私募股權基金業績評價的信度函數模型

　　【摘 要】 文章應用Dempster和Shafer提出的證據理論，研究了私募股權基金的業績評價問題，得到了私募股權基金業績評價的信度函數模型。首先討論了私募股權基金業績評價指標的確立，進而討論了在業績評價指標體系確立以后，如何針對這些指標（包括定性指標和定量指標）通過打分或者其他適當的方法，將每項指標的評價定量化；之后，再根據信度函數的理論將這些評價綜合，得到衡量業績的一個綜合指標。該綜合指標可以用于基金排名，可以幫助投資經理選擇基金，也可以幫助基金管理人了解自己的情況，還可以為政府或行業協會了解基金提供依據。
　　【關鍵詞】 私募股權基金； 業績評價； Dempster-Shafer證據理論； 信度函數模型
　　
　　一、引言
　　私募股權基金的業績評價是PE行業一個非常重要而又非常棘手的問題。
　　我們知道，私募股權投資在當今世界經濟中占有非常重要的地位。據統計，2006年全球私募股權籌資總額達到4 320億美元。2008年全球私募股權基金管理的資產規模已達到10 000億美元①。
　　近年來，中國的私募股權投資取得了巨大發展?？梢哉f，中國已成為亞洲最為活躍的私募股權投資市場。2008年，中國的私募股權投資案例607個，投資金額42.1億美元。2009年，由于金融危機的影響，投資規模略有下降，投資案例數下降為477個，投資金額27.01億美元②。2010年，中國私募股權市場迎來了強勁反彈，全年共發生投資案例數1 179起，投資金額252.81億美元③。
　　因此，現在世界上很多大的機構投資者都想涉足這個投資領域，都想在他們的投資組合中加入私募股權投資?，F在從事私募股權投資的公司數不勝數。即使是在中國PE基金也是越來越多，如何在如此眾多的PE基金中選出“好”基金用于投資，確實不是一件容易的事。
　　選擇“好”的基金，當然需要了解什么是“好”基金，用什么標準來衡量一支基金是“好”還是“壞”，即首先要解決基金如何評價的問題。
　　
　　二、私募股權基金的業績評價指標
　　私募股權基金的業績評價在國外有較多的討論，也有文獻介紹了常用的業績評價指標和方法。
　　Thomas Meyer & Pierre-Yves（2005，2007）討論了私募股權基金收益的J曲線現象而且定義了多個衡量業績的定量指標（如內部收益率IRR、回報倍數等）和多個定性指標（如管理團隊的技能、管理團隊的穩定性、管理團隊的動機等）。Ljungqvist & Richardson（2003）定義了另一個業績評價指標獲利指數PI。PI=投資者所獲得的現金流的現值/投資者所投資的資本現值。計算現值所用的貼現率的選擇有不同的標準。有人統一選擇某一個利率作為分子和分母的貼現率，如標準普爾500的市場收益率；也有人針對分子分母選擇不同的利率，如選擇資本成本率（市場期望收益率）作為分母的貼現率，選擇無風險利率（國債利率）作為分子的貼現率。Kaplan and Schoar（2003）應用PME作為一項衡量私募股權投資基金收益水平的新工具。按照他們的定義和解釋，PME是所有現金流出與現金流入的貼現值之比。此處貼現率選自某個基準市場的同期收益率。因此，若PME＞1，則說明私募股權投資基金的業績是優于所選的基準市場的。
　　Mark Weisdorf（2005）（包括在Private Equity International（2005））討論了業績評價存在的問題，總結了業績評價的一些指標和方法。他認為業績評價必須采取定性和定量相結合的方法。對于短期評價應主要采取定性的指標進行分析，而對于長期評價則可以采用定量指標為主的方法。
　　對于短期評價，他建議主要采用定性分析。他列舉了如下幾個方面：
　　·投資主體及戰略
　　·投資進展
　　·投資成本
　　·被投資企業的經營情況和財務狀況
　　·為被投資企業提供的增值服務
　　·信息披露與投資者關系
　　·公司治理與激勵
　　·人事變動
　　對于長期評價，他建議主要采用定量分析并用內部收益率IRR和資本回報倍數MOC作為評價指標。當然，他也指出了建立業績評價標桿的困難和問題。
　　本文借鑒前述文獻的研究成果，討論在業績評價指標體系確立以后，如何針對這些指標（包括定性指標和定量指標）通過打分的方法，將每項指標的評價定量化；之后，再根據信度函數理論將這些評價綜合起來，得到衡量業績的一個綜合指標。該綜合指標可以用于基金排名，此排名比用單個指標，比如IRR的排名更客觀、更綜合。另外，該指標以及本文討論的方法對幫助機構投資者選擇基金有很大的參考價值。在基金管理公司內部，該指標可作為基金經理或者投資經理業績考核的依據。最后，該指標對政府或行業協會等監管機構了解基金也會有一定的幫助作用。
　　
　　三、信度函數簡介
　　信度函數是證據理論或Dempster-Shafer理論中的重要概念。
　　證據理論是Dempster和Shafer于20世紀六七十年代創立的。文獻Shafer（1976）詳細討論了證據理論的基本概念和理論，提出了基本信度分配、信度函數的定義以及信度函數合成的Dempster法則。筆者（1996）將證據理論應用于決策領域，提出了證據決策的概念并得到了應用證據理論作決策的函數模型。
　　基本信度分配是一個滿足一定條件的識別框架上的函數。
　　設?專是識別框架。如果集函數m：2?專→［0，1］滿足：
　?。?）m（?準）=0
　　（2）∑A∈?專m（A）=1
　　則稱m為框架?專上的基本信度分配；?坌A∈?專，m（A）稱為A的基本信度值。
　　信度函數是在基本信度分配的基礎上定義的。
　　設?專是識別框架。如果m是一個框架?專上的基本信度分配，則稱滿足條件?坌A∈?專，Bel（A）=∑B∈Am（B）的函數Bel為框架?專上的信度函數。
　　設?專是識別框架。如果m是一個框架?專上的基本信度分配，則稱滿足條件?坌A∈?專，Com（A）=∑A∈Bm（B）的函數Com為框架?專上的眾信度函數。
　　可以證明：信度函數與眾信度函數可以相互定義。
　　?坌A∈?專，Bel（A）=∑B∈A（-1）|B|Com（B）
　　?坌A∈?專，Com（A）=∑B∈A（-1）|B|Bel（B）
　　因此，信度函數與眾信度函數所承載的信息是相同的。
　　本文用眾信度函數作為評價的依據。
　　
　　四、私募股權基金業績評價的信度函數模型
　?。ㄒ唬I績評價指標得分
　　前已述及，私募股權基金業績評價可從多個方面進行，既有定性分析又有定量分析。對于定量指標，如內部收益率r，可以假設內部收益率的某種標桿，比如說，行業標準為B。對于此指標，可以通過如下方法得到基金在該項指標上的得分p。
　　對于其他定量指標，都可以依據此方法定義基金在該項指標上的得分。
　　對于定性指標，可以咨詢有關專家得到一個該項指標的評分。打分原則是：專家可以根據基金的具體情況，打出一個具體分數，比如說，85；或者給出一個分值的范圍，比如說，85~95，75以上，或者65以下等。
　　顯而易見，這種打分的方法更加符合人類專家的習慣，更容易，更科學。不一定非要專家說出一個具體值。因此，對專家而言，他們也愿意合作，認真思考，從而給出較客觀的結論。
　　經過定性指標的打分和定量指標的標桿分析，得到了每一個指標的一個分值。不過，這些分值與傳統打分分值不同，不是單一絕對值，而是一個一個的分值范圍。
　　
　　假設，為了評價一個基金的業績，選取了10個指標，所得到的每項指標的分值情況如下所示：
　　指標1：75分以上，可表示為75≤x≤100，其中x為得分變量（下同）。
　　指標2：85到95之間，可表示為85≤x≤95。
　　指標3：76分，可表示為x=76，或者76≤x≤76。
　　指標4：50分以下，可表示為0≤x≤50。
　　指標5：90分以上，可表示為90≤x≤100。
　　指標6：75到85之間，可表示為75≤x≤85。
　　指標7：85分，可表示為85≤x≤85。
　　指標8：不到90分，可表示為0≤x≤90。
　　指標9：差不多85分（上下5分），可表示為80≤x≤90。
　　指標10：88分，可表示為88≤x≤88。
　　由此，可以得到一個得分矩陣
　　A=75 10085 9576 76 0 5090 10075 8585 85 0 9080 9088 88
　?。ǘ嘀胤峙?br/>　　接下來，可以為每個指標分配一個權重，以表示指標之間的相對重要性。有很多方法可以用于權重的設置。筆者（2011）曾經應用層次分析法討論了指標權重的確立。以下假設已經根據某種方法得到了例中10個指標的權重：B=（a1，a2，…，a10），其中a1，a2，…，a10滿足
　　m（75≤x≤100）=a1
　　m（85≤x≤95）=a2
　　m（76≤x≤76）=a3
　　m（0≤x≤50）=a4
　　m（90≤x≤100）=a5
　　m（75≤x≤85）=a6
　　m（85≤x≤85）=a7
　　m（0≤x≤90）=a8
　　m（80≤x≤90）=a9
　　m（88≤x≤88）=a10
　　據此，可以計算框架?專上的每一個子集的眾信度。
　　如果計算框架?專上的所有子集的眾信度，不僅計算成指數增長，而且對此特定問題也沒有多大必要。為此，采取如下方法，只計算眾信度不為零的子集的眾信度值。
　　用MATLAB語言實現的程序如下：
　　function［MAX Com a b］=COMALLMAXADJ（A，W）
　　% COMALLMAX is used to find the interval with maximum commonality value.
　　% A is the interval matric of basic probability assignment
　　% W is the weight vector
　　% First output is the maximum commonality itself
　　% Second output is the combined score
　　% ［a，b］ is the minimum and maximum values with maximum commonality value
　　MAX=0；
　　for i=0：100
　　 for j=i：100
　　 C=COMCAL（A，W，i，j）；
　　 if C>=MAX
　　 MAX=C；
　　 end
　　 end
　　end
　　a=10000；
　　for i=0：100
　　 for j=i：100
　　 C=COMCAL（A，W，i，j）；
　　 if C==MAX
　　 if i==0
　　 a=0；
　　 else
　　 f（i，j）=i；
　　 g（i，j）=j；
　　 end
　　 end
　　 end
　　end
　　m=f（：）；
　　n=g（：）；
　　p=（m~=0）；
　　q=（n~=0）；
　　if a~=0
　　 a1=min（m（p~=0））；
　　 a2=min（n（q~=0））；
　　 a=min（a1，a2）；
　　end
　　b1=max（m）；b2=max（n）；
　　b=max（b1，b2）；
　　Com=（a+b）/2；
　　（四）模型測試
　　本系統綜合得分的計算用程序COMALLMAXADJ來完成。此程序的設計思想是：計算所有有關子集的眾信度并從中找出眾信度最大的子集作為決策結果。以下用具體例子來說明：
　　1.測試例一
　　假設得分矩陣A如下：
　　A=
　　 70 72
　　 72 73
　　 69 72
　　相應的權重為w=
　　 0.2000 0.3000 0.5000
　　手工計算所有眾信度不為0的子集，結果為：
　　 69.0000 69.0000 0.5000
　　 69.0000 70.0000 0.5000
　　 69.0000 71.0000 0.5000
　　 69.0000 72.0000 0.5000
　　 70.0000 70.0000 0.7000
　　 70.0000 71.0000 0.7000
　　 70.0000 72.0000 0.7000
　　 71.0000 71.0000 0.7000
　　 71.0000 72.0000 0.7000
　　 72.0000 72.0000 1.0000
　　 72.0000 73.0000 0.3000
　　 73.0000 73.0000 0.3000
　　其中第三列為相應的眾信度。從第三列中找出最大值為1，對應的子集為{72}。因此，決策結果應為72。
　　運行程序COMALLMAXADJ，得到的結果也是72，因此，此例通過了測試，見下面的運行結果。
　　>>［max com a b］=COMALLMAX（A，w）
　　
　　max=
　　 1
　　com=
　　 72
　　a=
　　 72
　　b=
　　 72
　　2.測試例二
　　假設得分矩陣B和權重W如下：
　　B=
　　 70 71
　　 72 73
　　 69 72
　　W=
　　 0.2500 0.2500 0.5000
　　手工計算所有眾信度不為0的子集，結果為：
　　 69.0000 69.0000 0.5000
　　 69.0000 70.0000 0.5000
　　 69.0000 71.0000 0.5000
　　 69.0000 72.0000 0.5000
　　 70.0000 70.0000 0.7500
　　 70.0000 71.0000 0.7500
　　 70.0000 72.0000 0.5000
　　 71.0000 71.0000 0.7500
　　 71.0000 72.0000 0.5000
　　 72.0000 72.0000 0.7500
　　 72.0000 73.0000 0.2500
　　 73.0000 73.0000 0.2500
　　從第三列可以看出子集{70}，{70，71}，{71}，{72}的眾信度全為0.75。在這種情況下，決策集應該如何選取呢？
　　運行程序COMALLMAXADJ，得到如下結果：
　　>> ［max com a b］=COMALLMAXADJ（B，W）
　　
　　max=
　　 0.7500
　　com=
　　 71
　　a=
　　 70
　　b=
　　 72
　　可見，此程序找到了眾信度最大子集的并集的上、下限70和72，然后程序求其上、下限的平均值作為最后的決策結果。
　　
　　根據Dempster-Shafer證據理論，絕大多數情況下，眾信度最大的子集應為單點集。因此，程序COMALLMAXADJ的運行結果多數情況下是唯一的。第二個例子的情況并不多見。在這種情況下，求上下限的平價值作為決策結果是一種折中的辦法。
　　3.測試例三
　　對于前文提到的得分矩陣A，在假設所有10個指標權重全部相等的情況下運行程序COMALLMAXADJ得到了如下結果：
　　此基金的綜合評價得分為85分。
　　
　　五、結論
　　本文探討了私募股權基金或者基金管理公司業績評價的定量模型。應用該模型可以將對基金的定性評價轉化為定量評價，而且可以將對基金的多方面評價綜合起來，得到衡量基金業績的一個綜合指標。該指標可以用于基金排名，此排名比用單個指標，比如IRR的排名更客觀、更綜合。另外，該指標以及本文討論的方法對幫助機構投資者選擇基金有很大的參考價值。在基金管理公司內部，該指標可作為基金經理或者投資經理業績考核的依據。最后，該指標對政府或行業協會等監管機構了解基金也會有一定的幫助作用。
　　
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