徑向復合功率合成超聲振動系統*

劉世清， 王家濤， 蘇 超， 朱天宇， 王娉婷， 董 飛

(浙江師范大學應用聲學研究所，浙江金華 321004)

0 引言

超聲振動系統是超聲拉絲、冷拉管等金屬成型設備的核心部件，由于單個超聲換能器的功率容量有限，人們常采用大功率超聲合成系統［1-3］．20世紀60年代，美國Aeroprojects公司開發出了一種用于工業化生產的大功率超聲冷拔金屬管系統;我國20世紀80年代由中國科學院與上海鋼管廠聯合研制出一種冷拔鋼管功率超聲合成器．目前工程應用中的功率合成振動系統主要有2種［4-5］：一種是L-L型功率超聲合成系統，該系統采用一組縱向換能器聯合激勵一根波導桿的縱向振動來獲得大功率輸出;另一種是R-L型及L-L-L型正交耦合振動方向變換器．如R-L系統由圓盤和通過盤中心并與之正交聯接的桿構成，利用盤桿之間的振動耦合將盤的徑向振動變換為桿的縱向振動獲得大功率輸出．

上述功率合成系統的特點均通過振動合成來獲得大功率縱向振動能量輸出．本文以縱向壓電超聲換能器與變厚度剖面圓盤構成的徑向復合型功率合成超聲振動系統為對象進行研究．該系統通過1組縱向壓電超聲換能器對圓盤進行徑向激勵，可獲得大功率徑向振動能量輸出，并可直接作用于拉管系統的環形拉模上，提高拉模效率．采用諧振疊加法設計了功率合成振動系統．基于機電類比原理，建立了復合系統的變厚度剖面圓盤徑向振動機電等效圖，得到其頻率方程，并進行了有限元仿真計算分析．通過實驗測試了功率合成系統的共振頻率，理論與實驗結果吻合．

1 縱-徑耦合型功率合成振動系統分析

圖1為徑向復合型功率合成超聲振動系統．為提高系統的位移振幅放大系數及能量傳輸效率，系統采用1組縱向復合壓電超聲換能器與楔形剖面圓盤徑向復合而成，構成由外向內的聚能系統．該系統的圓盤作為變幅起阻抗變換及振幅放大作用．事實上，該圓盤可直接作為拉模進行設計．換能器沿圓盤周向對稱分布，并對盤作徑向激勵，在圓盤內表面可獲得大功率徑向振動能量輸出．若壓電換能器徑向激勵頻率與圓盤徑向共振頻率一致，整個系統即處于共振狀態．此時可采用諧振疊加法對系統各部分進行單獨設計．由于壓電換能器是一個機電耦合系統，通常采用等效電路進行設計．作為縱向復合壓電超聲換能器，其設計理論已比較成熟．因此，圓盤的徑向振動是本文的重點研究對象．采用機電類比原理建立楔形剖面圓盤徑向振動機電類比電路，進而得出其徑向共振頻率方程，并對其徑向振動特性進行分析．

2 楔形剖面圓盤徑向振動分析

圖1 徑向復合功率合成超聲振動系統

考慮徑厚比較大的楔形剖面薄圓盤，其內沿厚度小于外沿厚度，構成由外向內的聚能變幅器，利用換能器激勵可獲得較大內外表面徑向位移振幅比，如圖2所示．其內外半徑分別為b，a．在滿足薄盤條件情況下，其厚度方向振動可忽略，而只考慮其半徑方向的振動．不計徑厚耦合，薄圓盤的純徑向振動為一平面應力問題．柱坐標系中任意變等厚度盤軸對稱徑向振動微分方程為［6］

圖2 楔形剖面圓盤徑向振動分析示意圖

式(1)中：ξr為徑向振動位移;t(r)為楔形剖面變化函數;ρ為材料密度;ν為材料泊松比;E為材料彈性模量．盤中徑向正應力為

設楔形剖面厚度變化函數為t(r)=δr，δ為厚度變化因子．由式(1)得

式(2)中：k為縱波波數;k=ω/c;c=［E/ρ(1－ν2)］1/2為徑向振動波速．由波動方程(3)，并考慮到圓盤做純徑向簡諧振動，通解可表示為

2．1 位移振幅放大系數

位移節點(節面)及振幅放大系數是變幅器的2個重要參數．設楔形剖面變幅器內、外側面處質點位移振幅分別為 ξ1，ξ2．自由邊界條件為

由式(4)、式(6)得 C1，C2的表達式為：

令 F(kb)=F(kr)，G(kb)=G(kr)，則上式中

將待定常數C1，C2表達式代人式(4)，得楔形剖面盤的徑向位移分布函數表達式為

當位移為零時，由式(11)得位移節圓方程為

設r=a，ξr=－ξ2，定義振幅放大系數為內、外側面質點位移振幅之比，由式(11)得位移振幅放大系數表達式為

對給定的幾何尺寸，通過頻率方程求得變幅器的共振頻率，即可由式(13)求得變幅器的位移振幅放大系數．

2．2 機電類比等效電路

以F1，F2，v1，v2分別表示變幅器內外輻射面處的外力及質點振速，當 r=b時，v=v1;r=a時，v= －v2．由此得 C1，C2的表達式為：

將式(14)及式(15)代入式(2)得

由一般邊界條件，Fr|r=b=Tr|r=b·Sb= － F1，以及 Fr|r=a=Tr|r=a·Sa= － F2，得：

式(7)～式(8)中，z01=ρcS1與z02=ρcS2分別表示盤形變幅器內、外側面特性力阻抗．其中S1=2πbt(b)，S2=2πat(a)分別表示盤形變幅器內外側面積．式(17)、式(18)可進一步整理為如下形式：

依據四端網絡理論，式(19)、式(20)可用如圖3所示的T型等效電路來描述．圖3中各臂機械阻抗分別為：

圖3 楔形剖面圓盤徑向振動等效電路圖

2．3 頻率方程

對于自由徑向振動楔形剖面圓盤，由等效電路圖3可得其外側面機械輸入阻抗為

將上述各機械阻抗z1，z2，z3的表達式代入式(26)，并由機械共振條件Im(zi)=0，化簡可得圓盤徑向共振頻率方程為

顯然，徑向共振頻率方程(27)為一個含有非整數階第一類和第二類Bessel函數的復雜超越方程，借助計算機可求出相應的徑向共振頻率的數值解．

3 算例

應用中通常采用鋼和硬鋁作為變幅器材料．以下對圓盤在第1、第2階徑向共振狀態下，其振幅放大系數及頻率特性進行理論及有限元分析．材料特性參數分別為：鋼：ρ=7 800 kg/m3，ν=0．28，E=209 GPa;硬鋁：ρ=2 790 kg/m3，ν =0．34，E=71．5 GPa;圓盤的幾何參數取外半徑 a=50 mm，外沿厚度t(a)=10 mm，內沿厚度t(b)=6 mm．為簡化計算，引入半徑比γ=b/a．以γ為變量對楔形剖面圓盤的位移振幅放大系數及其第1、第2階徑向共振頻率進行了數值和有限元仿真計算．理論與仿真結果如圖4～圖6所示．

圖4為鋼制楔形剖面盤基頻及第2階徑向共振位移振幅放大系數與其內外半徑比的關系．圖中M1，M2分別表示第1、第2階振幅放大系數．由圖4可見，振幅放大系數存在一個極大值．對于基頻共振模態，此極大值對應的半徑比γ≈0．4;而第2階共振模態，該極大值對應的比γ≈0．15．顯然，基頻共振時振幅放大作用不明顯，特別當圓盤的γ＜0．2時，M1＜1，圓盤不構成由外向內的變幅器，這在設計中必須注意的問題．而第2階共振模式具有顯著的位移振幅放大系數，理論與有限元仿真結果一致．此外，從圖4可以看出，當圓盤γ趨于1時，M1，M2均趨于1，即無振幅放大作用．事實上，當γ→1，即薄壁極限圓環，其內外側面振幅一致．在超聲工程應用領域，變幅器位移振幅放大系數越大越好．就振幅放大系數而言，第2階共振較好．

圖4 第1、第2階徑向共振幅位移振幅放大系數與半徑比關系

圖5 第1、第2階徑向共振頻率與半徑比關系

圖5 為楔形剖面圓盤形變幅器的第1、第2階徑向共振頻率與其內外半徑比之間的關系．由圖5可見，圓盤振子的基頻隨其γ增大而單調下降．而第2階共振頻率開始隨γ增大略有降低，當γ達到一定值時，共振頻率隨γ增大單調上升．原因是第2階徑向共振模式時，盤中出現了一位移節圓．當變幅器內外半徑比增大時，其環寬變小，相當于諧振“長度”變短，因而頻率升高，理論與仿真結果一致．進一步分析表明，當圓盤振子的γ→1，即b→a時，其第2階徑向共振頻率為無窮大．因而對薄壁圓環振子只存在徑向基波，而無高次諧波．

圖6為相同幾何尺寸的鋼制和鋁制圓環基頻共振位移振幅放大系數隨其半徑比的變化關系．由圖6可知，鋁制圓盤振子的振幅放大系數高于鋼制圓盤．此外，鋁制圓盤的M1極大值對應的γ值小于鋼制圓盤．

圖6 鋼、鋁制圓盤基頻振幅放大系數與半徑比關系

4 實驗

系統采用各組件單獨設計的方法，加工了6個聚能型縱向復合壓電超聲換能器，理論設計頻率均為30 kHz，實測諧振頻率分別為 29．783，29．907，29．928，29．952，30．041 及 30．173 kHz．金屬圓盤材料選用45號鋼，幾何尺寸為：外徑80 mm，內徑30 mm，外沿厚度10 mm，內沿厚度6 mm．其剖面為楔形．由頻率方程(27)，算得圓盤第1階徑向共振頻率的理論值為29．791 kHz．組裝后的功率合成超聲振動系統如圖7所示．

6個縱振換能器之間以電并聯方式連接，在小信號下測試，利用PV70A阻抗分析儀測得該功率合成超聲振動系統的共振頻率為29．536 kHz，系統共振頻率與各組件共振頻率吻合較好．

圖7 試驗樣品

5 結論

1)本文對縱-徑耦合型功率合成超聲振動系統進行了研究．基于機電類比原理，導出了系統的楔形剖面圓盤變幅器徑向振動等效電路及頻率方程，并得到了其位移振幅放大系數的表達式．

2)理論及有限元仿真結果表明，存在一最佳半徑比，使得盤形變幅器振幅放大系數達極大值．該極大值對應的半徑比與材料特性及振動模式有關．對于盤形變幅器，其基頻振動模式振幅放大系數較小，要獲得較大的振幅放大系數，除選擇合適的材料及半徑比外，采用第2階徑向共振模式較好．

3)采用諧振疊加法設計了功率合成系統，并對其共振頻率進行了測試，結果表明，理論與實驗吻合較好，相對誤差小于3%，滿足工程應用需要，為超聲振動拉模系統的設計提供了參考．

［1］Siegert K．Uner J．Superimposing ultrasonic waves on the dies in tube and wire drawing［J］．Journal of Engineering Material and Technology，2001，123(4)：517-523．

［2］謝濤，齊海群，張俊．超聲振動拉絲實驗研究［J］．中國機械工程，2006，17(3)：224-226．

［3］劉遲斌．超聲波振動拉管系統的失諧補償研究［J］．塑性工程學報，2004，11(6)：89-92．

［4］王愛玲，祝錫晶，吳秀玲．功率超聲振動加工技術［M］．北京：國防工業出版社，2007．

［5］蘇敦珍．超聲冷拔鋼管［J］．鋼管技術，1985(1)：21-23．

［6］Gladwell G M L．The vibration of mechanical resonators(II)［J］．Journal of Sound and Vibration，1967，6(3)：351-64．