基于可變庫存費和短缺費的變質性物品的庫存模型

賈 寧，陶 勝，楊志林

（合肥工業大學 數學學院，安徽 合肥230009）

近幾十年來，隨著計算技術和計算機應用技術的不斷普及，庫存控制模型的應用越來越廣泛。許多學者致力于變質性物品的生產與銷售的庫存模型的研究，之前的大多經典庫存模型均假設單位時間單位物品的庫存費和短缺費是常數。然而，在實際中，并非所有物品的單位時間單位物品的庫存費和短缺費是常數，如某貴重物品的儲存和短缺時這些費用也會隨著時間的增加而增加，后來，許多學者研究了庫存費和短缺費是時間函數的庫存模型。1982年，Weiss［1］較早地研究了庫存費為非線性時變函數的庫存問題；1994年，M Goh.［2］進一步分析了單位物品庫存費與庫存量呈非線性關系的庫存問題；2001年，毛曉麗［3-4］在Goh的基礎上建立了單位庫存費可變的變質物品EOQ模型，但未考慮短缺現象；2007年，Mark Ferguson等［5］提出的庫存模型也認為單位庫存費與時間有關，并結合實際進行了運用，得到一些有價值的結論；2007年，Benkherouf等［6］建立了一種單位庫存費和缺貨費用均為線性時變函數的庫存模型。這些都是涉及庫存費和缺貨費用可變的庫存模型，但都未考慮變化問題，且都是假設訂貨費是固定不變的，然而一般訂貨費用應包括以下2個部分；一部分是差旅費、通訊費等，這部分費用可認為是固定不變的；另一部分是所訂物品的運輸費、裝卸費等，這部分費用則是與訂貨量有關的可變費用，本文在訂貨費用是可變的假設下，分別建立了庫存費和短缺費均是時間的函數及庫存費是庫存量的函數的2個庫存模型，并且從理論上給出了其最優解。

1 模型的記號與假設

（1）系統運行在無限計劃期內，前置期為零，瞬時補貨，補貨量不受限制，在此過程中生產廠家無折扣活動。允許短缺發生，且短缺量完全延期供給。

（2）Q1表示一個周期內系統的最大庫存水平，Q2表示一個周期內系統的最大短缺水平，而Q為每個周期的訂貨量，即Q＝Q1＋Q2。

（3）t1表示一個周期內庫存量降為0的時刻，T是一個訂貨周期長度。

（4）p表示單位商品的進貨價格，Ar表示每次訂貨費用，且Ar＝A＋cQ，其中c表示單位訂貨的附加費用。

（5）D表示常數需求率；產品的變質率α是假定是一個常數，且商品變質后無殘值。

（6）HC表示一個周期的庫存費；SC表示一個周期的短缺費；PC表示一個周期的進貨成本；DC表示一個周期的訂貨費；TC表示庫存系統的平均費用。

2 基于庫存費用和短缺費用為時間的函數的庫存模型

在實際中，并非所有物品的單位時間單位物品的庫存費和短缺費是常數，如某貴重物品的儲存和短缺時這些費用也會隨著時間的增加而增加，針對這些情形可假設庫存費HC和短缺費用SC滿足下列方程：

其中h1（t），s1（t-t1）和h′1（t），s′1（t-t1）在t∈（0，＋∞）上均大于0。由以上假設可知，設I（t）為t時刻的庫存水平，則I（t）應滿足下列方程：

且I（t1）＝0，則得

則一個訂貨周期內最大庫存量Q1＝I（0）＝D（eαt1-1）／α，最大短缺量為Q2＝I（T）＝D（T-t1）即每個周期的訂貨量為Q＝Q1＋Q2＝D（eαt1-1）／α＋D（T-t1）。

若系統從t＝0開始運行，則一個周期［0，T］內的費用由以下幾個部分組成：

（1）庫存費

（2）短缺費

（3）訂貨成本

（4）訂貨費用

則一個周期［0，T］內的庫存系統的平均費用為

下面問題是確定兩個決策變量t，T的最優值，使得系統的平均費用TC最小，即求解如下的最優問題：

由函數的極小值必要條件知，T和t1的最優值應滿足下列方程

由分析可得出以下結論：

定理1 上述方程組（5）、（6）存在唯一的一組解。

證明可令（6）式左邊為

則

定理2 上述方程組的唯一的一組解（T＊，t＊1）使得平均費用函數TC達到最小值。

證明由于

則有

所以TC在（T＊，t＊1）處的海森矩陣正定。故（T＊，t＊1）是TC的整體唯一的最小值點。

3 基于庫存費為庫存量的函數的庫存模型

在現實生活中，庫存費用和短缺費用一般是可變情形的，且這些物品的價值一般較高，為了減少物品的變質或因隨時間的增加而產生庫存費和短缺費的損失，人們就需要采取一些措施來使其總費用最少。可假設此模型下單位時間單位物品短缺費用為s是常量，庫存費HC滿足方程dHC／dt＝h2（I）且h2（I）＞0在（0，＋∞）內可導，即

而

所以庫存費

短缺費

其余費用同2中的模型，則系統的平均費用

類似于模型1，要確定兩個決策變量t1，T的最優值，使得系統的平均費用TC最小。同理t1，T的最優值必滿足下列方程組：

同理可得下面的結論。

定理3 上述非線性方程組（7）、（8）存在唯一的一組解。

證明令（8）等式的左邊為

而

定理4 上述方程組的唯一的一組解（T＊，t＊1）使得平均費用函數TC達到最小值。

證明由于

以及

而

所以

則

所以TC在（T＊，t＊1）處的海森矩陣正定。故（T＊，t＊1）是TC的整體唯一的最小值點。

4 特例

5 結束語

在假設經典的經濟批量模型中允許短缺，但短缺量完全延期供給的變質物品庫存的基礎上，假定了在訂貨費用是可變的前提下，建立了2個模型。模型1是庫存費和短缺費均是關于時間的變化函數，模型2庫存費是關于庫存量的變化函數。并且對2個模型決策變量的解的存在性與唯一性給予證明，從不同角度研究了這些變量對庫存系統的最優決策的影響，更全面而真實地揭示了這類物品的存儲規律，從而具有一定的實際意義。

［1］Weiss H.Economic order quantity models with nonlinear holding costs ［J］.European Journal of Operational Research，1982，9（1）：56-60.

［2］M.Goh.EOQ Models with General Demand and Holding Cost Functions［J］.European Journal of Operational Research，1994，73（1）：50-54.

［3］毛曉麗.變庫存費的變質性物品的EOQ模型［J］.武漢科技大學學報（自然科學版），2001，24（3）：322-324.

［4］毛曉麗.變庫存費的變質性物品的最優訂貨策略［J］.經濟數學，2001，18（3）：70-74.

［5］Mark Ferguson，Vaidy Jayaraman，Gilvan C Souza.Note：An application of the EOQ model with nonlinear holding cost to inventory management of perishables［J］.European Journal of Operational Research，2007，180（2）：485-490.

［6］Lakdere Benkherouf.On a stochastic inventory model with ageneralized holding costs［J］.European Journal of Operational Research，2007，182（2）：730-737.