高階貝塞爾光束的Z掃描理論

陶華，劉永欣，蒲繼雄

（華僑大學 信息科學與工程學院，福建 廈門 361021）

高階貝塞爾光束的Z掃描理論

陶華，劉永欣，蒲繼雄

（華僑大學 信息科學與工程學院，福建 廈門 361021）

以菲涅耳－基爾霍夫衍射理論為基礎，研究高階貝塞爾光束穿過非線性光學介質的衍射效應，從而解釋高階貝塞爾光束的Z掃描現象.通過對使用高斯光束、零階貝塞爾光束、一階貝塞爾光束、二階貝塞爾光束和三階貝塞爾光束的歸一化Z掃描曲線對比，表明使用高階貝塞爾光束較使用零階貝塞爾光束的Z掃描具有更高的靈敏度.高階貝塞爾光束的Z掃描為測量介質非線性光學系數提供了一種更為精確的測量方法.

高階貝塞爾光束；Z掃描；非線性光學；歸一化透過率；高靈敏度

Z掃描技術廣泛應用于測量各種材料的光學非線性系數，這種方法最早是由Sheik－Bahae等人提出來的［1，2］.利用光通過薄的光學介質的自聚焦和自散焦作用，使介質在光傳播的Z軸方向焦點附近移動，在遠場小孔處觀測光的強度變化.使用高斯光束、橢圓高斯光束、高斯－謝爾模型光束、拉蓋爾－高斯光束、平頂光束、高斯－零階貝塞爾光束的Z掃描方法已經得到了研究［1-8］.高階貝塞爾光束作為波動方程的解，具有“無衍射”的特性，并且中心光強為零，利用拉蓋爾－高斯光束照射軸棱錐可以得到高斯－高階貝塞爾光束［9-12］，但是具有這種特征光束的Z掃描理論還沒有得到研究，因此研究高斯－高階貝塞爾光束的Z掃描是十分有必要的.

1 理論分析

如圖1所示，高斯調制的高階貝塞爾光束作為Z掃描實驗過程的入射光束，在入射平面z＝0處的電場強度表達式為

圖1 Z掃描裝置Fig.1 Schematic of Z－scan setup

式（1）中：Jn（r）為n階一類貝塞爾函數；A 為振幅因子；w0為高斯分布的光斑尺寸大小；β為一個不變的常數.

高階貝塞爾光束沿著Z方向傳播，在非線性薄介質的入射平面的電場強度［13］可以表示為

式（2），（3）中：R（z），w（z），Ψ（z）分別為高斯 －高階貝塞爾光束的等相面曲率半徑、束寬和相位因子；zR為瑞利半徑，zR＝／2；k＝2π／λ為光波數，λ為入射激光波長.

高階貝塞爾光束通過薄的樣品介質，當介質的厚度足夠薄時，以至于其中由于衍射和非線性折射引起的光束半徑變化可以忽略不計［14］.當介質不存在非線性吸收時，可以得出在樣品出表面的電場強度表達式為

式（4），（5）中：α為線性吸收系數；L 為樣品介質厚度；Δφ0為軸上焦點處的相移，Δφ0＝γkI0Leff，γ為非線性折射系數，Leff＝（1－exp（－αL））／α.

將式（4）中的非線性相移進行泰勒級數展開，可得

非線性光學介質出射表面的復合場由一系列高階貝塞爾光束組成，且具有軸對稱的特點.計算介質出射表面上每一點對軸上遠場的貢獻，遠場接收屏上任意一點的衍射場分布由菲涅耳－基爾霍夫衍射積分公式［15］表達為

式（7）中：F（θ0，θ）為傾斜因子；D為衍射屏上點到接收屏上點的距離.

由于衍射屏是圓對稱分布的，因而衍射場也是圓對稱分布，對衍射屏和接收屏都采用極坐標.設z2為接收屏到衍射屏的距離，則D可表示為

傾斜因子F（θ0，θ）＝（cosθ0＋cosθ）／2.其中：θ0為入射光與次波源的方位角，對于垂直入射，θ0＝0；θ為接收屏上場點相對于次波源的方位角，cosθ＝z2／D.

將式（4）～（6），式（8）代入式（7），可得到距離樣品為z2的接收屏上的場分布為

根據文獻［2］，軸上點的Z掃描歸一化透過率可以表示為

對于式（11）中的收斂無窮級數求和，當（Δφ0）N＋1／（N＋1）！＜0.03時，可以忽略N 階項以后的項.因此，可以通過軸上焦點處的相移Δφ0值的大小，選擇一個合適的階數N來簡化計算.

2 數值模擬

利用Mathcad軟件，模擬一階貝塞爾光束，得到在接收屏上的歸一化一階貝塞爾光束Z掃描曲線圖，如圖2所示.圖2中的計算參數：n＝1，λ＝1.06μm，w0＝0.1mm，β＝3×104，α＝2×10－4m－1，L＝0.5mm，z2＝500mm，N＝10，Δφ0＝π.

從圖2可知，高階貝塞爾光束的Z掃描曲線先峰值后谷值，對應于負的非線性折射率介質；對于給定的Δφ0，只要小孔屏在遠場條件（z2?z）得到滿足，T（z）的大小和形狀與所用光束波長無關.在無非線性吸收的情況下，只要測得介質樣品的Z掃描曲線，就可以得到介質樣品的三階非線性折射系數，它的符號可以由Z掃描曲線峰和谷的先后位置判斷.此外，圖2中的Z掃描曲線峰谷對稱性和β的取值大小有關，這已經由Hughes等人的研究得到證明［8］.

利用Mathcad軟件，分別模擬了高斯光束、零階貝塞爾光束（n＝0）、一階貝塞爾光束（n＝1）、二階貝塞爾光束（n＝2）和三階貝塞爾光束（n＝3）.為了對比以上5種光束對Z掃描靈敏度的影響，需要使得5種光束在非線性薄介質入射平面的光強最大值相等.5種光束在非線性薄介質入射平面的光強及在接收屏上的Z掃描曲線，分別如圖3，4所示.圖4中的計算參數：l＝1.06μm；w0＝0.1mm；β＝3×104；a＝2×10－4m－1；L＝0.5mm；z2＝500mm；N＝10；Δφ0＝π.圖4的高斯光束的Z掃描計算方法由文獻［1］中式（1）～（6）給出.

圖2 歸一化的一階貝塞爾光束Z掃描曲線Fig.2 Normalized Z－scan transmittance of first－order Bessel beam

圖3 光束在非線性薄介質入射平面的歸一化光強Fig.3 Normalized intensity distribution of beam at incident plane of nonlinear thin optical media

圖4 光束的歸一化Z掃描曲線 Fig.4 Normalized Z－scan transmittances of beam

由圖3，4可知，零階貝塞爾光束的歸一化Z掃描曲線對比于高斯光束的歸一化Z掃描曲線有一個高的峰值，這已經在Hughes等人的研究中得到證明［8］.由圖3，4還可知，高階貝塞爾光束的Z掃描曲線對比于零階貝塞爾光束的歸一化Z掃描曲線有一個更高的峰值.這由于高階貝塞爾光束Z掃描探測器中心位于高階貝塞爾光束光強最弱點，而零階貝塞爾光束Z掃描探測器中心位于零階貝塞爾光束光強最強點，從而導致任何相位或者強度變化破壞當前高階貝塞爾光束分布的對稱性都會造成一個大的正常值偏離［6］.

3 結束語

推導了高階貝塞爾光束穿過非線性薄介質的Z掃描透過率，對比分析了高斯光束、零階貝塞爾光束、一階貝塞爾光束、二階貝塞爾光束和三階貝塞爾光束的Z掃描曲線.結果表明，使用高階貝塞爾光束較高斯光束和零階貝塞爾光束的Z掃描有更高的靈敏度.高階貝塞爾光束的Z掃描為測量材料非線性光學系數提供了一種更為精確的測量方法.

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Z－Scan Measurement Theory of the High－Order Bessel Beam

TAO Hua，LIU Yong－xin，PU Ji－xiong
（College of Information Science and Engineering，Huaqiao University，Xiamen 361021，China）

Based on the Fresnel－Kirchhoff diffraction theory，the diffraction effects of high－order Bessel beams through the nonlinear optical media are analyzed，which can explain the Z－scan phenomena of high－order Bessel beams.By comparing the normalized Z－scan transmittances of Gaussian beam，zero－order Bessel beam，first－order Bessel beam，secondorder Bessel beam and third－order Bessel beam，it is shown that Z－scan using the high－order Bessel beam has a higher sensitivity than that using the zero－order Bessel beam.The Z－scan with the high－order Bessel beams may provide a precise method for measuring the nonlinear coefficients of optical media.

high－order Bessel beams；Z－scan；nonlinear optics；normalized transmittance；high sensitivity

錢筠 英文審校：吳逢鐵）

O 436

A

1000－5013（2012）01－0009－04

2011－03－11

蒲繼雄（1962－），男，教授，主要從事光束傳輸與非線性光學的研究.E－mail：jixiong＠hqu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目（60977068）；中國科學院瞬態光學與光子技術國家重點實驗室科研基金資助項目（SKL－ST200912）；國務院僑辦科研基金資助項目（10QZR03）