Banach空間中相對非擴張映射的強收斂定理

劉英，陳永利

（1.河北大學數學與計算機學院，河北保定 071002；2.華北電力大學科技學院，河北保定 071051）

Banach空間中相對非擴張映射的強收斂定理

劉英1，陳永利2

（1.河北大學數學與計算機學院，河北保定 071002；2.華北電力大學科技學院，河北保定 071051）

用修正后的Halpern's迭代方法在Banach空間建立了一個迭代序列，證明了這一迭代序列強收斂到2個相對非擴張映射的公共不動點.

相對非擴張映射；廣義投影；Halpern's迭代；正規對偶映射

MSC 2010：47H05

設E是一個Banach空間，E＊是E的對偶空間.〈x，f〉表示f∈E＊在x∈E點的函數值.函數φ：E×E→R定義為

其中J表示E到E＊的正規對偶映射.設C是E的一個閉、凸子集，T是從C到自身的一個映射.用F（T）表示T的不動點集.如果｛x n｝?C使得｛x n｝弱收斂到p，而且，則稱點p∈C是T的漸進不動點［1］.T的漸進不動點的集合表示為＾F（T）.一映射T：C→C，如果滿足：對所有的x，y∈C，‖Tx－Ty‖≤‖x－y‖，則稱T為非擴張的，關于非擴張映射的一些研究可參見文獻［2］.如果滿足：對所有x∈C和p∈F（T），＾F（T）＝F（T）且φ（p，Tx）≤φ（p，x），則稱T為相對非擴張的［1］.相對非擴張映射的一些漸近性質可

參見文獻［1，3－5］.Halpern［5］建立了如下的迭代序列：

這一迭代序列常常用來逼近非擴張映射T：C→C的不動點.

當空間E有一些較好性質時，迭代序列（1）有下面的一些收斂特點.

1 預備知識

定義正規對偶映射J：E→2E＊為

正規對偶映射J有下面的性質：

如果E是自反、嚴格凸、光滑的Banach空間，那么J是1－1映射，這時J－1是從E＊到E的正規對偶映射，而且也是1－1映射.如果E是一致光滑的，那么J在E的每個有界子集上是一致連續的.

用x n→x和x n?x分別表示｛x n｝強收斂到x，和｛x n｝弱收斂到x.

E是一致光滑的當且僅當是連續、單增的函數，而且（0）＝0.E的凸性模δ：（0，2］→ρEE［0，1］定義為

δE（ε）是連續單增函數而且δE（0）＝0.E是一致凸的，那么E有K－K性質.設E是光滑的Banach空間，函數φ：E×E→R定義為

注1［1］如果E是嚴格凸、光滑的Banach空間，那么對任意的x，y∈E，φ（y，x）＝0當且僅當x＝y.

引理1［1］設E是一致凸和光滑的Banach空間，設｛y n｝，｛zn｝是E中的2個序列，如果φ（y n，zn）→0，而且，｛y n｝或｛zn｝是有界的，那么y n－z n→0.

設C是E的一非空、閉、凸子集，假定E是自反、嚴格凸、光滑的Banach空間，那么，對任意的x∈E，存在一點x0∈C使得

映射ΠC：E→C定義為ΠCx＝x0被稱為廣義投影［1，8，13］.

引理2［9，14］設C是光滑Banach空間E的一非空、閉、凸子集，設x∈E，那么x0＝ΠCx當且僅當

引理3［9，14］設E是自反、嚴格凸、光滑的Banach空間，C是E的一非空、閉、凸子集，設x∈E，那么

引理4［1］設E是一嚴格凸、光滑的Banach空間，C是E的一非空、閉、凸子集，設T：C→C是一相對非擴張映射，那么F（T）是閉、凸的.

引理5［15］設E是一致凸的Banach空間，設r＞0，那么存在一連續、嚴格增的凸函數g：［0，2r］→R使得g（0）＝0和

‖tx＋（1－t）y‖2≤t‖x‖2＋（1－t）‖y‖2－t（1－t）g（‖x－y‖），?x，y∈Br和t∈［0，1］，

其中Br＝｛z∈E：‖z‖≤r｝.

引理6［16］設E是一個一致凸、一致光滑的Banach空間，如果‖x‖≤R，且‖y‖≤R，那么下面的不等式成立：2L－1R2δE（‖x－y‖／4R）≤φ（x，y）≤4LR2ρE（4‖x－y‖／R），其中L是一常數.

2 主要結果

對任意的x0∈C，定義如下的迭代序列｛x n｝：

定理1 設E是一致凸和一致光滑的Banach空間，C是E的一非空、閉、凸子集，假定T，S是2個從C到自身的相對非擴張映射以致于F＝F（T）∩F（S）≠?，那么由式（5）定義的迭代序列｛x n｝強收斂到ΠFx0.

證明 首先表明對每一個n∈N，Cn和Q n是閉凸的.由Cn和Qn的定義，Cn是閉的，Qn是閉凸的；又因

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Strong convergence theorems for two relatively nonexpansive mappings in a Banach space

LIU Ying1，CHEN Yong－li2
（1.College of Mathematics and Computer Science，Hebei University，Baoding 071002，China；2.College of Technology，North China Electric Power University，Baoding 071051，China）

An iteration sequence is proposed in Banach spaces by using the modified Halpern's iteration method.That the iteration sequence converges strongly a common fixed point of two relatively nonexpansive mapping is proved.

relatively nonexpansive mapping；generalized projection；Halpern's iteration；normalized duality mapping

O177.91

A

1000－1565（2012）02－0118－06

2011－04－27

河北省高等學校自然科學研究青年基金資助項目（2010110）；河北省自然科學青年基金資助項目（A2011201053；A2010000191）；國家自然科學基金資助項目（11101115）

劉英（1977－），女，河北邢臺人，河北大學副教授，主要從事非線性泛函分析方面的研究.

E－mail：ly＿cyh2007＠yahoo.com.cn

王蘭英）