基于威布爾與模糊C均值的滾動軸承故障識別

王書濤 張金敏 張淑清 劉永富

燕山大學河北省測試計量技術及儀器重點實驗室，秦皇島，066004

0 引言

在滾動軸承運行過程中，提取振動信號時難免會受到大量非監(jiān)測部件振動的干擾，造成有效信號的淹沒，特別是滾動軸承的振動信號是經(jīng)過復雜傳遞途經(jīng)所得，并且故障信號非常微弱，往往造成故障信息淹沒在背景噪聲和干擾中，從而使信號特征提取及故障診斷變得異常困難［1－2］。

威布爾分布（Weibull distribution）是1939年瑞典人威布爾為描述材料疲勞強度而提出的一種統(tǒng)計模型，在產(chǎn)品疲勞壽命各可靠性分析中已獲得極其廣泛的應用。由于不同故障類型的威布爾分布模型的尺度參數(shù)、形態(tài)參數(shù)和威布爾負對數(shù)區(qū)別較大，能夠較好地刻畫軸承運行的狀態(tài)特性，因而可以用作反應軸承運行狀態(tài)的特征向量［3－5］。

聚類分析是多元統(tǒng)計分析的一種，也是非監(jiān)督模式識別的一個重要分支。模糊C均值（fuzzy C－means，F(xiàn)CM）是一種基于模糊理論的聚類算法，將樣本數(shù)據(jù)根據(jù)其相對于聚類中心的隸屬度確定樣本的親疏程度而實現(xiàn)分類［6］。

本文提出一種基于威布爾分布的滾動軸承故障信息特征提取方法，以及模糊C均值的聚類方法，對故障進行識別。首先采用組合形態(tài)濾波器對原始信號進行消噪等預處理，對預處理后軸承信號建立威布爾分布模型，并提取威布爾分布的形態(tài)參數(shù)、尺度參數(shù)和威布爾負對數(shù)似然函數(shù)作為特征向量來表征軸承運行狀態(tài)，然后采用模糊聚類對提取的特征向量進行模式分類和故障識別，并通過實驗驗證所提方法的有效性。

1 威布爾分布

1.1 威布爾模型建模

對于數(shù)據(jù)序列x，其具有雙參數(shù)的威布爾分布函數(shù)為

式中，β、η分別為形狀參數(shù)和尺度參數(shù)，β＞0，η＞0；x為分布變量，x＞0。

該模型的分布密度函數(shù)為

對于給定的一組由n個觀察值組成的樣本數(shù)x1，x2，…，xn（xi＞0），其建模步驟如下：

（1）重新安排數(shù)據(jù)，使其按增序排列，記這列有序數(shù)據(jù)為x′i（i＝1，2，…，n）。

（2）計算Xi和yi：

（3）在坐標紙上繪制（Xi，yi）的圖形，從而得到原始數(shù)據(jù)的威布爾概率紙圖（Weibull plotting paper，WPP）。如果數(shù)據(jù)圖大體上沿一條直線分布，則該列數(shù)據(jù)可以用雙參數(shù)威布爾模型建模。

1.2 威布爾分布模型的參數(shù)估計

用最大似然估計法對形狀參數(shù)β和尺度參數(shù)η進行估計，設一時域振動信號的數(shù)據(jù)序列為x1，x2，…，xn，且符合威布爾分布模型，則其似然函數(shù)為

利用牛頓迭代法解式（7）可求得β的值，并將其代入式（8）即可求得η的值，從而可得威布爾分布負對數(shù)似然函數(shù)：

2 模糊C均值算法

為了得到矩陣U，定義如下目標函數(shù)：

式中，m為模糊加權指數(shù)，要求m＞1，一般取為2；ci為c類中第i類的中心；‖·‖表示歐幾里得距離。

為了找到目標函數(shù)的最小分區(qū)，采用迭代優(yōu)化方法進行計算，其步驟如下：

（1）初始化分區(qū)矩陣U＝［uik］。

（2）計算所有c個類的中心：

（3）更新分類矩陣U：

（4）對l＝1，2，…，給定判別的收斂精度ε＞0，直到 ‖U（l）－U（l－1）‖ ＜ε。

3 實驗分析

圖1 實驗裝置

實驗數(shù)據(jù)來自美國華盛頓凱斯西儲大學（Case Western Reserve University）電氣工程實驗室。實驗裝置如圖1所示，主要由電動機、聯(lián)軸器、扭矩傳感器／譯碼器、功率測試器、電子控制器等部件組成。被檢測的滾動軸承型號為SKF6205，軸承的故障包括外圈故障、內(nèi)圈故障和滾動體故障，其中，軸承上所有類型的故障均為電火花加工的單點損傷，損傷點直徑為0.1778mm。電動機通過與聯(lián)軸器、扭矩傳感器／譯碼器、測功機相連來驅動負載，運轉轉速通過扭矩傳感器／譯碼器測得，其中電機所受負載可變。故障信號為用加速度傳感器采集的故障軸承的振動加速度信號，加速度傳感器放置在電動機風扇端或驅動端的軸承座上方，振動信號采樣頻率為12kHz。

3.1 基于威布爾分布模型的特征提取

當滾動軸承存在局部缺陷時，其振動信號中的脈沖信號含有豐富的缺陷信息。因此，首先對采集的滾動軸承原始振動信號用組合形態(tài)濾波［7－10］，消除振動信號中的背景噪聲，同時保留原有的故障信息，然后對去噪后的振動信號建立威布爾分布模型，用極大似然法估計威布爾分布模型的尺度參數(shù)、形態(tài)參數(shù)和威布爾負對數(shù)，再提取這3個參數(shù)構建表征軸承運行狀態(tài)的特征向量。故障特征提取步驟如下：

（1）建模。由威布爾分布模型可知，數(shù)據(jù)序列必須滿足xi＞0，一般情況下獲得的滾動軸承振動信號是在x＝0附近波動的，因而須對降噪后的信號進行處理，其表達式為

式中，x′i為降噪后的信號；δ為一經(jīng)驗值，一般取δ≤0.1‖min（x′i）‖。

對預處理后的信號建立威布爾分布模型，畫出對應4種不同故障類型滾動軸承信號的威布爾概率紙圖，如圖2所示。

由圖2可見，各圖形大致呈一條直線，即樣本數(shù)據(jù)基本服從威布爾分布模型。

如對式（13）選取不同δ值，可獲得與圖2中某一類型故障軸承信號相對應的威布爾概率紙圖，圖3所示為外圈故障軸承在δ分別取0.08、0.1時的威布爾概率紙圖。

可見，無論δ取值如何，經(jīng)式（13）處理后的數(shù)據(jù)均基本服從威布爾分布模型。

（2）估計參數(shù)。由所建威布爾分布模型，根據(jù)式（7）～式（9）估計出4種不同故障類型的威布爾分布模型的尺度參數(shù)、形態(tài)參數(shù)和威布爾負對數(shù)。

（3）構建特征向量。用估計出的尺度參數(shù)、形態(tài)參數(shù)和威布爾負對數(shù)構建特征向量Yi＝（βi，ηi，Li），其中i＝1，2，…，m，它表示第i個樣本，m為樣本總數(shù)。

不同故障類型的威布爾分布模型的尺度參數(shù)、形態(tài)參數(shù)和威布爾負對數(shù)區(qū)別較大，能夠較好地刻畫軸承運行的狀態(tài)特性，因而可以用作反應軸承運行狀態(tài)的特征向量。

3.2 基于模糊C均值的狀態(tài)分類與模式識別

圖2 各狀態(tài)的WPP

4種狀態(tài)下共有120個振動數(shù)據(jù)樣本，各種狀態(tài)下的數(shù)據(jù)子集分別包括30個樣本。4種狀態(tài)的軸承信號經(jīng)形態(tài)濾波預處理后均服從威布爾分布，因此提取所有樣本的威布爾模型的尺度參數(shù)、形態(tài)參數(shù)和威布爾分布負對數(shù)似然函數(shù)來描述軸承各種狀態(tài)的信號特征，并組成120×3的故障特征矩陣。采用FCM聚類算法進行聚類，聚類組數(shù)c＝4，ε＝0.0001。對數(shù)據(jù)進行標準化處理［11］，經(jīng)迭代計算并不斷修正聚類中心，直至收斂為止。聚類結果如圖4所示。

圖4a為120組特征向量標準化后的FCM聚類空間分布圖，圖中，○為聚類中心。圖4b為二維投影的聚類等高線圖。從圖4中可以看出，F(xiàn)CM聚類對形態(tài)濾波后信號的威布爾分布模型提取到的特征向量達到了故障診斷的效果。

圖3 不同δ值的外圈故障WPP

圖4 空間聚類分布圖和二維聚類等高線圖

4 結論

（1）提出了一種基于威布爾分布與模糊C均值算法相結合的機械故障識別方法。滾動軸承振動信號經(jīng)濾波去除噪聲對故障信號的干擾后，進行威布爾分布建模分析，得出振動信號服從威布爾分布，進而提取威布爾分布模型的尺度參數(shù)、形態(tài)參數(shù)和威布爾負對數(shù)似然函數(shù)，作為振動信號的特征向量融入到FCM算法進行聚類分析，達到了故障診斷識別的目的。

（2）實驗表明，威布爾分布與模糊C均值算法相結合運用到機械故障識別，準確率高，可以作為滾動軸承故障識別的重要手段，具有一定的實際應用價值。

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