五軸聯動數控加工的刀具路徑優化方法研究

趙 鵬 樓佩煌 劉明燈 胡榮華

1.南京航空航天大學，南京，210016 2.南京四開電子企業有限公司，南京，210007

0 引言

在復雜曲面高速、高效、高精度加工中，五軸聯動數控是目前研究和發展的重要方向。由于ISO6983規定的NC代碼標準和五軸刀具路徑規劃算法的限制，CAM將CAD中的參數曲線模型離散為微小直線段進行規劃，生成一階不連續的刀具路徑，造成各驅動軸的運動路徑呈現離散特征，在加工中發生速度和加速度的跳動，影響機床動態特性，并降低了零件輪廓加工精度和表面質量。這些刀具路徑的不連續性缺陷在后續處理的速度規劃和插補中無法進行補償。現代CNC期望直接處理參數曲線信息以獲得平滑的刀具路徑，一些廠家的CNC提供了參數曲線插補功能，與傳統直線插補方式相比，可以得到更高的加工精度［1－2］。然而由于五軸聯動中旋轉軸附加運動路徑與工件坐標系沒有線性映射關系，造成五軸加工刀具路徑規劃困難，國際上只有極少數高檔CAM軟件支持輸出五軸聯動加工的參數曲線NC代碼，但這些CAM軟件價格昂貴。有學者將刀具路徑平滑算法作為獨立模塊并將其作為CAD／CAM 和CNC的中間組件［3－10］。文獻［2］研究了五次參數樣條的擬合刀具路徑，文獻［3－8］提出了NURBS曲線擬合刀具路徑的方法，但這些方法都沒有說明五軸加工中旋轉軸附加運動帶來的影響；文獻［9－11］對五軸數控刀具路徑中的位置矢量和方向矢量采用離線曲線插值方法優化，但增加了對CAM系統輸出代碼的特殊要求。FANUC數控系統應用了五軸刀具路徑平滑方法［12］，在曲面加工中獲得了良好的加工質量，但未公開其關鍵技術。筆者應用通用CAM輸出的五軸NC代碼進行刀具路徑優化，消除了由加工路徑不連續引起的機床振動，提高了工件的表面質量和加工精度。

1 五軸加工運動分析

1.1 五軸加工NC代碼分析

通用CAM軟件輸出的五軸加工NC代碼為

該代碼表示機床各驅動軸的實際運動量。其中，X、Y、Z為平動軸的位移，A、B、C為旋轉軸的轉角（分別對應旋轉軸A、B、C），F為進給速度。三軸加工中，刀具中心點運動路徑直接表達刀具相對零件輪廓的有效切削運動。五軸加工中，旋轉軸轉動不僅會改變刀具相對工件的方向，還會改變兩者的相對位置，產生附加運動，而附加運動在刀具運動路徑中進行補償。因此，五軸聯動中的刀具中心點運動路徑不能真實表達刀具相對零件輪廓的有效切削運動。如圖1所示，工件裝夾于轉臺abc位置，以多軸方式加工工件輪廓ab，開始加工時，刀具中心點位于點a，一段加工時間后，由于旋轉臺轉過角度θ，工件位置隨轉臺轉至a′b′c′，刀具中心點切削到輪廓ab上的M 處。在這段加工過程中，刀具中心點實際從a點運動到M點，但有效切削路徑是沿工件輪廓的運動路徑a′M。在五軸加工中，工件輪廓的精度和表面質量由有效切削運動路徑決定，而機床運動的穩定性和連續性由各驅動軸運動路徑決定。

1.2 刀具切削路徑計算

數控加工的首要目標是保證工件的加工質量，刀具相對于工件的切削加工路徑的精度和平滑性直接影響工件的加工精度和表面質量。本文首先將機床坐標系中的驅動軸運動路徑轉換為工件坐標系中的刀具切削路徑，對切削路徑進行平滑處理。由于五軸數控機床類型繁多，坐標轉換關系復雜，故本文以應用廣泛的立式雙轉臺五軸機床為例。雙轉臺結構中的旋轉自由度是由工件旋轉實現的，因此，NC代碼中的（X，Y，Z）為刀心點在機床坐標系ORXYZ中的位置，工件坐標系在初始狀態（A＝0，C＝0）時平行于機床坐標系，工件坐標系原點與機床實際旋轉中心偏差為（dx，dy，dz），刀具中心點在工件坐標系Owxyz 中的坐標（x，y，z）表示刀具相對工件輪廓的有效切削運動路徑點。有效切削運動路徑點的坐標求解過程如下［13］：① 將機床坐標系平移到工件坐標系，變換矩陣為T1；②工件繞Z軸旋轉角度C，變換矩陣為T2；③工件繞X軸旋轉角度A，變換矩陣為T3。可得：（x，y，z，1）R＝ （X，Y，Z，1）WT1T2T3。

2 五軸數控刀具路徑優化

2.1 刀具切削路徑優化

刀具切削路徑平滑優化采用NURBS曲線擬合方法。NURBS曲線表達式為［6］

式中，wi為權因子；Vi為NURBS曲線控制頂點；l＋1為控制頂 點 數 目；Ni，p（u）為p 次 規 范 B樣 條 基 函數，u 為NURBS曲線參數。

影響NURBS曲線形狀的主要因素為控制頂點Vi。在NURBS曲線擬合過程中，權因子wi、基函數次數p和節點向量U可提前設定，通過求解控制頂點的數目和坐標最終實現離散刀具路徑的NURBS曲線擬合平滑。

如圖2所示，對任意刀位點Pj，擬合NURBS曲線上均有點R（uj）與其對應：

其中，uj為點Pj對應參數值，根據向心弦長法可求出［4-5］：

式中，｜P0Pj｜為起點到當前點Pj間的微小直線段長的和；｜P0Pm｜為本擬合段所有微小直線段長的總和。

每個刀位點與曲線偏差為｜R（uj）－Pj｜，最小二乘法擬合目標是優化控制頂點，使擬合曲線到各刀位點偏差的總和最小，建立偏差總和與控制頂點的函數：

如要偏差總和最小，則第q（q＝0，1，…，l）個控制點處方程為

由式（2）～式（5）可初步求出各控制頂點坐標，確定擬合的NURBS曲線方程。

2.2 切削加工路徑誤差分析

切削路徑的擬合精度決定了工件的輪廓精度，如圖3所示，為保證刀具切削路徑的擬合最大誤差小于允許誤差ζ0，要計算擬合曲線與原直線段鏈的最大弦高誤差。為簡化計算過程，采用近似弦高法求解［6］，以其中一直線段PiPi＋1為例進行誤差分析，具體過程如下：

（1）設 Pi、Pi＋1對 應 曲 線 上 的 點 R（ui）、R（ui＋1）；

（2）將參數區間uiui＋1等分為n個子區間，計算各等分點處的弦高誤差ζk和各弦高誤差最大差值Δζmax；

（3）若Δζmax＞ε（ε為一個設定的極小數，小于ε的數可判定為0），則選取包含最大弦高值的相鄰參數作為新的uiui＋1，返回步驟（2）；

（4）若Δζmax≤ε，則各參數點處弦高誤差相同，ζk為PiPi＋1的最大弦高誤差；

（5）若ζk≤ζ0，則微直線段PiPi＋1可以由NURBS曲線R（u）擬合；

（6）若ζk＞ζ0，需要對R（u）進行調整，將線段PiPi＋1中點作為新的型值點，按2.1中所述擬合方法重新計算R（u）。

按以上方法對整個NURBS曲線段進行調整，直到所有線段弦高誤差均在允許值以內。

2.3 機床驅動軸運動路徑優化

機床驅動軸的不連續運動造成各軸在微段轉接點發生沖擊，縮短機床壽命，降低精度，為消除上述缺陷，五軸刀具路徑優化系統將驅動軸運動路徑進行二階連續曲線化處理。刀具切削路徑優化保證了加工零件的精度和表面質量，旋轉軸運動路徑優化保證各驅動軸運動的平滑性。為便于與切削加工路徑參數進行統一化處理，選取刀具切削路徑中的弦長為參數，進行五次樣條曲線擬合。

如圖2所示，為求解擬合路徑在點Pj處的一階和二階導數，選取 Pj－1、Pj、Pj＋1、Pj＋2四個點，設旋轉軸在各點的旋轉角度分別為Aj－1、Aj、Aj＋1、Aj＋1，相 應點參數 為 0、lj－1，j、lj－1，j＋1、lj－1，j＋2，對4個點的角度值Aj－1、Aj、Aj＋1、Aj＋1進行3次參數曲線插值得到參數曲線Cj（l），可設定旋轉軸A的路徑在點Pj處對切削路徑弦長參數的1階、2階導數分別為 C·j（lj－1，j）和 C¨j（lj－1，j）。對點 Pj＋1進行同樣處理，設點Pj、Pj＋1間的旋轉軸A的運動路徑五次樣條插值曲線方程為 Aj，j＋1（l）。

由下式求出五次參數曲線方程系數

由式（6）計算出的曲線方程在切削路徑微線段轉接點處保證了2階連續。同理可對旋轉軸B、C進行插值平滑。由以上處理對刀具切削路徑和旋轉軸運動路徑進行優化，實現了2階連續。若平動軸路徑仍然由五軸NC代碼中的離散路徑單獨擬合優化，則機床驅動軸運動路徑可能偏離刀具切削運動路徑，造成實際加工誤差。為解決該問題，平動軸路徑可由切削運動路徑和旋轉軸運動路徑經過機床逆運動變換后表達。

由于旋轉軸運動路徑插值參數和刀具切削路徑的NURBS曲線擬合參數不同，首先需要建立不同路徑參數的同步映射關系。如圖2所示，路徑段P0Pm為一個切削路徑NURBS擬合段，擬合結果為R（u），點Pj、Pj＋1為路徑段P0Pm上任意兩點，設其分別對應的切削路徑R（u）上的R（uj）和R（uj＋1）。設l為切削路徑R1（u）上的路徑點到Pj的距離，則旋轉軸A在點Pj、Pj＋1間的優化曲線運動路徑為Aj，j＋1（l）。點R（ui）在為切削路徑上PjPj＋1間任意一點，根據切削路徑參數的單調遞增性，可知uj＜ui＜uj＋1，由切削路徑NURBS曲線擬合的參數選取方法可知，點Pj在切削路徑中參數uj＝｜P0Pj｜／｜P0Pm｜，點R（ui）在切削路徑中參數ui＝（l＋｜P0Pj｜）／｜P0Pm｜＝uj＋l／｜P0Pm｜，切削點R（ui）所對應的旋轉軸A的角度為Aj，j＋1（ui｜P0Pm｜－｜P0Pj｜）。通過上述參數映射處理使刀具切削路徑和旋轉軸路徑的曲線參數一致，機床坐標系下的平動軸運動路徑通過機床逆運動變換求出：

其中，d為機床坐標系原點和工件坐標系原點的距離。由于切削路徑和旋轉軸運動路徑均為2階連續曲線并且參數為線性映射關系，式（7）中的x、y、z、A、C均二階連續變化，并且三角函數均為無限階連續函數，因此，式（7）所求出的平動軸運動路徑為2階連續的平滑路徑。五軸加工的刀具路徑優化過程如圖4所示。

3 實例和驗證

在自主研發的數控系統SKY2010上采用本文提出的五軸數控刀具路徑優化方法，控制雙轉臺立式銑床SK5L－70100進行典型工件葉輪的五軸聯動精加工，使用通用五軸CAM軟件POWERMILL輸出設定曲面精度為1μm、弦高誤差為0.01mm的五軸NC代碼。對刀具路徑優化處理，設置刀具切削路徑最大擬合誤差為5μm，設置進給速度為3m／min，得到的加工效果如圖5所示，從圖5a可看出明顯的加工紋路，圖5b中零件的表面基本是平滑曲面。測量結果如表1所示，其中，平均誤差由三坐標測量儀測量葉片上表面獲得。實驗結果表明，經過五軸刀具路徑優化后，加工誤差顯著降低，表面更加光滑，加工效率也有較大提高。

表1 葉輪在不同刀具路徑處理下的加工效果對比

4 結語

本文提出復雜曲面五軸加工中的驅動軸運動路徑優化方法，通過坐標變換求解刀具相對零件輪廓的有效切削路徑，對切削路徑進行NURBS曲線擬合，最終獲得2階連續的五軸數控刀具路徑。實驗結果表明，采用本文提出的方法優化五軸數控加工路徑可顯著提高曲面加工的表面質量，減小曲面輪廓誤差，提高加工精度和加工效率。

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