談二項分布的近似計算及其在保險問題中的應用

張 艷

談二項分布的近似計算及其在保險問題中的應用

張 艷

泊松定理、棣莫弗－拉普拉斯定理給出了二項分布的近似計算公式，擬對定理中的應用條件進行整理研究，并通過實例，將這兩種近似計算公式分別應用于保險問題的計算中。

二項分布;近似計算;泊松分布;正態分布;保險問題

二項分布B(n，p)是概率論中最重要的分布律之一，在研究產品質量、氣候狀況、工作效能等實際問題中得到了廣泛應用。在對這些問題進行決策時，不可避免地要涉及到關于二項分布的計算問題。當n很大時，直接計算是相當繁瑣的，若用泊松定理和棣莫弗－拉普拉斯定理得到的近似計算公式計算，則會使計算過程簡便的多，但是如果對定理中的近似條件不加以區別，隨意使用近似計算公式的話，則會產生較大的誤差。為此，首先給出這兩個定理，并整理研究定理中n，p的應用條件。

1 二項分布的近似計算

對于服從二項分布的隨機變量，我們經常借助以下兩個定理進行近似計算:

1.1 泊松定理。

設隨機變量X服從二項分布，其分布律為

又設np=λ(λ＞0是一常數)，則有

根據定理，可以得到二項分布的近似計算公式:當n充分大，且np=λ(λ是常數)則有

1.2 棣莫弗－拉普拉斯定理。

若隨機變量 ηn(n=1，2…)服從參數為 n，p(0＜p＜1)的二項分布，則對于任意x，有

這個定理表明，當n充分大時，二項分布隨機變量ηn的標準化變量近似服從標準正態分布，即

我們可以利用上式來計算二項分布概率的近似值，當n充分大時，對于任意正整數x，有

并且由于是用一個連續分布來近似離散分布，在實際應用中，為了減少誤差常用如下的修正公式:

對于泊松定理的應用，定理的條件np=λ(常數)意味著當n很大p必定很小，在實際計算中，教材［1］提到，當 n≥10，p≤0.1時就可以用近似公式(1)進行計算，且可以通過查泊松分布表得到結果，計算較為方便。

但是，對于棣莫弗－拉普拉斯定理進行近似計算，公式的應用條件，則簡略的多，當充分大時，可做近似計算，這就給初學者或非專業的應用人員造成一種錯覺，似乎只要比較大，在任何情況下都可以用公式(3)作近似計算，公式(2)(3)比公式(1)優越得多，但事實并非如此，下面通過一個實例來加以說明。

例1:某種疫苗導致人過敏的概率為0.2%，目前注射該種疫苗的人有1000人，求這1000人中，最終過敏的人數不超過2個人的概率。

設1000人中因疫苗過敏的人數為隨機變量X，服從二項分布 B(1000.0.002)，直接計算得

P(X≤2)=P(X=0)+P(x=1)+P(X=2)=0.676677

由公式(1)得

顯然公式(1)給出了很好的近似結果，而公式(2)給出的結果則有相當大的誤差，用了修正公式(3)以后，雖然減小了誤差，但是仍不如泊松分布的近似程度好。雖然由此可見，與公式(1)一樣，應用公式(2)，不僅要求n，對p也有一定的要求，換句話說，所謂的n足夠大是與p密切相關的。因此在使用公式(2)或(3)時，尤其要注意分析公式的應用條件。在教材［1］中提到，要使np(1－p)＞9，在文獻［2］中，作者從數理統計的觀點出發，根據顯著性水平α，得到了更為精確的結論:當α=0.05時，np(1－p)＞11，當 α=0.01時，np(1－p)＞277。在文獻［3］中，作者通過計算機編程，得到了如下結論:當0.1≤p＜0.2，n≥60，當 0.2≤p≤0.9，n≥30。

2 二項分布的近似計算在保險問題中的應用

2.1 保險公司的利潤問題。

例2:10000名同年齡且同社會階層的人參加了某保險公司的一項人壽保險，每個投保人在每年初需交納200元保費，而在這一年中若投保人死亡，則受益人可從保險公司獲得100000元的賠償費。據生命表知這類人的年死亡率為0.001。試計算:(1)保險公司虧本的概率;(2)至少獲利500000元的概率。

解:設X為10000名投保人在一年中死亡的人數，則X服從二項分布B(10000，0.001)

一方面，因為n=10000很大，p=0.001很小，λ=np=10，考慮用公式(1)進行近似計算:

(1)保險公司在這項業務上一年的收入為200×10000=2000000(元)，保險公司在這項業務上“虧本”就相當于{X＞20}，因此所求概率為

(2)保險公司在這項業務上“至少獲利500000元”就相當于{X≤15}，因此所求概率為

另一方面，因為 n=10000 很大，p=0.001，np(1 －p)=10000×0.001 ×0.999=9.99 ＞9，滿足教材中的要求，考慮用公式(3)進行近似計算:

在解決上述例題時，考慮到了公式(3)的應用條件，由此得到的兩種近似計算結果相差不到1%，因此可以認為這兩種近似方法都得到了比較精確的結果，同時也說明了保險公司虧本的可能性是很微小的。

2.2 保費的確定問題。

例3:有10000名同年齡且同社會階層的人參加了某保險公司的一項人壽保險，每個投保人在每年初需交納一定的保費，而在這一年中若投保人死亡，則受益人可從保險公司獲得10000元的賠償費。據生命表知這類人的年死亡率為0.001。若保險公司想以99%的把握保證公司不虧本，試求投保人每人每年需交納的最低保費額度為多少?

解:設這一年中最大死亡人數為時，保險公司不會虧本，即 P{X≤x}≥0.99

一方面，我們用公式(1)進行近似計算:

另一方面，我們用公式(3)進行近似計算:

查表［1］可得 Φ(2.33)=0.9901，解得 x=17，此時需支出賠償費17000000，因此最低保費為170元。

由于此時x必須為整數，兩種近似結果相差了1，屬于正常的誤差范圍，可以認為這兩種近似方法都到了可靠的結果。保險公司為了保證利潤，不妨把最低保費定為180元，更有把握盈利。

3 結語

對于二項分布的計算問題，當n很大時，常用泊松定理和棣莫弗－拉普拉斯定理得到的近似計算公式計算。

［1］盛驟，謝式千.概率論與數理統計應用［M］.北京:高等教育出版社，2010.

［2］王雅玲.二項分布近似公式的限制條件及修正［J］.大學數學，2007(6).

［3］杜勛明，陳冬娥，姚云.二項分布和泊松分布的正態近似條件分析［J］.湖北醫科大學學報，1998(2).

［4］茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程［M］.北京:高等教育出版社:2004(7).

Talk About Approximate Calculation for Binomial Distribution and Application in Insurance

Zhang Yan

Poisson theorem，Di mo eph－Laplace theorem provide us with an approximate calculation formula for the binomial distribution.In this paper，the conditions to adopt the theorem are studied and the two approximate calculation formula are used to calculate the insurance problems.

binomial distribution;approximate calculation;poisson distribution normal distribution;insurance problem

O211.3

A

1672－6758(2012)01－0045－2

張艷，碩士，講師，江蘇科技大學張家港校區基礎教學部，江蘇·張家港。郵政編碼:215600

Class No.:O211.3Document Mark:A

(責任編輯:宋瑞斌)