構建有“深度”的數學課堂

　　背景：2011年11月3日至5日，江蘇省2011年“舜湖杯——教海探航”征文頒獎大會暨“蘇派、京派和浙派”教學觀摩研討活動在吳江市盛澤實驗小學隆重舉行。受江蘇教育出版社的邀請，我代表京派，與浙派的朱國榮、蘇派的王凌兩位特級教師同上一節課“一個數除以分數”。執教的內容是六年級上冊第四單元例2（蘇教版課標教材）。我的這節課，受到老師們的一致好評——新穎、有深度、有數學味，展現了數學學科的獨有魅力。
　　
　　■ 課前慎思——設計“有思維過程”的計算教學
　　 為了了解學生的學習起點，課前我對人大附小六年級7班的學生進行了教學前測，一共收回學生問卷36份：其中17人已經在課外班學過這部分知識，19人沒有接觸過；題目結果的正確率100%，有35人寫出了計算過程，只有1人有1道題是直接寫的得數。17個已經學過的同學，方法完全一樣，都是把除以一個數寫成了乘這個分數的倒數。19個沒有學過的學生中，出現了不同的思考方法。主要方法是：通過畫圖找到答案；把分數化成小數計算；通過推理得出最后結果。
　　 讓我感到意外的是，17個已經在課外班學過的孩子中，竟有12人提出下面的問題：
　　 為什么一個數除以一個分數等于乘它的倒數？
　　 當分數除以分數時，哪個分數變成倒數？
　　 為什么除法非得乘另一個數的倒數？
　　 為什么是除以這個數的倒數？
　　 為什么一個數除以分數就是一個數乘分數的倒數？
　　 從學生的問題可以看出，這部分學生僅僅是記住了一個數除以分數的計算法則，而沒有真正理解為什么要這樣計算。學生即使在課外班學習過，也只是關注了“結果”，而忽視了“過程”。
　　基于以上分析，我把算理的理解作為本課教學的著力點，努力設計“有過程”的計算教學。我確定了本節課教學目標：
　　 ●借助操作和直觀模型經歷探索整數除以分數計算方法的探究過程，理解并掌握整數除以分數的計算方法，正確計算整數除以分數；
　　●在探索整數除以分數計算方法的過程中，進一步體會猜想、驗證的數學思想方法；
　　 ●溝通新舊知識的內在聯系，進一步感受數學學習的挑戰性，體驗成功的樂趣，增強學好數學的自信心。
　　
　　■ 課中掠影——數學是思維的體操
　　 因為是借班上課，為了活躍課堂氣氛，拉近師生的心理距離，課前我播放了春晚劉謙魔術表演的片斷（硬幣穿玻璃），激發學生學習興趣，為新課學習提供素材。看過后，請學生大膽猜想：劉謙是怎樣讓硬幣穿過玻璃的。學生的答案五花八門，極富想象力。最后教師揭秘：“劉謙用的是蝴蝶幣！”教師出示蝴蝶幣，幫助學生認識蝴蝶幣的結構，為下面提出數學問題做好素材上的準備。
　　師生從劉謙魔術中的蝴蝶幣談起，研究整數乘、除法知識，為學習例2積累活動經驗。
　　 教師用課件出示（桌面上放12個單幣），提問：如果老師一拍玻璃，你們猜桌面上會出現幾個組合幣。
　　 學生回答后，教師結合課件演示，體現“二合一”的過程。
　　 教師提問：剛才的思考過程，用算式怎樣表示？（12÷2=6）
　　 教師用課件出示（桌面上有5個組合幣），提問：如果老師一拍玻璃，要出現5個組合幣，你們猜桌面上應該放幾個單幣。
　　學生回答后教師課件演示，體現“一對二”的過程。
　　 教師提問：剛才的思考過程，用算式怎樣表示？（2×5=10）
　　【設計意圖】通過有趣的蝴蝶幣游戲，結合“二合一”的演示復習整數除法的知識，結合“一對二”的演示復習整數乘法的知識。
　　1．教師出示例題2
　　幼兒園李老師把4個同樣大的橙子分給小朋友。
　　●每人吃2個，可以分給幾人？每人吃1個，可以分給幾個人？
　　●每人吃半個（教師用半個橙子的圖片表示），可以分給幾個人？
　　（學生自己獨立思考，可以畫圖表示結果，也可以列式表示結果。）
　　【設計意圖】兒童的生活經驗是理解算理的基礎，教師不急于呈現算理知識，而是充分利用學生“一半”的生活經驗，引導學生自主探究，畫圖是一種非常好的教學策略，借助圖形語言，學生可以把自己的想法直觀地展示出來，讓教師看到學生真實的思考過程。
　　 2.教師把橙子的個數改成“40個”、“400個”、“4000個”，讓學生回答，每人吃半個，可以分給幾個人
　　【設計意圖】由“4個”變成“40個”、“400個”、“4000個”，在學生的腦子里“乘2”的思路已初步形成。
　　結合課件演示（教師把4個橙子一分為二），直觀看出計算結果是8人。
　　教師引導學生進一步思考：還有什么辦法可以推出：4÷■=8。
　　學生回答后，教師課件演示：把分數化成小數計算，根據等式的性質推出答案。
　　【設計意圖】激活學生的已有知識，引導學生把沒有學過的問題轉化成已經學過的問題解決，在算法的探究中掌握解決問題的一些基本策略。
　　結合課件演示，從不同視角研究得出計算結果的過程：“一個一個”地數如何得到8人；“一組一組”地數，如何得到8人。進而得到等式：4÷■= 4×2。
　　【設計意圖】經驗是一種過程性知識，是在實踐活動中所形成的一種“活動圖式”。同樣是“8人”，但得到這個結果卻有不同的路徑：可以由直觀演示看出結果；可以把分數化成小數計算出結果；可以根據分數的基本性質推出結果；還可以“一個一個”數出結果、“一組一組”數出結果。結合操作和圖形語言，引導學生探索、理解計算方法，直接服務于算理的理解和掌握。在此過程中，教師引導學生利用已有的知識解決問題，讓學生感受和體驗解決問題策略的多樣化。
　　 3.利用“分數墻”幫助學生理解“4÷■= 4×2”
　　分數墻：
　　教師分兩步引導學生思考：
　　 第一步，“一個一個”數，結合課件演示，數出4里面一共有8個■；
　　 第二步，“一組一組”數，1里面有2個■，2里面有4個■，3里面有6個■，4里面有8個■。一共是“4個2”，列式是4×2。
　　 引導學生得出：4÷■= 4×2。
　　【設計意圖】數形結合思想是根據問題的具體情況，把具有直觀形式的圖形性質的問題轉化為具有算法性質的數量關系問題，從而使抽象思維和形象思維結合起來。“分數墻”是一種非常好數學模型，通過分數單位的個數，引導學生數形結合，用圖形語言描述運算過程，幫助學生直觀理解四則運算的算理，教學中老師組織學生進行“圈一圈”的活動，“幾個幾”的圖像便躍然紙上，有利于學生表象的建立，使問題的數量關系更易于理解，使抽象的算理具體化。
　　 4．利用“等式的性質”推導“4÷■= 4×2”
　　【設計意圖】利用等式的性質推出4÷■= 4×2。學生掌握了這種思考方法，那么接下來的分數除以分數，便很容易推導出等于乘分數的倒數。
　　5.進一步研究算式中的數，結合“4÷■= 4×2”，引導學生思考：與2有什么關系
　　（學生初步提出猜想：一個數除以分數，等于這個數乘分數的倒數。）
　　【設計意圖】教師重視引導學生從已有的知識和經驗出發，建立“合理猜想”，然后加以驗證，對于培養學生的直覺思維、形成科學嚴謹的學習態度和良好的思維習慣是非常必要的。
　　6.出示下面兩組題目
　　 ●利用“分數墻”理解“4÷■= 4×3”和“4÷■= 4×4”。
　　 ●利用“等式的性質”自己推出“4÷■= 4×3”和“4÷■= 4×4”。
　　 思考：什么變了？什么沒變？你發現什么規律？
　　 （學生很容易發現：被除數不變，除號變乘號，除數變成它的倒數。）
　　 引導學生在前面猜想的基礎上得出結論：一個數除以分數，等于這個數乘分數的倒數。
　　
　　【設計意圖】要使學生會計算，必須使他們明確怎樣計算，也就是要加強法則及算理的理解。為了落實“四基”的培養目標，使學生受到數學思想方法的熏陶，經歷“提出猜想—驗證猜想—得出結論”的學習過程，教師放慢教學的節奏，引導學生充分經歷算法的探究過程，讓學生自己發現一個數除以分數的計算方法。
　　
　　■ 課后反思——構建有“深度”的數學課堂
　　 本節內容是在學生掌握了分數乘法和分數除以整數的計算方法基礎上繼續探索一個數除以分數的計算方法。分數除法計算方法的探索與理解，歷來是教學的一個難點。我處理這個問題的方法是讓學生多看一些簡單的例子，在具體例子的學習中逐漸感悟到“除以一個分數等于乘這個分數的倒數”。本節課看起來內容很簡單，但并沒有進行簡單處理。蝴蝶幣的分與合、橙子個數由少到多的變化、從“一個一個數”到“一組一組數”、分數墻的巧妙使用、等式性質的適當介入等，教師把教學的著力點放在了“理解、經歷、體驗、探索”上，用思維方法的分析帶動具體數學知識內容的教學，從而真正做到“教活”、“教懂”、“教深”，使本節課顯得既有數學味又有深度。
　　 何謂有“深度”的課堂？“深度”課堂不是“難度”課堂，深度課堂應該是對常態課的一種超越。
　　 “深度”課堂一定是有內涵的課堂——有內涵的課堂應該是“用教材教”，而不是簡單地“教教材”；有內涵的課堂，教師能夠依據課程標準的要求，依據學生的具體情況，依據教師自身的教學特長，把教材用好、用活，通過自己的“二度開發”把枯燥的知識加工成“既好吃又有營養”的知識大餐。
　　“深度”課堂一定是有沖突的課堂——有沖突的課堂教師會依據教材內容，抓住兒童好奇心強的心理特點，精心設疑、巧設懸念，使學生處于一種“心求通而未達，口欲言而未能”的不平衡狀態，以引起學生的探索欲望。
　　“深度”課堂一定是有活力的課堂——學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。課堂不是教師表演的舞臺，而是師生之間交往互動的舞臺。有活力的課堂，一定會建立師生多方位的信息交流系統，使交流—反饋—矯正貫穿于教學全過程；有活力的課堂，教師不應過分追求“統一化”和“最佳化”，而是致力于“多樣化”、“合理化”，以使學生對知識的真正理解和個性化發展成為可能。
　　“深度”課堂一定是有后勁的課堂——有后勁的課堂，教師一定會改善學生的學習方式，給學生提供積極思考、充分參與的空間，一定讓學生經歷知識的形成過程，一定不直接向學生吐露自己的“謎底”，而盡量創設問題情境，讓學生自己去得出結論；有后勁的課堂，教師一定關注學生的自主學習、探究學習和合作學習；有后勁的課堂，一定關注學生的個別差異，培養學生的問題意識；有后勁的課堂，教師一定在“教知識”的同時更注重“教方法”、“教思想”；有后勁的課堂，教師一定關注教學中“三維目標”的落實，關注學生“大智慧”的培養。■
　　□編輯 王宇華