單軸晶體材料的Casimir 效應調控研究*

汪 飛，曾 然，李齊良

(杭州電子科技大學通信工程學院，杭州310018)

Casimir 效應起源于量子真空零點能的漲落，1948 年Casimir 在理論上推導出真空中兩個中性理想導體板間相互吸引［1］。隨后Lifshitz 最先研究計算了兩個半無窮介質平板間的Casimir 作用力的宏觀理論［2］。近年來，Casimir 效應在實驗和理論方面引起了廣泛的關注。特別是隨著納米技術的發展，Casimir 效應在亞微米范圍內對機械系統產生顯著影響［3－5］，它可被利用于動力學裝置，但也會使系統中可動的組裝零件粘附在一起造成破壞，因此已成為當前的一個研究熱點，此后許多物理學家對Casimir 效應的理論進行了發展。Lifshitz 理論的一個約束條件是假設兩相互作用的介質都是各向同性，而且研究中大多是基于量子表面模式方法來計算兩平行板間的Casimir 力。本文采用應力張量方法來計算，討論真空中的兩平行單軸晶體平板間的Casimir 效應，并研究板間距離以及晶體材料特征參數對Casimir 作用力的影響。

1 兩個單軸晶體平板間的Casimir 力

考慮置于真空中的兩塊平行單軸晶體平板，設板厚為d，板間距為a。設xoy 面是兩單軸晶體的表面，z 為垂直于表面的法線方向，取入射面為xoz 面，如圖1 所示。

那么每個平板所受到的Casimir 力等于Maxwell電磁場應力張量zz 分量進行重整化［6］:

其中Tzz和T0zz分別對應介質板腔系統中兩板間的應力張量分量和無介質板邊界的自由空間應力張量分量，可由計算電場和磁場場量算符的真空態期望得到

圖1 真空中兩平板的位置

依據漲落－耗散定理［7］，場量的相關函數由Green 函數G(r，r';ω)和GB(r，r';ω)表示［8］，因此

類似地，T0zz亦為上述形式。計算重整化應力張量分量的本質即需減掉無限介質中的自由場部分，式(3)中的Green 函數利用散射場的Green 函數GSC(r，r';ω)=G(r，r';ω)－G0(r，r';ω)來替換，其中G0(r，r';ω)是無限介質中的Green 函數，然后將式(3)代回應力張量表達式就得到了~Tzz。考慮到兩板之間真空，最后得到Casimir 力的計算公式為

是頻率和波矢的積分，k 為平行于介質板表面的波矢分量，r 為介質材料板的反射系數。現在我們考慮半無窮厚度板的情形，這時材料板反射系數rN即簡化成單界面反射系數r'N。對于單軸晶體板間Casimir 力的計算，被積函數頻率積分路徑可由實頻換做虛頻［9］，即取ω=iξ，則(4)轉化成:

對于單軸晶體材料，其色散特性由Drude－Lorentz 型關系［10］描述如下:

其中‖和⊥表示與晶體光軸平行和垂直的方向，ωPυ為等離子體頻率，描述晶體材料與電磁場之間相互耦合的能力，ωTυ為共振頻率，γυ是材料對電磁波的吸收系數，同時也是相應電極化與磁極化的共振線寬。這些晶體參數確定材料的介電常數和磁導率的色散曲線結構。

當一束單色平面波在xoz 面內傳播，我們只就光沿晶體的主截面入射時的特殊情況［11－12］討論，此時反射光和折射光均在入射面內，介電常數為張量形式［13－14］。指標N=TE，TM 表示平面波在空間中的兩種極化形式。反射系數可由傳輸矩陣法得到，代入式(5)后得到單軸各向異性晶體材料板間的Casimir 作用力。

2 仿真與結果分析

圖1 中兩單軸晶體板的電磁特性和幾何參數完全相同。圖2 ～圖6 中的Fryy、Frzz分別表示單軸晶體板光軸沿y 軸和z 軸時的相對Casimir 力，其中ω0為一個相對頻率單位，λ0=2πc/ω0為相應的真空波長。

圖2 Fr 隨板間距a 的變化

圖2給出了相對Casimir 力Fr=FC/F0依賴于板間距的變化情況，其中F0=?cπ2/240a4是理想導體板間Casimir 力［1］。參數取值如下:ωP‖=ω0，ωT‖=0.5ω0，ωP⊥=1.3ω0，ωT⊥=ω0，γυ=0.01ωTυ(υ=‖或⊥)，從圖2 可以看出，兩個半無窮厚度板間的相對Casimir 力隨板間距的增大而遞增，最后基本保持不變，表明Casimir 作用力在短距下受到較強抑制，而隨著板間距的增大抑制逐漸放緩，恢復到最大約為理想導體板間力的1/10，并且光軸沿z 軸時的Casimir 力強于沿y 軸時的Casimir 力。

下面討論單軸晶體板間的Casimir 力依賴于各參數的變化情況:

圖3 Fr 隨ωP‖的變化1

圖4 Fr 隨ωP‖的變化2

圖3和圖4 分別給出了Fr隨等離子體頻率ωP‖的變化情況，圖3 中各參數取值如下:ωT‖=ω0，γ‖= 0. 01ωT‖，ωP⊥= 1. 3ω0，ωT⊥= 0. 5ω0，γ⊥=0.01ωT⊥，板間距a=λ0，Casimir 力依賴于等離子體頻率變化的關系是單調遞增的。這是因為在其他參數固定的情況下，等離子體頻率越大的材料反射特性越強，因此Casimir 力越大。從圖3 還可以看出光軸沿y 軸時的Casimir 力大于沿z 軸時的Casimir力。圖4 中各參數取值為:ωT‖=ω0，γ‖=0.01ωT‖，ωP⊥=2ω0，ωT⊥=1.5ω0，γ⊥=0.01ωT⊥，板間距a=λ0，在這種情況下，當ωP‖＜1.36ω0和ωP‖＞4.11ω0時，光軸沿y 軸時的Casimir 力強于沿z 軸時的Casimir 力;而當1.36ω0＜ωP‖＜4.11ω0時，沿z 軸時的Casimir 力要大些。當考慮Fr隨等離子體頻率ωP⊥的變化情況時，可得到類似的結論。

Casimir 力依賴于共振頻率的變化情況，如圖5所示，參數取值如下:ωP‖=ω0，γ‖=0.01ωT‖，ωP⊥=1.3ω0，ωT⊥=0.8ω0，γ⊥=0.01ωT⊥，板間距a=λ0，分析過程和上面類似。

圖5 Fr 隨ωT‖的變化

圖6顯示了吸收系數γ‖對Casimir 力的影響，其中取ωP‖=3ω0，ωT‖=ω0，ωP⊥=1.3ω0，ωT⊥=0.5ω0，γ⊥=0.01ωT⊥，板間距a=λ0，可以看到Casimir 效應隨吸收系數的增大而減弱，這是因為固定其他參數后吸收系數越大使得反射系數越小，進而導致Casimir 力變弱。從圖6 還能看出，當γ‖＜1. 21ω0和γ‖＞28.61ω0時，光軸沿y 軸時的Casimir 力強于沿z 軸時的Casimir 力;而當1.21ω0＜γ‖＜28.61ω0時，沿z 軸時的Casimir 力要更大些。當考慮Fr隨γ⊥的變化情況時，也可以得到相類似的結論。

圖6 Fr 隨γ‖的變化

從上述幾種情形中，我們能夠看出通過調控各參數的取值可以改變Casimir 力的大小，從而使Casimir 效應的強弱也受到影響。

3 結論

本文利用Maxwell 應力張量法計算了單軸晶體平板間的Casimir 作用力，并對該晶體板間的Casimir效應的調控作出了探討。仿真結果表明，Casimir 效應的強弱受到板間距、材料特性的影響。在短距下Casimir 力受到較強抑制，但是隨著距離的增大，這種抑制作用就會逐漸減弱，從而可考慮有效避免短距下的微機械元件間可能存在的粘附破壞。另外當各參數取不同值時以及晶體光軸在垂直和平行于平板表面時Casimir 力的大小也不同。因此通過改變板間距及材料特性可有效地調控Casimir 效應。

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