在教學中滲透數學思想方法的實踐和體會

數學思想方法是數學的內在形成，是獲取知識、發展思維能力的工具，是“靈魂”的組成部分，只有充分掌握領會，才能有效地應用知識、形成能力，以數學思想方法統領數學教學，才能把數學教學上升到一個高級的階段。另外，新課標首次明確地將基本思想劃入數學基礎知識范圍，也充分反映了數學思想方法的重要地位，因此，初中數學教師必須加強數學思想方法的教學。

1 初中數學教材中的數學思想方法

初中數學教材中的數學思想方法包括：1）用字母表示數的思想；2）歸納概括思想；3）數形結合思想；4）轉化的思想（或稱化歸思想）；5）分類討論思想；6）函數思想；7）方程思想；8）整體思想。其中，分類討論、數形結合、轉化思想是最閃亮的明星，擁有了它們也就擁有了駕馭知識的睿智，擁有了面對陌生的科技難題敢于直面、善于攻克的創新能力。

當面臨的問題情景復雜、層次較多、視野廣泛時，可以運用分類討論的思想方法來加以解決，即可以選擇一個適當的標準，按照不重、不漏的原則，將其分解為一系列情景簡單、層次單一而且比較熟悉的小問題，然后各個擊破，再把解決了的小問題綜合起來而獲得對原問題的解決，實現化難為易、化繁為簡的目的。

進行分類討論思想的教學，需明確3個方面的問題。

1）化隱為顯。分類討論思想和其他數學思想一樣，并非全部顯于明處，而是隱藏于知識中間。學生在課本的字里行間看不出來，因此教師必須鉆研教材，把隱藏于知識中的分類討論思想方法揭露出來，讓學生在知識的形成過程中逐步領會和初步學會運用分類討論思想。初中代數中出現或蘊涵的分類討論思想方法很多，如相反數、絕對值、有理數比較大小、有理數的運算等。

2）分類評析、概括判斷，這是運用分類討論思想解決問題的一般步驟，即先確定分類的對象及范圍，再選擇恰當的分類標準進行分類，然后分別在各類中進行研究，最后綜述問題的結論。教師應引導學生利用這一步驟來研究問題，掌握分析方法。例如，在一元二次方程的根的判別式及其判別法則形成的過程中，先引導學生明確找出分類的對象、標準，再討論分類結果，最后歸納總結出根的判別法則。

3）小步走、多層次。分類討論思想與知識教學緊密結合，與學生認識水平相適應，應注意循序漸進，逐步應用發展。從初一有理數的分類，到初二算術平方根的概念，再到初三函數性質的討論，分類討論思想貫穿于其中。

數學大師華羅庚說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”數形結合，直觀又入微。數學最本質的東西是抽象，而數學又把抽象的東西形象化，再通過直觀的形象來深化抽象的內容。這種抽象中的形象就是數形結合的思想。例如，數軸和直角坐標系，建立了數（或數對）與點的聯系，就可以用幾何形象來表示代數問題，用代數運算替代幾何推理，使代數性質圖象化，圖形性質代數化。

【例】已知＜，＞，且＜，求+的值。

【解】，且＜，在數軸上表示如圖1所示。

∴，即即。∴。

又如，列方程（組）解應用題與算術法相比有居高臨下、省時省力的特點；同樣，對于平面幾何問題，若能恰當地設置未知量，讓列方程（組）解應用題去大顯身手，這種圖形性質代數化的做法也魂系數形結合思想。對抽象的數賦予直觀的意義，以形助數或對直觀的圖形賦予代數的意義，以數幫形，這些都會使數形結合的思想大展宏圖。

【例】如圖2所示，一圓內切于△ABC，與AB、BC、AC切于D、E、F，且AC·CB=2AD·DB。求證：△ABC為直角三角形。

【證明】∵⊙O內切于△ABC

∴設AD=AF=x，BD=BC=y，CE=CF=z

∵AC·CB=2AD·DB

∴①

整理得：

∴（負根舍去）

∴

兩邊平方，整理得：

②

∴把①代入②得：

即：

∴△ABC為直角三角形。

轉化思想是數學中最基本、最重要的一種思想，在初中數學中廣泛地滲透著這種思想，幾乎每個章節都存在轉化思想的影子。結合課本和教學內容的需要，巧妙地將轉化思想傳播給學生，以便提高學生數學思維水平和解決問題的能力。例如，在例題的講解和學習中，許多例題本身就是轉化思想典型；在習題的解答中，轉化思想往往是問題解決的突破口；在復習知識體系時，各知識間的聯系更是轉化思想的生動體現。

2 把數學思想方法精心設計到教學過程中去

找出分散在課本中的數學思想方法，加以匯總，寫進教學計劃；在備課時把數學思想方法寫進教案；在教學過程、教學小結中都有明確的數學思想方法。這些都為實施數學思想教學做好必要的準備工作。例如，“代數式”的概念以及相關應用就滲透著字母表示數與整體思想；“有理數”部分就蘊涵著分類討論思想；“數軸”部分為以后的數形結合思想奠定基礎；“有理數運算”“一元一次方程”等內容都是轉化思想的好材料。

3 在具體的教學中及時滲透數學思想方法

3.1 在數學概念的形成過程中滲透數學思想方法

數學概念是從客觀現實中抽象出來的，所以概念教學不應簡單下定義，應通過展示事例、抽象本質屬性，再推廣到一般同類事物得出，從而引導學生感受或領悟隱含于概念形成之中的數學思想方法。

例如，函數思想的萌芽和函數概念的形成過程，是人們在長期實踐中由無數具體事例體驗到抽象思維的過程，是通過現象抓住本質的過程。在弄清常量、變量的基礎上，設計幾個實例：1）打電話時，繳費金額（W）隨通話時間（t）的變化而變化；2）速度（v）一定的前提下，汽車行駛的路程（s）隨時間（t）的變化而變化；3）一天中，溫度（T）隨時間（c）的變化而變化；4）圓面積（S）隨半徑（r）的變化而變化。這些生活中的例子，不僅深化了學生對概念的理解，滲透了歸納概括的思想、用字母表示數的思想、函數思想，更重要的是激發了學生良好的學習動機和用數學的意識。

3.2 在定理、公式和法則的推導中有意識地再現數學思想方法

在定理、公式和法則的教學中，不過早地下結論，而是引導學生參與結論的探索、發現、推導過程，弄清每個結論的因果關系，領悟其中的數學思想方法。例如，在“多邊形內角和定理”的教學中，教師可以采用提問的方式，引領學生由“三角形內角和”聯系到“四邊形內角和”的推導，進而嘗試探索“多邊形內角和定理”，從而讓學生體驗到轉化的數學思想；“圓周角定理”和“弦切角定理”的教學中，引導學生從“圓心在角的一邊上”這一最易研究的特殊情況入手去研究問題，再轉化到“圓心在角的內部”和“圓心在角的外部”，讓學生感受分類討論思想、轉化思想。

帶領學生參與探索定理的結論及證明過程，大大激發學生的求知興趣，同時也體驗到“創造發明”的愉悅，數學思想在這一過程中得到有效的發展。

3.3 在數學習題的思考過程中有目的地揭示和提煉數學思想方法

習題課的教學，不僅要注意學生對基礎知識的掌握運用，而且有必要挖掘它的內涵以及潛在的數學價值，積極引導學生參與數學問題的解決過程，通過主體主動的學習活動激活知識形態的數學思想，逐步形成用數學思想指導思維活動，探索數學問題的解決策略。例如，“圓、扇形、弓形的面積”這部分知識的習題課上（如圖3、圖4），采用的是“割補法”的解題技巧，而它實際上恰恰是轉化思想的生動再現。

3.4 在復習課中概括數學思想方法

在章節結束、單元復習或中考復習中，對知識復習的同時，將統帥知識的思想方法概括出來，有利于把數學概念、定理、公式、法則、數學習題和章節聯結成一個統一的鏈條，有利于學生克服局部知識的限制，達到對全局本質的認識，從而站在制高點上統攬全局。例如，教材用“軸對稱”觀點將等腰三角形、角平分線、線段的垂直平分線統一起來，互相補充；用“中心對稱”觀點將平行四邊形看成三角形繞一邊中點旋轉180°得到的，將三角形與平行四邊形緊密聯系在一起，為解決有關三角形中線問題及四邊形轉化成三角形的問題，提供了常見的輔助線。又如，函數是初中數學的重要概念，也是重要思想方法。用函數觀點審視初中代數內容，能將代數式、方程、不等式統一起來；審視初中幾何內容，能將相交線、平行線、三角形、多邊形、圓統一起來；審視初中數學，能將二元方程與平面直線、三角形、四邊形、圓、雙曲線、拋物線結合起來。

數學是嚴謹的科學，也是充滿思想氣息的藝術。在教學中滲透數學思想方法，可以使學生從死氣沉沉的氛圍中走出來，欣賞到數學的思想美，按照思想的規律去選擇、去創造。讓學生在學習數學的同時也欣賞數學，從數學中體驗到無盡的思想藝術美。

（作者單位：河南省開封市鐵路中學）