帶2個參數的二階脈沖微分方程3點邊值問題的正解

郭少聰，郭彥平，張素芬

（1.河北科技大學理學院，河北石家莊 050018；2.石家莊信息工程職業學院，河北石家莊 050035）

帶2個參數的二階脈沖微分方程3點邊值問題的正解

郭少聰1，郭彥平1，張素芬2

（1.河北科技大學理學院，河北石家莊 050018；2.石家莊信息工程職業學院，河北石家莊 050035）

利用錐上的Krasnoselskii不動點定理，討論了帶有2個參數的二階脈沖微分方程3點邊值問題正解的存在性和不存在性。通過定義合適的積分算子，給出了該問題有1個正解或2個正解以及不存在正解的充分條件。

脈沖微分方程；正解；Krasnoselskii不動點定理

1 預備知識

脈沖微分方程描述的是事物在發展過程中的某一時刻某一狀態發生突變，脈沖微分方程已經成為了微分方程中一個非常重要的研究領域。比如，邊值問題作為脈沖微分方程的一個重要分支，已經引起了很多學者的關注，并激發了他們極大的研究興趣［1－6］。常微分方程邊值問題的研究中有很多關于多點邊值問題的研究著作，但是僅有少量論文研究帶參數的二階非線性脈沖微分方程邊值問題［7］。

YAN在文獻［6］中利用錐上的錐拉伸和錐壓縮不動點定理研究了帶2個參數的周期泛函脈沖微分方程的周期正解的存在性以及不存在性。文獻［3］通過運用相同的定理得到了二階脈沖微分方程3點邊值問題正解的存在性的結論：

其中，f∈C（［0，＋∞），［0，＋∞）），α∈C（J，（0，1］），對t∈J，t≤α（t）≤1，β＞0，η∈（0，1），a（t）∈C（J，［0，＋∞）），且1－βη＞0。

基于以上研究，筆者主要研究帶2個參數的二階脈沖微分方程3點邊值問題，即

本文中用到的主要定理是錐上的krasnoselskii不動點定理［7］。

定理1 設X是Banach空間，K是X上的一個錐，設Ω1，Ω2分別是X的有界開子集，θ∈Ω1??Ω2，若算子T：K∩（＼Ω1）→K是全連續算子，且滿足下面2個條件之一：

那么，A在K∩＼Ω1）中至少存在1個不動點。

2 相關引理

在這一部分，給出一些在證明過程中必要的引理。

引理1 令η∈（0，1），1≠βη，那么對y∈C［0，1］，問題

引理2［3］如果條件H4）成立，設Ii≥0，i＝0，1，…，m且y∈C（J，R＋），那么式（2）的唯一解在J上滿足的條件u（t）≥0。

3 主要結論

定理2 假設條件H1）－H4）成立，且f0，f∞都是正數，且滿足

式中：η∈Jj；j＝0，1，…，m；i＝0，1，…，m。那么式（1）至少有一個正解。

證明 根據式（4）選擇ε＞0，使得：

［1］ BAINOV D D，SIMEONOV P S.Impulsive Differential Equations：Periodic Solutions and Applications［M］.Harlow：Longman Science and Technical，1993.

［2］ LI J，HUA J.Multiple positive solutions for a second－order three－point boundary value problem［J］.Appl Math Comput，2006，182：258－268.

［3］ JANKOWSKI T.Positive solutions of three－point boundary value problems for second order impulsive differential equations with advanced arguments［J］.Appl Math Comput，2008，197：179－189.

［4］ GUO D，LIU X.Multiple positive solutions of boundary value problems for impulsive differential equations［J］.Nonlinear Analysis，1995，25：327－217.

［5］ LIU X，QIU J，GUO Y.Three positive solutions for second－order m－point boundary value problems［J］.Appl Math Comput，2004，156：733－742.

［6］ YAN J.Existence of positive periodic solutions of impulsive functional differential equations with two parameters［J］.J Math Anal Appl，2007，327：854－868.

［7］ GUO D，LAKSHMIKANTHAM V.Nonlinear Problems in Abstract Cones［M］.San Diego：Academic Press，1998.

［8］ MA R.Positive solutions of a nonlinear three－point boundary value problem［J］.Electronic Journal of Differential Equations，1999，34（4）：1－8.

Positive solutions to three－pointboundary value problems for second order impulsive differential equations with two parameters

GUO Shao－cong1，GUO Yan－ping1，ZHANG Su－fen2
（1.College of Sciences，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang Hebei 050018，China；2.Shijiazhuang Information Engineering Vocational College，Shijiazhuang Hebei 050035，China）

In this paper，the Krasnoselskii＇s fixed－point index theorem is employed in a cone to study the existence and non－existence of positive solutions to the second order impulsive functional differential equations with two parameters.By defining integral operators，sufficient conditions under which the above problem has at least one or two positive solutions or has no positive solution are put forward.

impulsive differential equation；positive solution；Krasnoselskii＇s fixed－point theorem

O175.8

A

1008－1542（2012）02－0097－06

2011－09－29；責任編輯：張 軍

國家自然科學基金資助項目（10971045）；河北省自然科學基金資助項目（A2009000664，A2011208012）

郭少聰（1965－），男，河北井陘人，講師，主要從事應用微分方程及優化控制方面的研究。