一類n－adic系統的混沌性

王立冬，于 旺，孫雪蓮

(1.大連民族學院理學院，遼寧大連116605;2.遼寧師范大學數學學院，遼寧大連 116029)

一類n－adic系統的混沌性

王立冬1，于 旺2，孫雪蓮1

(1.大連民族學院理學院，遼寧大連116605;2.遼寧師范大學數學學院，遼寧大連 116029)

引進了弱n－adic集映射和具有全n－adic集系統的概念，討論了弱n－adic集映射具有正拓撲熵條件和具有全n－adic集系統在回復性上的混沌性。證明了n不是2的倍數的n－adic系統是Devaney混沌的，Wiggins混沌的，按序列分布混沌的，分布混沌的，Martelli’s混沌的，ω混沌的，Block and copple混沌的。

弱n－adic集;具有全n－adic集系統;混沌

自1975年Li和Yorke對于區間映射給出了混沌的嚴格數學定義(簡稱Li－Yorke混沌)以來，不同的學者從不同的角度給出了許多不同的混沌定義，而拓撲熵與各混沌之間的關系也成為了混沌研究的一個熱門課題，人們發現，一個區間映射的正拓撲熵包含了 Li－Yorke混沌［1］，同時拓撲熵為零的區間映射是Li－Yorke混沌的例子被構造［2］。這說明區間映射的正拓撲熵是比Li－Yorke更強的結果。1994年，Schweizer和Smital擴展了Li－Yorke混沌的定義，并且證明了這個定義與區間映射的正拓撲熵是等價的，但當作用于更一般的空間映射時這個等價不再正確。在文獻［3］中有一個含有正熵的映射，但沒有DC1對的例子。

本文將通過n－adic系統進一步研究Devaney混沌的，Wiggins混沌的，按序列分布混沌的，分布混沌的，Martelli’s混沌的，ω混沌的，Kato’s混沌的，Block and copple混沌的，從而使我們進一步了解各種意義下的混沌。

1 基本概念與引理

定義1 設(X，d)是緊致度量空間，f:X→X是連續映射，如果存在集合D?X，使得對?x，y∈D，x≠y有

則稱D是映射f的一個Li－Yorke混沌集;如果存在映射f的一個不可數的Li－Yorke混沌集，則稱映射f是Li－Yorke混沌的，簡稱混沌的。

定義2設(X，d)是緊致的度量空間，稱連續映射f:X→X是分布混沌的，如果存在不可數集D?X，使得對?x，y∈D，x≠y 有

式中，χ［0，t)表示［0，t)上的特征函數，即 s∈［0，t)，χ［0，t)(s)=1，否則 χ［0，t)(s)=0;則稱 D 為 f的分布混沌集，滿足條件(1)(2)的兩點x，y稱為分布混沌點對。

定義3設(X，d)是緊致的度量空間，{pi}為嚴格遞增正整數無窮序列，稱連續映射f:X→X是按序列分布混沌的，如果存在不可數集D?X，使得對?x，y∈D，x≠y 有

則稱D為f按序列的{pi}分布混沌集，滿足此定義中條件(1)和(2)的兩點x，y稱為按序列分布混沌點對。

定義4設(X，d)是緊致的度量空間，稱連續映射f:X→X是Devaney混沌的，如果

(1)f是拓撲傳遞的;

(2)f的周期點在X中稠密;

(3)f具有對初值條件的敏感依賴性。

定義5設(X，d)是緊致的度量空間，稱連續映射f:X→X為Martelli－混沌的，如果存在點x0∈X，使得

(1)ω(x0，f)=X;

(2)orb(x0)相對于X是不穩定的。

對于每個x∈X，點y∈X稱為χ的ω極限點，如果序列f(x)，f2(x)，…，有一子序列趨近于y。x的ω 極限點記為 ω(x，f)。ω(x，f)中每個點稱f為ω的極限點。

定義6 設X是一個度量空間，f:X→X是一個連續映射，稱(X，f)是Wiggins－混沌，如果緊的不變子集Y?X滿足:

(1)f|Y是拓撲傳遞的;

(2)f|Y是對初值敏感依賴的。

定義7稱f是Block and Coppel混沌的，如果存在X的兩個非交閉子集X0，X1和m∈N+滿足:若 ~X=X0∪X1和 g=fm，則

(1)g=(~X)?~X;

(2)對于取值為0或1的每一個序列α=(α0，α1，α2，…)，存在點 x=xα∈~X 使得 gk(x)∈Xαk對?k≥0 成立。

定義8稱集合S?X(至少含兩點)為ω稠密集，如果 S 滿足對?x，y∈S，x≠y 有

(1)ωf(x)ωf(y)是不可數的;

(2)ωf(x)∩ωf(y)是非空的;

(3)ωf(x)不包含在周期點里;

若存在不可數的ω稠密集S，則稱映射f:X→X是ω混沌的。

定義9稱不變閉集A?I是f的弱n－adic集，如果存在一個連續滿射H:A→Z(n)使得對?x∈A有τ?H(x)=H?f(x)，且當p=minA時對?q∈A，q≠p有 H(p)≠H(q)。

定義10稱不變閉集A?I是f的弱n－adic集，如果存在一個連續滿射H:A→Z(n)使得對?x∈A有τ°H(x)=H°f(x)，特別當A=I時稱(Z(n)，τ)是具有全n－adic集的系統。

引理 1［4］若 ent(f)=0，x∈R(f) － P(f)且 f(x)＞χ，則對任意偶數m和奇數n有fm(x)＜fn(x)成立。

引理2［5］若f:I→I是連續的，則下列條件等價:

(1)ent(f)＞0;

(2)A(f)包含一個f的不可數混沌集;

(3)R(f)－A(f)包含f的不可數分布混沌集。

引理3［1］設 f:X→X，g:Y→Y 是連續的，其中X，Y是緊度量空間。若存在一個連續滿射h:X→X 滿足 g°h=h°f，則 h(A(f))=A(g)，h(R(f))=R(g)。

引理4［6］若f:I→I是連續的，則 ent(f)＞0當且僅當在Li－Yorke意義下Ω(f)中存在一個不可數的混沌集。

引理5［7］設f:I→I是一個區間映射，則 ent(f)＞0當且僅當存在一個閉不變子集Λ?I使得f|Λ在Devaney意義下是混沌的。

引理6［7］設f:I→I是一個區間映射，若 ent(f)＞0，則f在Wiggins意義下是混沌的。

引理7對于連續映射f:I→I，下列條件等價:

(i)f是拓撲混沌的，也就是說f有正的拓撲熵;

(ii)f是分布混沌的;

(iii)f是ω－混沌的;

(iv)f在Martelli意義下是混沌的;

(v)f在Devaney意義下是混沌的;

(vi)f在Block和Copple意義下是混沌的。

2 定理的證明

定理1若f有弱n－adic集且n不是2的方冪，則

(1)f│A(f)是分布混沌的;

(2)f│R(f)－A(f)是分布混沌的;

(3)f是ω混沌的;

(4)f是Devaney混沌的;

(5)f是Martelli混沌的;

(6)f是Block－Coppel混沌的;

(7)f是按序列分布混沌的;

(8)f是Winggins混沌的。

首先證明如果f有弱n－adic集且n不是2的方冪，則ent(f)＞0。

證明記n=k2m(k≥3且 k為奇數)，m≥0是整數。設A為f的弱n－adic集，則存在H:A→Z(n)的連續滿射，使得對?x∈A有τ°H(x)=H°f(x)，且當 p=minA時對?q∈A，q≠p有 H(p)≠H(q)。

不失一般性，假定 H(p)=α=0α2α3…，令 V={z∈Z(n)|z1=0}，則V?Z(n)是α的開鄰域，由H的連續性知存在ε＞0使得對?q∈A，如果q－p＜ε則有H(q)∈V。因為當l→∞時τnl(α)→α，所以 fnl(p)→p。事實上由 τnl(α)→α(l→∞)可知 τnl(H(P))→H(P)(l→∞)，從而有H(fnl(p))→H(P)(l→∞)。下證 fnl(p)→p(l→∞)。

若fnl(p)不收斂于p，因{fnl(p)}是有界無窮點集，所以必有收斂子序列{f(nl)i(p)}。不妨設f(nl)i(p)→q≠p，從而 H(f(nl)i(p))→H(q)≠H(p)，這與H(f(n)i(p))→H(p)矛盾。故存在l≥0使得

令 g=f2lm，因為 τnl(α)→α，所以 H(fs(p))=τs(H(P))充要條件n是整除s。因為n不是2的方冪，所以n不能整除2lm，故H(f2lm(p))?V，所以 g(p)=f2lm(p)－p≥q，從而 g(p)＞p。同理可證

又因為nl=(k·2m)l=kl2lm，由于gkl(p)－p=fnl(p)－p，由式(1)知 gkl(p) －p＜ε，即 gkl(p)＜ε+p。由式(2)可得gkl(p)＜g2(p)。由于kl是奇數且p∈R(τ2lm)－p(τ2lm)，知 p∈R(g)－p(g)，又由引理1知ent(g)＞0，進一步可知ent(f)＞0。

由引理2可知，(1)(2)(7)成立;由引理7可知(3)(4)(5)(6)成立;由引理6可知(8)成立。

定理2若(Z(n)，τ)是具有全n－adic集系統且n不是2的方冪，則

(1)τ│A(τ)是分布混沌的;

(2)τ│R(τ)－A(τ)是分布混沌的;

(3)τ是Devaney混沌的;

(4)τ是Winggins混沌的;

(5)τ是Martelli混沌的。

(1)的證明因為(Z(n)，τ)是具有全nadic集系統，所以存在h:Z(n)→I的同胚映射使得對?α∈Z(n)有 h°τ(α)=f°h(α)。根據推論1知f│A(f)是分布混沌的，再由引理3知對?x∈A(f)存在一個α∈A(τ)使得h(α)=x。令D={α│α∈A(τ)，h(α)=x且 x∈A(f)}，則 D?A(τ)是一個不可數集，為了完成證明，只需說明D是τ的不可數分布混沌集即可。

首先，證明對于 ?α1，α2∈D，如果對于某個t＞0 有 F(f，h(α1)，h(α2)，t)=0，則對某個 s＞0有 F(τ，α1，α2，s)=0。

因為τ:Z(n)→Z(n)，f:I→I是連續映射及h的一致連續性，所以存在一個s＞0使得對 ?α1，α2∈A(τ) ，如果 ρ(α1，α2) ＜ s則有│h(α1) － h(α2)│ ＜ t。又因為 h°τi=fi°h，所以當 ρ(τi(α1)，τi(α2)) ＜s時有│hτi(α1) － hτi(α2)│ =│fi(h(α1)) －fi(h(α2))│ ＜t，這意味著對于任意的 n 有 ξn(τ，α1，α2，s)≤成立，再由 F 的定義ξn(f，h(α1)，h(α2)，t)可得

其次，證明如果對于?s＞0 有 F*(f，h(α1)，h(α2)，s)=1，則對?t＞ 0 有 F*(τ，α1，α2，t)=1成立。

因為是h同胚映射，所以存在逆映射h－1:I→Z(n)且是連續映射，再由第一步的證明，有ξn(f，h(α1)，h(α2)，s)≥ξn(τ，α1，α2，t)，進而有

由式(3)(4)和 α1，α2的任意性可得 D是 τ的一個不可數分布混沌集，即τ|A(τ)是分布混沌的。

同理可證(2)，根據定理1可知(3)(4)(5)成立。

［1］LIAO Gongfu，WANG Lidong.Almost periodicity china recurrence and chaos［J］.Israel.J.Math，1996，93，145－156.

［2］熊金成.線性映射的動力系統:非游蕩點集，拓撲熵以及混亂［J］.數學進展，1988，17(1):5－6.

［3］SMITAL Jaroslav.Distribution chaos for triangular maps chaos［J］.Solitons Fractals21，2004，11:25 －28.

［4］ZBIGNIEW Nitecki.Maps of the interval with closed periodic set［J］.Proceeding of the American Mathematical Society，1982，85(3):451 －456.

［5］ LIAO Gongfu，WANG Lidong.Almost periodicity and the SS scrambled sets［J］.Chinese Annals of Mathematics，2002，23(6):685 －692.

［6］ZHOU Zuoling.Weakly almost periodic point and measure center［J］.Science in China(Ser.A)，1993，36:142－153.

［7］ SYLVIE Ruette，Chaos for continuous interval maps［EB/OL］.［2012 －03 －02］.http://www.math.upsud.fr/～ ruette/.

Chaotic Behavors for a Class of N－adic Systems

WANG Li－dong，YU Wang，SUN Xue－Lian
(1.College of Science，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning 116605，China;
2.School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian Liaoning 116029，China)

In this paper，we introduce the map of weak n－adic systems set and the notion of a full n－adic set system.Then we discuss the condition of weak n－adic set map with positive topological entropy and the chaotic behavior of a full n－adic set system in the recovery.We prove that n －adic systems，in which n is not a power of 2，are Devaney chaotic，Wiggins chaotic，distributional chaos in a sequence，distributional chaos，Martelli’s chaotic，W － chaotic，Kato’s chaotic，Block and copple chaotic.

weak n－adic set;full n－adic set system;chaotic

O189

A

1009－315X(2012)05－0463－03

2012－03－02;最后

2012－03－29

國家自然科學基金項目(10971245);中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(DC12010111，DC110311)。

王立冬(1955－)，男，吉林德惠人，教授，博士，特聘教授，博士研究生導師，主要從事拓撲動力系統研究。

(責任編輯 鄒永紅)