基于模糊RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動態(tài)摩擦分塊補償?shù)臋C(jī)器人數(shù)字魯棒滑模控制算法

李 敏 王家序 肖 科 黃 超 徐 超

重慶大學(xué)機(jī)械傳動國家重點實驗室，重慶，400030

0 引言

隨著非線性、強耦合、多輸入多輸出機(jī)器人，數(shù)控機(jī)床，以及動力傳動系統(tǒng)等精密機(jī)械系統(tǒng)對定位精度要求的不斷提高，因摩擦的存在而引發(fā)的跟蹤誤差（特別是低速的情況下）、黏滑運動以及極限環(huán)振蕩等非線性現(xiàn)象，對系統(tǒng)控制性能的影響越來越大。特別是對于一些重載的機(jī)器人［1］，摩擦甚至造成了50%的誤差。若負(fù)載、潤滑條件以及環(huán)境條件改變，機(jī)器人系統(tǒng)中的摩擦也會發(fā)生相應(yīng)的變化，即摩擦具有非線性、時變性、不確定性及復(fù)雜性。因此，對摩擦力進(jìn)行辨識和補償是一項不可缺少、重要和關(guān)鍵的研究任務(wù)。國內(nèi)外眾多學(xué)者以及技術(shù)人員采用了多種方法對機(jī)器人的摩擦進(jìn)行補償［2］，若從控制策略角度來分類，主要有以下四種：①固定摩擦補償技術(shù)；②基于部分摩擦特性的補償技術(shù)；③自適應(yīng)補償方法；④不基于模型的補償算法和神經(jīng)模糊技術(shù)。

在處理動態(tài)摩擦這類具有不確定性、非線性的問題方面，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種特殊的三層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有并行計算、分布式信息存儲、容錯能力強、自適應(yīng)、學(xué)習(xí)收斂速度快等一系列優(yōu)點，而模糊邏輯具有較強的定性知識表達(dá)能力和推理能力。因此，Kosko［3］綜合兩者長處，提出了基于結(jié)構(gòu)等價型融合的模糊RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和權(quán)值都有一定的物理含義，在設(shè)計其結(jié)構(gòu)時，可以根據(jù)問題的復(fù)雜程度及精度要求，并結(jié)合先驗知識來構(gòu)造合適的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，這樣，網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)速度就會大大加快，并且避免了局部極值。

本文在遵循摩擦學(xué)的3個公理的前提下［4］，結(jié)合機(jī)器人的動力學(xué)模型及7種重要典型的動態(tài)摩擦模型的特性［5－8］，分析、總結(jié)了各種不同的摩擦補償方法或技術(shù)的優(yōu)缺點，提出了一種基于動態(tài)摩擦模型——LuGre模型的模糊RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分塊補償?shù)臋C(jī)器人數(shù)字魯棒滑模控制算法，對機(jī)器人系統(tǒng)中的摩擦不確定項進(jìn)行有效的估計、逼近、補償，從而實現(xiàn)機(jī)器人系統(tǒng)高精度、高可靠、長壽命、大轉(zhuǎn)矩、低能耗的目標(biāo)。

1 帶摩擦補償?shù)臋C(jī)械臂動力學(xué)模型

對于一個n自由度關(guān)節(jié)機(jī)器人，基于拉格朗日運動學(xué)建立的機(jī)器人動態(tài)方程為

在式（1）中，F(xiàn)為非線性動態(tài)摩擦補償項。LuGre模型是一個比較完善的摩擦模型，能夠準(zhǔn)確地預(yù)測摩擦的各種重要特性，且對摩擦環(huán)節(jié)的動態(tài)補償效果較好，已有學(xué)者用實驗方法辨識了LuGre模型的參數(shù)［9］。但是，該模型動態(tài)參數(shù)的辨識迄今仍是一個難題。因此，本文采用模糊RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來估計、逼近LuGre模型的動態(tài)參數(shù)。LuGre摩擦模型是基于鬃毛的平均變形來建模的。

鬃毛的平均變形用狀態(tài)變量zi（關(guān)節(jié)i＝1，2，…，n）表示［10］，按照下式來建模：

式中，σ0i為鬃毛的剛度。

摩擦力由鬃毛的撓曲產(chǎn)生，可以描述為

其中，σ1i是微觀阻尼系數(shù)，σ2i是黏性摩擦因數(shù)。

函數(shù)g（x2）描述了Stribeck效應(yīng)：

根據(jù)式（3）～ 式（5），可以得出：

表 2 結(jié)果顯示，三組被試的自尊和職業(yè)認(rèn)同不存在顯著差異，這是每組被試作為一個整體的結(jié)果，但死亡凸顯及親密關(guān)系喪失的壓力可能會對不同自尊水平的被試產(chǎn)生不同效應(yīng)，為進(jìn)一步明確二者對不同自尊水平被試職業(yè)認(rèn)同產(chǎn)生的影響，研究者在被試中區(qū)分了高自尊者和低自尊者，高自尊者是自尊問卷得分中排名前27%的被試，低自尊者是自尊問卷得分中排名后27%的被試，詳見表 3。

2 模糊RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)字魯棒滑模控制

2.1 控制結(jié)構(gòu)

2.2 控制律的設(shè)計

設(shè)位置指令為x1d（k），x1（k）為實際的位置，則跟蹤誤差定義為

滑模函數(shù)設(shè)計為

其中，Λ為正定陣。

與滑模面函數(shù)相關(guān)的設(shè)定速度為

式中，x2di（k）為機(jī)器人各關(guān)節(jié)的給定速度；si、di對應(yīng)不同的機(jī)器人關(guān)節(jié)。

圖1 基于模糊RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)摩擦補償?shù)臋C(jī)器人數(shù)字魯棒滑模控制框架

其中，KD＝diag（Ki），Ki＞0，克服模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模誤差的魯棒項為Kssat（si），Ks＝diag（Ksi），Ksi＞0，i＝1，2，…，n。飽和函數(shù)設(shè)計為

式中，si為每個時刻滑模面函數(shù)的值。

自適應(yīng)律設(shè)計為

其中，Γ0i、Γ3i、Γ4i為對稱正定矩陣。

2.3 穩(wěn)定性分析

定義Lyapunov函數(shù)為

根據(jù)D（k＋1）－2C（k）的斜對稱特性，并將式（1）、式（7）～ 式（13）代入式（14）得

3 仿真結(jié)果及分析

圖 兩關(guān)節(jié)機(jī)器人系統(tǒng)

表1 機(jī)器人參數(shù)及其摩擦力參數(shù)

圖3～圖8反映了兩關(guān)節(jié)機(jī)器人的軌跡跟蹤、摩擦力矩、控制力矩隨時間的變化關(guān)系及摩擦力矩與速度的變化關(guān)系。由圖3、圖4對應(yīng)的數(shù)據(jù)可以得出，兩關(guān)節(jié)機(jī)器人的軌跡跟蹤精度高，最大位置誤差為1×10－3rad，且動態(tài)摩擦補償?shù)男Ч埠芎谩Ｓ蓤D5、圖6可以看出，是否對機(jī)器人系統(tǒng)建模的不確定性進(jìn)行動態(tài)LuGre摩擦補償，對機(jī)器人控制力矩的穩(wěn)定性影響非常大：特別是在速度換向（如2.446s）時，有動態(tài)摩擦補償時，機(jī)器人連桿1控制力矩為28.0046N·m；無摩擦補償時，連桿1控制力矩為32.0270N·m，控制力矩產(chǎn)生跳躍式增大。而在7.3750s時則產(chǎn)生了跳躍式減小，這對機(jī)器人高精度、高可靠的操作來說都是要極力避免或不允許的。因此，非常有必要對機(jī)器人中的摩擦力矩進(jìn)行補償。

圖3 機(jī)器人軌跡跟蹤

圖4 機(jī)器人摩擦力矩及補償

圖5 機(jī)器人控制力矩（有摩擦補償）

圖6 機(jī)器人控制力矩（無摩擦補償）

圖7 機(jī)器人摩擦模型（低速，qd（0）＝［－0.1 0］）

圖8 機(jī)器人摩擦模型（低速，qd（0）＝［00］）

圖7、圖8是低速運行時機(jī)器人中摩擦力矩隨速度變化的相圖，其形狀類似菱形。由初始狀態(tài)O→平衡狀態(tài)時，其啟動摩擦力矩存在一定程度的波動或者速度超調(diào)，即機(jī)器人的初始位置姿態(tài)對機(jī)器人的穩(wěn)定性影響非常大。而達(dá)到穩(wěn)態(tài)時，幅值達(dá)到最大，為24.1199N·m，且隨著時間的推移，摩擦力矩與角速度x2之間存在菱形穩(wěn)定吸引子。此時，在圖7中，連桿1相圖曲線由D→A時，速度逐漸增大，而摩擦力矩幅值由正向最大→0→負(fù)向最大，摩擦力矩表現(xiàn)為負(fù)斜率現(xiàn)象，即Stribeck現(xiàn)象。同樣地，該規(guī)律也存在于機(jī)器人連桿2。

圖9 機(jī)器人摩擦模型（高速）

4 結(jié)論

（1）本文提出了用模糊RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分塊補償機(jī)器人中的動態(tài)摩擦不確定項及數(shù)字滑模機(jī)器人魯棒控制算法，分析了控制器的Lyapunov穩(wěn)定性，利用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線自適應(yīng)訓(xùn)練LuGre模型中的各摩擦分項，從而實現(xiàn)了機(jī)器人高精度的軌跡跟蹤、高品質(zhì)的動態(tài)響應(yīng)。

（2）發(fā)現(xiàn)了在該兩自由度機(jī)器人低速運動時，其關(guān)節(jié)中存在著Stribeck效應(yīng)、類菱形吸引子等非線性動力學(xué)現(xiàn)象；高速運動時，其黏性摩擦為主。不合適的初始條件會使機(jī)器人的啟動摩擦力矩出現(xiàn)較大振蕩。

［1］Kermani M，Wong M，Patel R，et al.Friction Compensation in Low and High－Reversal－Velocity Manipulators［C］／／Proc.ICRA’04，2004IEEE Int.Conf.on Robotics and Automation.New Orleans，2004：4320－4325.

［2］Basilio Bona，Marina Indri.Friction Compensation in Robotics：an Overview［C］／／Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control，and the European Control Conference 2005.Seville，Spain，2005：4360－4367.

［3］Kosko B.Neural Networks and Fuzzy System［M］.New Jersey：Prentice－Hall，1992.

［4］謝友柏.摩擦學(xué)的三個公理［J］.摩擦學(xué)學(xué)報，2001，21（3）：161－166.

［5］de Wit C C，Olsson H，Astrom K J，et al.A New Model for Control of Systems with Friction［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1995，40（3）：419－425.

［6］Bliman P A.Mathematical Study of the Dahl’s Friction Model［J］.Eur.J.Mech.，1992，11（6）：835－848.

［7］Armstrong B，Dupont P，Canudas de Wit C.A Survey of Models，Analysis Tools and Compensation Methods for the Control of Machines with Friction［J］.Automatica，1994，30（7）：1038－1183.

［8］Dupont P，Armstrong B，Hayward V.Elasto－Plastic Friction Model：Contact Compliance and Stiction［C］／／Proceedings of ACC 2000.Chicago，2000：1072－1077.

［9］Kermani M R，Patel R V，Moallem M.Friction Identification and Compensation in Robotic Manipulators［J］.IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement，2007，56（6）：2346－2353.

［10］Haessig D A，F(xiàn)liedland B.On the Modeling and Simulation of Friction［J］.ASME Journal of Dynamic Systems Measurement and Control，1991，113（3）：354－362.

［11］Ge S S，Lee T H，Harris C J.Adaptive Neural Network Control of Robotic Manipulators［M］.London：World Scientific，1998.