本文通過對一個等長葉片形式的自由曲面葉輪流道加工的刀軸控制進行具體計算，算例分析結果表明，本文方法可以獲得葉輪流道非正交四軸加工既無干涉又較為均勻變化的刀軸矢量，并且能夠保證加工過程中機床的運行較為平穩。

(3)本文方法可以準確、有效地解決等長葉片形式的自由曲面葉輪流道非正交四軸加工中刀軸矢量的控制問題，同樣也適用于長短葉片形式的自由曲面葉輪加工。與五軸加工相比，本文方法更具實用性和經濟性。

(4)通過對工作臺傾斜角度的優化選取，可以進一步發掘四軸機床加工自由曲面葉輪的能力。

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