例談建立數列模型解決生活問題
2012-12-31 00:00:00王德友
中學教學參考·語英版 2012年9期
數列在實際生活中有很多應用，例如人們在貸款購房、貸款購車、儲蓄等生活中就大量用到數列的知識，下面利用例子談談購房中的兩種按月分期還本付息的辦法.
等額本息還款法，即借款人每月以相等的金額償還貸款本息，又稱等額法.
等額本金還款法，即借款人每月等額償還本金，貸款利息隨本金逐月遞減，還款額逐月遞減，因此又稱遞減法.
【例】 某教師欲購買一套商品房，面積為125m2，單價3200元/m2，決定向銀行貸款，銀行要求首付20%，自己有10萬元積蓄全用于首付，根據自己的經濟情況計劃20年還清貸款，已知貸款的月利率為4.65‰.
(1)用等額法計算，每月還款額、還款總額及所付利息總額.
(2)用遞減法計算，前三個月的還款額、第n（n≥1）個月的還款額、還款總額及所付利息總額.
(3)從第幾個月開始遞減法比等額法的月還款額少？
(4)比較兩還款法說說你的想法.
解析：購房總額125×3200＝4×105（元)，銀行貸款總額A=4×105－105＝3×105（元)，
還款總月數20×12＝240，月利率r=4.65‰.
(1)由于等額法每月以相等的金額償還貸款本息，故可設每月還款本息為a元，每次還款后欠銀行的錢數構成數列{an}，則有：
a１＝A－（a－A×r）＝A(1+r)－a；
a2＝a１－（a－a１×r）＝a１(1+r)－a；
an＝an-1－（a－an-1×r）＝an-1(1+r）－a；
配成（an－a/r）＝(1+r)（an-1－a/r），數列{an－a/r}為等比數列.
有（an－a/r）＝（a１－a/r）(1+r)n-1＝(A－a/r)(1+r)n.
由條件知an＝0（欠款還清)及n＝240代入上式得a＝［Ar(1+r)n］/［(1+r)n－1］＝2077.24(元)，
還款總額為：2077.24×240＝498537.60(元)，所付利息總額為：498537.60－3×105＝198537.60(元).
(2)由于遞減法每月等額償還本金，則還款本金每月為b＝3×105÷240＝1250(元)，
每月還款本息構成數列{bn}有：
b1＝b+A×r＝1250+3×105×4.65‰＝2645(元)；
b２＝b+(A－b)r＝1250+(3×105－1250)×4.65‰＝2639.19(元)；
b3＝b+(A－2b)r＝1250+(3×105－2×1250)×465‰＝2633.38(元)；
……
bn＝b+［A－(n-1)b］r；
bn-bn-1＝b+［A－(n-1)b］r－b－［A－(n-1)b］r＝-br（n≥2）；
知數列{bn}為等差數列，有bn＝b1+(n-1)(-br)＝2645－5.8125(n-1)，（n≥1）.
將n＝240代入上式得bn＝1255.81，其前n項和Sn＝(b1+bn)n÷2＝468097.50，
還款總額為：468097.50(元)，所付利息總額為：468097.50－3×105＝168097.50(元).
(3)由上面兩情況可設從第n個月開始遞減法比等額法的月還款額少，則有：
2645－5.8125(n-1)＜2077.24，解得n＞98.68，即從第99個月開始遞減法比等額法的月還款額少.
(4)等額法所付利息總額為：198537.60(元)，遞減法所付利息總額為：168097.50(元).
由198537.60－168097.50＝30440.10(元)，可見遞減法所付利息總額少.采用遞減法貸款的人雖然所付利息總額少，但其前98個月每個月要比等額法多還款壓力大，采用等額法的人所付利息總額多但還款壓力相對較小，采用此法的人如果有其他投資的渠道，回報又率高于貸款利率，把前98個月比遞減法少付的錢用于投資去賺取利差，當然如果貸款人沒有投資方向.只是還安安穩穩的還貸款，而且又沒有壓力的情況下，采用遞減法更好些.同時還要注意與銀行協商更適合你的辦法，有的銀行可能只提供一種.
（責任編輯 黃桂堅）
