不同圖靈模作用的幾種斑圖

白占國，董麗芳

（河北大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河北保定 071002）

不同圖靈模作用的幾種斑圖

白占國，董麗芳

（河北大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河北保定 071002）

采用雙層耦合的CIMA模型，研究了不同圖靈模相互作用時(shí)斑圖的選擇、形成機(jī)制.結(jié)果表明：當(dāng)2個(gè)子系統(tǒng)分別處在超臨界和次臨界分岔點(diǎn)附近時(shí)，超臨界圖靈模和次臨界圖靈模相互作用產(chǎn)生耦合，得到六邊形和超六邊斑圖；當(dāng)2個(gè)子系統(tǒng)激發(fā)的圖靈模均為超臨界模時(shí)，二者之間不發(fā)生耦合，每個(gè)子系統(tǒng)各自形成簡單的條紋斑圖；當(dāng)2個(gè)子系統(tǒng)激發(fā)的圖靈模均為次臨界模時(shí)，2個(gè)模產(chǎn)生相互作用，系統(tǒng)最終選擇完全相同的“豆角”斑圖.此外，圖靈模的分岔類型還改變斑圖的空間對稱性.

圖靈模；超點(diǎn)陣；超臨界和次臨界

斑圖（pattern）是一種典型的非線性自組織現(xiàn)象［1－2］，廣泛地存在于自然界，也可以在不同的實(shí)驗(yàn)室系統(tǒng)中進(jìn)行研究.其研究內(nèi)容涉及物理學(xué)、數(shù)學(xué)、化學(xué)、生態(tài)學(xué)等各個(gè)學(xué)科，而且在心臟病的防治、材料處理和局域生長以及等離子體光子晶體等方面具有廣闊的應(yīng)用前景，近年來引起人們極大的興趣.國內(nèi)外學(xué)者在實(shí)驗(yàn)［3－7］、尤其是理論上［8－14］做了大量的研究，得到了種類豐富的斑圖.例如，楊靈法等人［8－10］研究了系統(tǒng)處在超臨界和次臨界分岔時(shí)的超點(diǎn)陣斑圖和疊加斑圖的形成機(jī)理和空間共振條件.發(fā)現(xiàn)三波共振和相同的對稱性對超點(diǎn)陣斑圖的形成起著重要作用.Fineberg等人［11－12］研究了次臨界圖靈模與一個(gè)流體表面的超臨界法拉第波之間的相互作用，結(jié)果表明該系統(tǒng)出現(xiàn)的自組織四邊形和多種超點(diǎn)陣斑圖都是由多個(gè)非線性的波矢構(gòu)成，而且不同空間模峰值同時(shí)發(fā)生是三波共振的必要條件.Bachir小組［13］和Epstein小組［14］分別得到零模與不同空間模的相互作用，及超臨界模與MASK模相互作用時(shí)的圖靈斑圖.從以往的研究看，前人工作大多集中研究超臨界模和次臨界模的相互作用，對2個(gè)圖靈模均為超臨界或次臨界研究較少.

為了進(jìn)一步理解斑圖形成和選擇的物理機(jī)制，推進(jìn)非線性科學(xué)的發(fā)展、加快其實(shí)際應(yīng)用的進(jìn)程，研究系統(tǒng)處于不同分岔點(diǎn)時(shí)圖靈模之間的相互作用尤為重要.本工作針對此現(xiàn)狀，采用雙層耦合的CIMA模型，細(xì)致研究2個(gè)子系統(tǒng)激發(fā)3種分岔類型的圖靈模相互作用時(shí)斑圖的形成機(jī)理.

1 理論模型

采用雙層耦合的CIMA模型［14］，在無量綱條件下方程可寫成如下表達(dá)式：

其中，i）為系統(tǒng)的局部動(dòng)力學(xué).式中u和v分別表示變量活化子與禁阻子，Du和D v為二變量的擴(kuò)散系數(shù)，a和b是系統(tǒng)的控制參數(shù)，此方程組存在均勻定態(tài)解通過作線性穩(wěn)定性分析得到：當(dāng)控制參數(shù)b＞b H＝3a2

5－a

2 結(jié)果與討論

圖1是超臨界與次臨界分岔點(diǎn)耦合系統(tǒng)的色散關(guān)系及出現(xiàn)的斑圖.從系統(tǒng)的色散關(guān)系（如圖1a所示）

圖1 圖靈模為超臨界模和次臨界模時(shí)的色散關(guān)系和斑圖Fig.1 Dispersion relation in coupled system at supercritical or subcritical bifurcation point and patterns in two subsystems

可以看出，子系統(tǒng)1處于超臨界分岔點(diǎn)，激發(fā)超臨界圖靈模k1，振幅較大為基模又叫主動(dòng)模，占主導(dǎo)地位；子系統(tǒng)2則處于次臨界分岔點(diǎn)，產(chǎn)生1個(gè)次臨界圖靈模k2，振幅較小，是次諧振模，又稱從動(dòng)模，二者具有不同空間尺度.超臨界圖靈模k1是不穩(wěn)定的，在次臨界圖靈模k2作用下，激發(fā)出1個(gè)新的圖靈模k3，三者滿足三波共振關(guān)系k1＋k2＝k3，使2子系統(tǒng)之間發(fā)生非線性共振.長波模調(diào)制短波模，在子系統(tǒng)1出現(xiàn)超六邊斑圖（如圖1b所示），子系統(tǒng)2仍然呈現(xiàn)簡單的大點(diǎn)六邊形斑圖，如圖1c所示.觀察超六邊的傅里葉譜發(fā)現(xiàn)，超點(diǎn)陣能量的空間分布較大點(diǎn)六邊形更為復(fù)雜，包含3個(gè)不同空間尺度的波矢.

通過調(diào)節(jié)控制參量，使得k2模由次臨界的穩(wěn)定模穿過虛軸變?yōu)槌R界的不穩(wěn)定模，子系統(tǒng)2經(jīng)歷一個(gè)非平衡相變，原來穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的焦點(diǎn)，這種不穩(wěn)定的焦點(diǎn)叫動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的“排斥子”［1］.2個(gè)“排斥子”互相排斥，導(dǎo)致2個(gè)子系統(tǒng)不發(fā)生耦合，如圖2所示.2個(gè)超臨界模k1和k2之間沒有相互作用，每個(gè)子系統(tǒng)各自出現(xiàn)簡單的條紋斑圖，而非六邊形斑圖.繼續(xù)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的控制參量，使2個(gè)不穩(wěn)定的超臨界模變?yōu)榉€(wěn)定的次臨界模，考察其相互作用時(shí)對系統(tǒng)斑圖的影響，如圖3所示.從圖3a可以看出，此時(shí)，2個(gè)子系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)均是穩(wěn)定的，都是“吸引子”.2個(gè)圖靈模地位相當(dāng)，二者互相競爭，相互影響，2個(gè)子系統(tǒng)之間出現(xiàn)較強(qiáng)的耦合現(xiàn)象，并且相互調(diào)制，最終出現(xiàn)完全相同的“豆角”斑圖，即當(dāng)系統(tǒng)處于次臨界／次臨界分岔點(diǎn)時(shí)圖靈模的作用與前面2種情況均不相同.

圖2 2個(gè)圖靈模均為超臨界模時(shí)的色散關(guān)系和斑圖Fig.2 Dispersion relation in coupled system at supercritical bifurcation point and patterns obtained in two subsystems

圖3 2個(gè)圖靈模均為次臨界模時(shí)的色散關(guān)系和斑圖Fig.3 Dispersion relation in coupled system at subcritical bifurcation point and patterns in two subsystems

比較圖1、圖2和圖3發(fā)現(xiàn)，2個(gè)子系統(tǒng)是否能夠耦合及耦合強(qiáng)度的大小，敏感依賴其圖靈模分岔類型：當(dāng)系統(tǒng)處于超臨界與次臨界分岔點(diǎn)時(shí)，由于耦合作用，子系統(tǒng)1出現(xiàn)超六邊斑圖，子系統(tǒng)2則不受耦合因素影響，仍然呈現(xiàn)簡單斑圖；當(dāng)2子系統(tǒng)激發(fā)的圖靈模均為超臨界模時(shí)，層與層之間不發(fā)生耦合；如果2子系統(tǒng)激發(fā)的圖靈模均為次臨界模時(shí)，2個(gè)模地位相當(dāng)，二者互相競爭，相互影響，使得2個(gè)子系統(tǒng)強(qiáng)烈耦合.此外，斑圖的空間對稱性也因圖靈模分岔類型的不同而改變，其中當(dāng)系統(tǒng)處于超臨界分岔點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)選擇的斑圖空間對稱性最低，是條紋對稱性；次臨界分岔點(diǎn)次之，為類四邊形對稱，當(dāng)2個(gè)子系統(tǒng)分別處于超臨界與次臨界分岔點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)形成的斑圖空間對稱性最高，具有六邊形對稱性.

3 結(jié)論

通過對雙層耦合的反應(yīng)擴(kuò)散方程進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析，得到系統(tǒng)的分岔?xiàng)l件，選擇不同的控制參數(shù)，使2個(gè)子系統(tǒng)分別處于超臨界和次臨界、超臨界和超臨界、次臨界和次臨界3種不同分岔點(diǎn)，在隨機(jī)的初始條件下模擬了斑圖選擇和時(shí)空演化.模擬結(jié)果表明，不同圖靈模的相互作用在斑圖的選擇和形成過程中起著重要作用.當(dāng)2個(gè)子系統(tǒng)激發(fā)的圖靈模分別為超臨界模和次臨界模時(shí)，長波模調(diào)制短波模，二者相互作用使2個(gè)子系統(tǒng)發(fā)生耦合，滿足三波共振條件，子系統(tǒng)1出現(xiàn)超六邊斑圖，同時(shí)子系統(tǒng)2出現(xiàn)簡單六邊.2個(gè)子系統(tǒng)是否能夠耦合，敏感依賴其圖靈模分岔類型：如果2子系統(tǒng)激發(fā)的圖靈模均為超臨界模時(shí)，層與層之間不發(fā)生耦合，每層內(nèi)部滿足空間共振條件，每個(gè)子系統(tǒng)各自形成不同尺度空間的簡單條紋斑圖；值得注意的是，當(dāng)2個(gè)圖靈模均為次臨界模時(shí)，2個(gè)模地位相當(dāng)，其相互作用不同于前面2種情況，二者互相競爭，相互影響，使得2個(gè)子系統(tǒng)最終選擇完全相同的“豆角”斑圖模式.此外，還發(fā)現(xiàn)，圖靈模的分岔類型還改變斑圖的空間對稱性.本結(jié)果對深刻理解斑圖形成和選擇的物理機(jī)制，推動(dòng)斑圖動(dòng)力學(xué)的發(fā)展具有一定意義.

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Several patterns formed by different Turing－mode interaction

BAI Zhan－guo，DONG Li－fang
（College of Physics Science and Technology，Hebei University，Baoding 071002，China）

Mechanisms of pattern formation and pattern selection with different Turing modes interaction are investigated by using a two－layer coupled CIMA model.It is shown that hexagonal superlattice and simple hexagon arise respectively in subsystem1 and subsystem 2 under the condition that two subsystems locate at supercritical or subcritical bifurcation point.Both of them in two subsystems cannot interact when the two Turing modes are supercritical and one simple stripe pattern in each of sub－systems emerges spontaneously.The identical‘bean’patterns is selected in the two subsystems when two Turing modes are subcriticl.In addition，the bifurcation types of the Turing modes also affect the spatial symmetry of the emerging patterns in system.

Turing modes；superlattice；supercritical and subcritical

O461.2

A

1000－1565（2012）02－0140－04

2011－02－15

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10775037）

白占國（1971－），女，河北景縣人，河北科技大學(xué)副教授，主要從事等離子體物理斑圖動(dòng)力學(xué)方向研究.

董麗芳（1963－），女，河北保定人，河北大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，主要從事等離子體方向研究.

E－mail：donglf＠hbu.edu.cn

孟素蘭）