常見的不等式問題解題思路

不等式是高考數學的熱點之一.由于不等式的證明難度大，靈活性強，技巧要求很高，常常使它成為數學高考中的高檔試題.而且，不論是幾何、數論、函數等許多問題，都與不等式有關，這就使得不等式的問題（特別是證明）尤為重要.雖然不等式證明沒有固定的模式，因題而異，靈活多變，技巧性強，但它也有一些基本的常用方法.要熟練掌握證明技巧，必須從學習這些基本的常用方法開始，善于分析題目的特征，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數形結合等方法才能發現問題的本質，找到突破口.以下談談常見的不等式題型的解法與技巧.

一、重要不等式

1.平均值不等式設a1，a2，…，an是n個正實數，記Hn=n1a1+1a2+…+1an

，Gn=na1a2…an，

An=a1+a2+…+ann，Qn=a21+a22+…+a2nn

，分別稱Hn，Gn，An，Qn為這n個正數的調和平均、幾何平均、算術平均數、平方平均．

那么恒有不等式Hn≤Gn≤An≤Qn，等號成立當且僅當a1=a2=…=an.

2.柯西不等式對任意實數組ai，bi(i=1，2，…，n)恒有不等式“積和方不大于方和積”，即

(∑ni=1aibi)≤(∑ni=1a2i)(∑ni=1b2i)

，等式當且僅當a1b1=a2b2=…=anbn時成立.

本不等式稱為柯西不等式.

3.排序不等式設有兩組實數，a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn滿足

a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，



則a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn，其中c1，c2，…，cn是實數組b1，b2，…，bn的一個排列，等式當且僅當a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時成立，

即倒序和≤亂序和≤正序和.

4.三角不等式設Z1，Z2為任意復數，則||Z1|-|Z2||≤|Z1+Z2|≤||Z1|+|Z2||.

二、解題技巧

1.比較法（作差法或比差法）比較實數a和b的大小，作差——變形——判斷（正號、負號、零）；變形時常用配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式法等.在a，b均為正數時，也可借助ab＞1或ab＜1來判斷：作商——變形——判斷（大于1或小于1）.

【例1】 設a＞b＞0，求證：aabb＞abba.

證明：因為a＞b＞0，所以ab＞1，a-b＞0.而aabbabba=(ab)a-b＞1，故aabb＞abba.

2.分析法（逆推法）從要證明的結論出發，一步一步地推導，最后達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導過程都必須可逆.

【例2】 求證：5+7＞1+15.

證明：要證5+7＞1+15，即證12+235＞16+215，即35＞2+15，35＞19+415，415＜16，15＜4，15＜16，由此逆推即得5+7＞1+15.

3.綜合法證明時，從已知條件入手，經過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論，這是一種常用的方法.

【例3】 n≥2，且n∈N，求證：1+12+13+…+1n＞n(nn+1-1).

證明：因為1+12+13+…+1n+n=(1+1)+(12+1)+(13+1)+…+(1n+1)

=2+32+43+…+n+1n＞n?n2?32?43?…?n+1n=n?nn+1.



所以1+12+13+…+1n＞n(nn+1-1).

4.放縮法在證題中，根據不等式的傳遞性，常采用舍去一些正項（或負項）而使不等式的各項之和變小（或變大），或把和（或積）里的各項換以較大（或較小）的數，或在分式中擴大（或縮小）分式中的分子（或分母），從而達到證明的目的.值得注意的是“放”、“縮”要得當，不要過頭.常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找“中介量”放縮法.

【例4】 求證：12?34?56?…?999910000＜0.01.

證明：令p=12?34?56?…?999910000，則

p2=122?3242?5262?…?99992100002＜122-1?3242-1?…?99992100002-1=110001＜110000.



所以p＜0.01.

5.反證法

先假設結論不真，由此經過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設，導出結論的正確性.

【例5】 在面積是1的△ABC中，P是BC上任意一點，PE∥AB交AC于E，PF∥CA交AB于F，

證明:△BPF、△PCE和四邊形PEAF中，至少有一個的面積不小于49.

證明：（反證法）若不然，令BPBC=x，x2＜490＜x＜23，

(1-x)2＜4913＜x＜1，1-x2-(1-x)2＜49x＞23或x＜13，

無解，故命題真.

6.排序法利用排序不等式來證明.

【例6】 在△ABC中，試證：π3≤aA+bB+cCa+b+c＜π2.



證明：不妨設a≤b≤c，于是A≤B≤C.

由排序不等式，得aA+bB+cC≥aA+bB+cC，

aA+bB+cC≥bA+cB+aC，

aA+bB+cC≥cA+aB+bC.

以上三式相加，得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=π(a+b+c)，

得aA+bB+cCa+b+c≥π3. ①

又由0＜b+c-a，0＜a+b-c，0＜a+c-b有0＜A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+C-B)+c(A+B-C)

=a(π-2A)+b(π-2B)+c(π-2C)=(a+b+c)π-2(aA+bB+cC)，



得aA+bB+cCa+b+c＜π2. ②

由①、②得原不等式成立.

7.函數法通過變換，把某些問題歸納為求函數（含導函數）的極值，達到解題目的.

【例7】 設x∈R，求證：-4≤cos2x+3sinx≤218.

證明：f(x)=cos2x+3sinx=1-2sin2x+3sinx=-2(sinx-34)2+218.

當sinx=34時，f(x)取最大值218；

當sinx=-1時，f(x)取最小值－4.

故-4≤cos2x+3sinx≤218

.

8.代換法在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當的輔助未知數，使問題的證明達到簡化.

【例8】 已知a＞0，b＞0，0＜x＜1，求證：a2x+b21-x≥(a+b)2.



證明：令x=cos2β，1-x=sin2β，則

左邊=a2sec2β+b2csc2β

=a2(1+tan2β)+b2(1+cot2β)

=a2+b2+a2tan2β+b2cot2β

≥a2+b2+2ab=(a+b)2.

在實際解題中還有許多方法的，如判別式法、構造法、數形結合法、分解法等等.這些方法往往相互結合、互相包含，有時會把幾種方法巧妙結合起來才能解題.

鞏固練習：

1．設n∈N*，n＞1，求證：C1n+C2n+…+Cnn＞n?2n-12.



2．若a＞0，b＞0，且a+2b=6，求lga+2lgb的最大值.

3．若a+2b=12，求2a+2b+1的最小值.

4．已知x-y=1(x＞1)，求u(x，y)=1y3+x+1 的最小值.

5．x2+2y2=1，求u(x，y)=x+2y的最值.

6.設三個正實數a，b，c滿足(a2+b2+c2)2＞2(a4+b4+c4)，

求證： a，b，c一定是某三角形的三邊長.

7.設x，y，z∈R+，求證:x2y2+z2+yz +y2z2+x2+zx +z2x2+y2+xy ≥1.



8.設x，y，z∈R+，且x+2y+3z=36，求1x+2y +3z

的最小值．

9．若a>0，b>0，則a6+b62 ≥a+b2 ?a2+b22 ?a3+b32

．

(責任編輯 金 鈴）