基于復合執行機構的再入彈頭動力學建模與控制

王 振，吳 忠，蔣方超

（北京航空航天大學 儀器科學與光電工程學院，北京100191）

作為一種強有力的威懾和打擊手段，彈道導彈在現代戰爭中起著舉足輕重的作用.為提高彈道導彈的命中精度，增強機動突防能力，必須對彈道導彈的再入彈頭進行末制導.再入彈頭的姿態控制是末制導所要解決的核心關鍵技術之一.

為實現再入彈頭的姿態控制，目前主要采用氣動舵面控制、推力矢量控制、變質心控制等方案.氣動舵面控制和推力矢量控制方案在工程上已有多年的實踐歷史，技術相對較為成熟.然而，實踐表明氣動舵面存在高溫燒蝕、控制效率不高等問題[1].推力矢量控制雖不存在上述問題，但會引起彈體質心漂移，側向噴流與來流的相互影響也會產生一定的干擾，影響彈體的控制性能[2].

變質心控制方案則將質量滑塊安裝在彈頭內部，不存在燒蝕問題，結構簡單[3～5]，已成功應用于“白楊”M等導彈中[6].國內對變質心控制方案的研究起步較晚，但已取得一些有價值的研究成果[7，8].然而，僅依靠質量滑塊不能產生滾轉控制力矩，在大氣稀薄時，無法實現較大幅度的姿態機動[3].

為避免以上方案存在的問題，文獻[9]將航天器控制領域中常用的姿態控制執行機構——動量輪引入再入彈頭的控制.與變質心控制類似，動量輪同樣不存在燒蝕問題.然而，動量輪所能提供的力矩有限，不足以實現彈頭較大的機動控制[6，9].

同樣，單框架控制力矩陀螺（SGCMG）也是一種航天器姿態控制執行機構[10]，利用較小的框架運動即可輸出較大的力矩，不依賴外部環境，動態特性好，適于高機動再入彈頭的姿態穩定與控制[6].然而，當SGCMG產生常值力矩時，可能會發生角動量飽和問題，需要借助卸載執行機構進行卸載.

考慮到質量滑塊和SGCMG特點的互補性，可采用SGCMG輔助質量滑塊工作，而通過質量滑塊調節氣動力矩為SGCMG卸載，取長補短.當彈頭位于大氣層外或大氣較為稀薄時，以SGCMG為主，以質量滑塊為輔；當彈頭位于大氣層內或大氣較為稠密時，以質量滑塊為主，以SGCMG為輔.然而，如何將質量滑塊和SGCMG復合使用以實現彈頭再入控制，目前尚未見系統的研究工作.

因此，本文針對采用質量滑塊和SGCMG 2類執行機構的再入彈頭，采用New－Euler法，詳細建立基于復合執行機構的再入動力學模型，利用Lyapunov穩定性理論，設計彈頭非線性姿態控制器，以實現對期望姿態的良好跟蹤，并通過仿真手段，分析復合執行機構在再入彈頭控制中應用的可行性.

1 坐標系及符號定義

設再入彈頭采用2個質量滑塊（p、q）和n個SGCMG作為姿態控制執行機構，整個系統的質心為S，彈頭本體的質心為O，壓心為P，如圖1所示.所用坐標系定義如下.

①慣性坐標系OExiyizi（i系）.選為地心赤道慣性坐標系.

②再入坐標系exeyeze（e系）.e為再入時刻地心OE與再入彈頭質心O的連線與地球表面的交點，eye沿e點與質心O的連線方向，指向質心O為正，exe在再入時刻再入彈頭運行的軌道平面內，且垂直于eye軸.

③再入彈頭體坐標系Oxbybzb（b系）.O為再入彈頭質心，Oxb沿縱軸指向頭部，Oyb在縱向對稱平面內，向上為正，Ozb由右手定則確定.

④平臺坐標系Opxpypzp（p系）.用于安裝SGCMG，Op與O重合，Opxp、Opyp、Opzp分別與彈體坐標系的Oyb、Ozb、Oxb軸重合.

⑤框架坐標系Gisigiti（Gi系）.框架坐標系隨框架一起轉動，Gi為第i個SGCMG的質心，Gisi沿轉子轉動軸方向，Gigi沿框架轉動軸方向，如圖2所示.

圖1 再入系統結構示意圖及坐標系定義

圖2 SGCMG結構示意圖及坐標系定義

為方便推導，定義變量及符號如下：

m為彈頭和SGCMG的總質量；mp，mq分別為質量滑塊p和q的質量；再入系統總質量mt＝m＋mp＋mq；質量比μp＝mp/mt，μq＝mq/mt.

rs為質心S的絕對矢量，ro為質心O的絕對矢量，ros為質心S相對質心O的矢量；rsp為質量滑塊質心p相對質心S的矢量；rsq為質量滑塊質心q相對質心S的矢量；p，q分別為質量滑塊p和q相對質心O的位置矢量；vp，vq分別為質量滑塊p和q的絕對速度矢量.

Ag＝ （g1g2…gn），As＝ （s1s2…sn），At＝（t1t2…tn），其中，gj，sj，tj分別表示SGCMG的框架角速度方向單位矢量、轉子轉速方向單位矢量和輸出力矩反方向單位矢量在b系中的分量列陣，j＝1，2，…，n；Icg，Ics，Ict分別為SGCMG（包括框架和轉子）對g，s，t軸的轉動慣量對角矩陣；Iws為SGCMG轉子軸向轉動慣量對角矩陣；Ω＝（Ω1Ω2…Ωn）T為SGCMG的轉子角速度；（Ω）d＝diag（Ω1，Ω2，…，Ωn），上標“d”表示對角變換；γ＝（γ1γ2…γn）T為SGCMG的框架角＝（12…n）T為框架角速度.

G為再入系統重力；Fa為空氣動力；Mo為空氣動力對質心O的力矩；Ms為空氣動力對質心S的力矩；Md為空氣阻尼力矩.

Jo為再入彈頭對質心O的轉動慣量；J為再入系統總的轉動慣量.

（·）w表示矢量（·）在w系中的投影表示從u系到w系的坐標變換矩陣表示w系相對u系的角速度在 w 系中的投影分別表示矢量r相對u系的一階、二階導數在w系的投影；如果x＝（x1x2x3）T，則

2 再入彈頭動力學建模

設再入系統各部分為剛體，視質量滑塊均為質點，考慮地球自轉角速度、非球形等因素的影響.同時，設質量滑塊的布局是任意的，p和q的移動路徑均用矢量表示，n個SGCMG的安裝也是任意的.

2.1 平動動力學

再入系統質心S在慣性系中可表示為

則再入系統質心S的絕對加速度為

根據牛頓第二定律，可得：

又由于：

根據式（2）～式（4），可得平動動力學方程：

2.2 轉動動力學

考慮質量滑塊及SGCMG的影響，可寫出再入系統相對質心S的總動量矩：

由動量矩定理，可得：

將式（7）代入式（8），可得轉動動力學方程為

式中，

如定義SGCMG產生的力矩為

定義質量滑塊產生的慣性力矩為

定義質量滑塊運動引起的附加轉動慣量為

則J＝Jo＋Jcmg＋ΔJ，式（9）可簡化為

式中，控制力矩為Ms＋Mg，由質量滑塊和SGCMG共同產生.

2.3 姿態運動學

在此采用四元數λ＝（λ0λ1λ2λ3）T描述彈頭相對e系的姿態，記＝（λ1λ2λ3）T，則姿態運動學可表示為

如用Euler角表示姿態，滾轉角φ、俯仰角θ、偏航角ψ與四元數λ之間可以相互轉換，具體轉換關系略.

3 非線性姿態控制器設計

為實現彈體對期望姿態的穩定跟蹤，必須設計彈頭姿態控制器.設彈頭目標姿態四元數為λz，當前姿態相對于期望姿態的誤差四元數為＝（λer0）T，則可寫出誤差姿態運動學方程為

如定義誤差角速度為

則可取Lyapunov候選函數為

式中，常數k1＞0.對上式兩端求導，并將式（19）、式（20）、式（16）依次代入，整理可得：

式中，常數矩陣K＞0.則式（21）可變為

根據Lyapunov穩定性定理和LaSalle不變集定理，可以證明，當t→∞時，ωer→0，er→0，λer0→1，可以實現對期望姿態的穩定跟蹤.

如取質量滑塊/SGCMG產生的控制力矩為

4 仿真結果與分析

為驗證復合執行機構在再入彈頭中應用的可行性，在此針對某型彈道導彈的再入彈頭進行仿真研究.在仿真中，暫不考慮制導環節的影響，彈頭在從一定高度自由下落的過程中，給定指令姿態角，考察彈頭姿態控制系統對期望姿態的跟蹤能力及復合執行機構的力矩產生能力.

仿真中所用的彈頭參數為[8]：彈頭質量m＝600kg，Jo＝diag（55.1，100，100）（kg·m2），初始速度為2km/s，截面積為0.5m2；質量滑塊采用導軌平行于彈體坐標系坐標軸的布局，pb＝（0py0），qb＝（00qz），mp＝mq＝60kg；考慮到質量和體積限制，采用4個SGCMG，以雙平行構型安裝，初始框架角為（45 －45 45 －45）T（°），Iws＝diag（0.5，0.5，0.5，0.5）（kg·m2），Ict＝Icg＝diag（0.03，0.03，0.03，0.03）（kg·m2），Ics＝diag（0.05，0.05，0.05，0.05）（kg·m2），框架軸安裝角為90°，轉子角速度Ω＝（10 000，10 000，10 000，10 000）T（r/min）.假設質量滑塊的最大移動距離為0.2m，初始高度為32km.

采用式（22）對再入彈頭姿態進行控制，并取k1＝3.8，K＝diag（8.9，7.9，8.1）.由于式（22）給出的期望控制力矩是由質量滑塊和SGCMG共同產生的，因此還必須采用一定的控制分配策略，將期望控制力矩分配給質量滑塊和SGCMG.在此，采用質量滑塊最大使能的控制分配方案，即在控制分配中，優先考慮質量滑塊，在質量滑塊產生的力矩不能滿足需求時，再由SGCMG彌補其不足.對于復合執行機構控制分配方案，將另文詳述.在力矩分配的基礎上，采用帶零運動的偽逆操縱律，將SGCMG的力矩指令分解為框架角速度指令；對式（12）求解，將質量滑塊的力矩指令分解為滑塊的位置指令.

用φd、θd、ψd表示期望姿態角，Mer表示輸出力矩誤差，D和hg分別表示SGCMG的奇異測度、總角動量，仿照文獻[9]：

可得仿真結果，如圖3～圖11所示，其中三軸分量均是在體坐標系中.由圖3、圖4可以看出，在采用SGCMG和質量滑塊復合執行機構的情況下，再入彈頭姿態控制系統可以實現三軸姿態的良好跟蹤，姿態角跟蹤誤差小于0.5°，姿態角速度誤差小于0.01rad/s.由圖5則可以看出，復合執行機構能夠產生所需的控制力矩，偏航和俯仰力矩誤差小于0.000 3N·m，滾轉力矩誤差小于0.001 5N·m.

圖6～圖8反映了彈頭再入過程中質量滑塊的工作情況.可以看出，在彈頭再入初始段，由于大氣密度較低，滑塊不足以產生所需的控制力矩，經常位于最大位置0.2m處，即滑塊處于最大使能狀態.隨著彈頭高度不斷降低，大氣密度不斷增加，氣動力也隨之增大，滑塊產生的偏航及俯仰力矩逐步可以滿足控制需求.因此，在30s之后，滑塊的運動幅值開始不斷減小.

圖9～圖11則反映了彈頭再入過程中SGCMG的工作情況.可以看出，在彈頭再入的全過程中，滾轉力矩主要依賴SGCMG產生，而SGCMG產生的俯仰和偏航力矩則隨著彈頭高度的降低逐漸減小.同時，SGCMG奇異測度較大，沒有出現奇異現象.SGCMG的總角動量小于100N·m·s，遠沒有達到SGCMG所能提供的最大角動量，不需要卸載操作，工程上是可以實現的.

圖3 姿態角跟蹤誤差曲線

圖4姿態角速度跟蹤誤差曲線

圖5控制力矩輸出誤差曲線

圖6 高度變化曲線

圖7 質量滑塊力矩輸出曲線

圖8 質量滑塊位置曲線

圖9 SGCMG奇異測度曲線

圖10 SGCMG力矩輸出曲線

圖11 SGCMG總角動量曲線

綜合以上分析可知，在彈頭再入全過程中，質量滑塊和SGCMG組成的復合執行機構可以滿足再入過程的控制力矩需求，實現彈頭姿態的良好跟蹤.當大氣比較稀薄時，質量滑塊產生的力矩較小，不能滿足控制需求，需要SGCMG配合以彌補質量滑塊力矩產生能力的不足；當大氣比較稠密時，質量滑塊可以產生足夠大的俯仰及偏航力矩，但在滾轉通道仍需SGCMG輔助.

5 結論

本文針對采用質量滑塊和SGCMG作為姿態控制執行機構的再入彈頭，建立了再入動力學模型，利用Lyapunov穩定性理論，設計了基于復合執行機構的再入彈頭非線性姿態控制系統.仿真結果表明：質量滑塊/SGCMG復合執行機構能夠滿足再入彈頭姿態控制的力矩需求，實現彈頭姿態的良好跟蹤，復合執行機構方案是可行的.

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