發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系的策略

【摘 要】列方程解應(yīng)用題一直是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，在應(yīng)用題的教學(xué)中許多老師幾乎已經(jīng)達(dá)成不辯的共識(shí)：解決問題的關(guān)鍵是分析數(shù)量關(guān)系并找出等量關(guān)系。在實(shí)際教學(xué)中對(duì)于“分析數(shù)量關(guān)系”與“找等量關(guān)系”二者間的邏輯關(guān)系不是很明確，致使在操作過程中偶有主次不分，先后顛倒現(xiàn)象。結(jié)合建構(gòu)主義教學(xué)理論，明確 “分析基本量的關(guān)系”在列方程解應(yīng)用題中的根本作用是“尋找等量關(guān)系”的“突破口”。

【關(guān)鍵詞】數(shù)量關(guān)系；等量關(guān)系；支架式教學(xué)

一、提出問題

（一）列方程解應(yīng)用題教學(xué)現(xiàn)狀分析及思考

眾所周知，解應(yīng)用題是中小學(xué)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，大部分學(xué)生對(duì)此都存有一種莫名的恐懼感。應(yīng)用題對(duì)于學(xué)生為什么會(huì)如此具有殺傷力？根據(jù)我的觀察、了解和分析，歸納出以下原因：

（1）在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，老師普遍提倡列綜合算式的方法解應(yīng)用題，過分強(qiáng)調(diào)綜合算式的運(yùn)算，淡化了分步計(jì)算的教學(xué)。

（2）在初中的應(yīng)用題教學(xué)中存有如下情況：

教學(xué)中強(qiáng)調(diào)先審題，弄清各種數(shù)量關(guān)系，重點(diǎn)放在如何找出題中的等量關(guān)系。

再如在這樣一道例題的教學(xué)中：已知有鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為16%的鹽水800克，要得到鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為10%的鹽水，應(yīng)加水多少克？教學(xué)中，一般先根據(jù)“加水前后鹽不變”找出該問題的等量關(guān)系，即：加水前鹽的質(zhì)量=加水后鹽的質(zhì)量。為能理清問題中的各種數(shù)量關(guān)系，老師總是教同學(xué)們用“列表法”。

就這種教學(xué)處理有兩個(gè)問題有必要討論：其一、這里的等量關(guān)系只有這樣一個(gè)嗎？事實(shí)并非如此，上面分析的主要是“鹽”，這里我們同樣可以分析“水”， 得到關(guān)于水的等量關(guān)系：加水前的水的質(zhì)量=加水后的水的質(zhì)量－所加水的質(zhì)量。可見首先尋找等量關(guān)系很有可能阻礙學(xué)生的發(fā)散思維；其二、怎樣列表？老師的分析顯得不夠透徹，使學(xué)生在學(xué)的過程中關(guān)于列表只能模仿，很少真正弄清為什么。

（二）改變教學(xué)觀念和方法迫在眉睫

在中小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用題沒有超出學(xué)生應(yīng)有的學(xué)習(xí)能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用分步運(yùn)算解應(yīng)用題實(shí)質(zhì)就是學(xué)生分析問題所包含的基本的數(shù)量關(guān)系。過分強(qiáng)調(diào)“綜合算式”削弱了對(duì)學(xué)生“分析數(shù)量關(guān)系”的訓(xùn)練，沒有“分析”的“綜合”如空中閣樓，這樣的學(xué)習(xí)當(dāng)然使得學(xué)生對(duì)應(yīng)用題感到困難。在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)中，老師們都知道在列方程解應(yīng)用題中要“分析數(shù)量關(guān)系”、“找等量關(guān)系”，然而并不清楚也不注重兩者具有怎樣的邏輯關(guān)系，因急于要把問題中的“等量關(guān)系”找出，而忽略了“分析數(shù)量關(guān)系”對(duì)“找等量關(guān)系”的關(guān)鍵性作用，在直接尋找等量關(guān)系時(shí)總讓學(xué)生學(xué)習(xí)思維受阻。

等量關(guān)系在列方程解應(yīng)用題中的重要性是不言而喻的，現(xiàn)在的問題是要解決“如何尋找等量關(guān)系”的策略，當(dāng)前的教學(xué)中，這個(gè)問題遠(yuǎn)未解決。在此，我認(rèn)為列方程解應(yīng)用題的教學(xué)中首先必須明確“分析數(shù)量關(guān)系”與“找等量關(guān)系”的邏輯關(guān)系與操作順序，用建構(gòu)主義的觀點(diǎn)來指導(dǎo)我們的應(yīng)用題教學(xué)，以期能做出一點(diǎn)有意義的嘗試。

二、關(guān)于應(yīng)用題建構(gòu)性教學(xué)理論

（一）淺析“分析基本量”與“尋找等量關(guān)系”的邏輯關(guān)系

在列方程解應(yīng)用題中，“等量關(guān)系”是列方程的依據(jù)，同時(shí)“等量關(guān)系”又是與問題中所有的“基本量”密切相關(guān)，是對(duì)某一類“基本量”的關(guān)系的刻畫。由此，也可以說任何問題中的等量關(guān)系都是由這些“基本量”的關(guān)系構(gòu)成的。在教學(xué)實(shí)踐中我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用題，問題中出現(xiàn)的“基本量”的關(guān)系就是能解決問題的“等量關(guān)系”。但對(duì)于較為復(fù)雜的應(yīng)用題，雖然最后用以列方程的“等量關(guān)系”只需一個(gè)或兩個(gè)，但問題中呈現(xiàn)的“基本量”間的關(guān)系卻變化多端，讓學(xué)生無從下手，實(shí)際上我們需要的“等量關(guān)系”就隱藏其中。“基本量”的關(guān)系是“等量關(guān)系”賴以“生存”的基礎(chǔ)，或者說“分析基本量”就是“尋找等量關(guān)系”的突破口。

（二）關(guān)于建構(gòu)主義觀下的“支架式教學(xué)”模式的特征

（1）搭好“腳手架”是列方程解應(yīng)用題教學(xué)的基石。從上面的論述中，我們已經(jīng)找到了在列方程解應(yīng)用題中“找等量關(guān)系”的策略：挖掘出蘊(yùn)含“等量關(guān)系”的所有的“基本量”的關(guān)系。正如建構(gòu)主義先驅(qū)、瑞士心理學(xué)家皮亞杰用“同化”和“順應(yīng)”的觀點(diǎn)解釋新知和原認(rèn)知圖式間的相互作用。學(xué)生原有“了解或熟悉的基本的數(shù)量關(guān)系”的知識(shí)，便是列方程解應(yīng)用題的基石。

（2）“自主建構(gòu)”是列方程解應(yīng)用題教學(xué)的根本途徑。程亞煥的《數(shù)學(xué)教學(xué)觀與數(shù)學(xué)差生》一文中指出：防止和轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)差生都需要堅(jiān)持建構(gòu)主義教學(xué)觀；“建構(gòu)”是學(xué)習(xí)者的自身思維構(gòu)造的過程，是一個(gè)主動(dòng)活動(dòng)的過程。要挖掘“基本數(shù)量關(guān)系”，需要學(xué)生的獨(dú)立探索與小組討論相結(jié)合，必要時(shí)，老師給以適當(dāng)?shù)膯l(fā)。新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，必須有效的改進(jìn)教師的教學(xué)行為，倡導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)性的學(xué)習(xí)。首先作為數(shù)學(xué)教師的教學(xué)觀念必須更新、數(shù)學(xué)教學(xué)理念將由以數(shù)學(xué)學(xué)科為本轉(zhuǎn)到以學(xué)生為本、數(shù)學(xué)教學(xué)的心理基礎(chǔ)將由行為主義向認(rèn)知理論與建構(gòu)主義轉(zhuǎn)變；數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用將由單一的主導(dǎo)作用轉(zhuǎn)向組織者、指導(dǎo)者和輔導(dǎo)者三位一體的多元導(dǎo)向作用，成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種資源。所以，老師無法“講會(huì)”應(yīng)用題，需要學(xué)生自身感悟，自己建構(gòu)。

（三）關(guān)于“支架式教學(xué)”模式的五個(gè)基本環(huán)節(jié)

（1）搭腳手架——圍繞列方程解應(yīng)用題的學(xué)習(xí)主題，按“最近發(fā)展區(qū)”要求建立觀念框架。主要包括以下兩方面的內(nèi)容：一是有理數(shù)的計(jì)算、解方程及方程中未知數(shù)與已知數(shù)之間的辨證統(tǒng)一的關(guān)系和“化歸”的數(shù)學(xué)思想；二是常見的基本的數(shù)量及關(guān)系。在列方程解應(yīng)用題前我們可以通過一些列式計(jì)算再現(xiàn)基本的數(shù)量關(guān)系，為下一步的學(xué)習(xí)搭好“腳手架”。

（2）進(jìn)入情境——將學(xué)生引入問題情境。

（3）獨(dú)立探究——讓學(xué)生獨(dú)立探究。探索前，老師要作必要的啟發(fā)引導(dǎo)（例如：?jiǎn)栴}中有哪些基本量、該如何表示等）。這里主要是讓學(xué)生挖掘問題中所涉及到的基本量以及根據(jù)題中的已知量與未知量把基本的量都表示出來。

（4）協(xié)作學(xué)習(xí)——小組討論交流，老師不失時(shí)機(jī)地參與指導(dǎo)，使問題變得逐漸明朗，思路清晰，最后可以表格的形式簡(jiǎn)潔地表示各基本量。

（5）教學(xué)評(píng)價(jià)——包括個(gè)人的自我評(píng)價(jià)及小組的個(gè)人學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)。評(píng)價(jià)內(nèi)容包括自主學(xué)習(xí)能力，對(duì)小組的貢獻(xiàn)以及對(duì)所學(xué)的內(nèi)容和方法是否已經(jīng)掌握。

三、建構(gòu)性教學(xué)在列方程解應(yīng)用題中的實(shí)施

下面我們將列方程解應(yīng)用題的傳統(tǒng)教學(xué)與建構(gòu)性教學(xué)作一比較。

例如：容器盛滿鹽水溶液，第一次倒出了后，用水加滿，再倒出，又用水加滿，此時(shí)鹽水的鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為25%，則原溶液的鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)是多少？

比較一下同一位老師是在兩個(gè)不同的班上的實(shí)踐情況：

在一個(gè)班上是這樣教學(xué)的：首先用一組簡(jiǎn)單列式計(jì)算復(fù)習(xí)一下有關(guān)“鹽水問題”中的基本的數(shù)量關(guān)系，然后再用教學(xué)參考中的主要思路：尋找等量關(guān)系——用列表法表示出相關(guān)的量——列方程求解。當(dāng)要求學(xué)生思考時(shí)，有個(gè)別學(xué)生能正確地列出方程但卻未能指明等量關(guān)系是什么，班級(jí)48人中有38人以上都無從下筆，組織學(xué)生討論卻沒有明確的討論對(duì)象。最后學(xué)生只能看老師的表演，模仿列表求解。

在另一個(gè)班上采用的是以“分析數(shù)量關(guān)系”為根本的“支架式教學(xué)”解決問題。先復(fù)習(xí)好基本的數(shù)量關(guān)系再讓學(xué)生獨(dú)立研究問題中有哪些基本量，能否表示出來。學(xué)生很清楚：這里有“鹽的質(zhì)量”、“鹽水的質(zhì)量”及“鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)”三大基本量，但因?yàn)楸绢}的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，學(xué)生對(duì)于怎樣把這些“基本的量”表示出來普遍感覺困難。在這種情況下，老師先作了適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，然后讓學(xué)生進(jìn)行小組討論。指導(dǎo)時(shí)，雖然“鹽水的質(zhì)量”和“鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)”都不知道，但因?yàn)椤耙槐}水”的質(zhì)量無論怎樣表示都不影響結(jié)果，老師指出可以用“1”、“100”或“a”或其它方式來表示它。討論過程中數(shù)學(xué)素養(yǎng)較好（大約有15名左右）的同學(xué)，很快發(fā)現(xiàn)有些“基本量”隨著不斷的將鹽水“倒出”、“添滿”有所變化，最后可以把這些變化分為“倒出了2次，加滿了2次，以及原來的狀態(tài)共五種狀態(tài)”，分別表示出“鹽的質(zhì)量” 、“鹽水的質(zhì)量”及“鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)”。

在小組討論中，老師了解了學(xué)生的情況，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)給予一定的啟發(fā)；同學(xué)們用“列表法”表示這些量時(shí)也可以讓不同的學(xué)生分別表示一種或兩種狀態(tài)下的三個(gè)基本量。到這里，學(xué)生發(fā)現(xiàn)最后一次加滿水時(shí)的“鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)”就等于25%，苦苦尋覓的等量關(guān)系原來就在這兒。

最后進(jìn)行教學(xué)評(píng)價(jià)，從題目本身來講的確比較難，當(dāng)反思整個(gè)解題過程時(shí)發(fā)現(xiàn)，一半以上的學(xué)生都認(rèn)為分析中的每一個(gè)步驟自己都會(huì)。這樣學(xué)生在自己的學(xué)習(xí)體驗(yàn)中構(gòu)建“列方程解應(yīng)用題” 的方法：分析并表示出基本量——確定等量關(guān)系——列方程求解，同時(shí)也增強(qiáng)了學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。

教學(xué)分析：

關(guān)于師生在課堂上的雙邊關(guān)系的比較：在第一個(gè)班的教學(xué)中，很明顯只能是老師的一言堂；而后一個(gè)班的教學(xué)中，主要的活動(dòng)都是學(xué)生進(jìn)行，老師則成了組織者、指導(dǎo)者和輔導(dǎo)者，學(xué)生學(xué)習(xí)的主人。

關(guān)于教學(xué)效果的比較：前者班級(jí)48人中有38人以上無從下手；而后一個(gè)班中47人至少有35人以上可以動(dòng)筆，同時(shí)在小組討論中全班基本上可在討論中相互“刺激”與“提醒”完成整個(gè)“數(shù)量分析過程”。

四、結(jié)束語

應(yīng)用題建構(gòu)性教學(xué)符合“最近發(fā)展區(qū)”理論，強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心 “協(xié)作學(xué)習(xí)”，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過程，解決了“找等量關(guān)系”的策略問題。

以支架式模式的應(yīng)用題教學(xué)明確了“分析數(shù)量關(guān)系”與“尋找等量關(guān)系”之間的邏輯關(guān)系，進(jìn)一步確立了列方程解應(yīng)用題的突破口——“挖掘基本的數(shù)量關(guān)系”。能充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性、培養(yǎng)協(xié)作意識(shí)和能力。當(dāng)然，列方程解應(yīng)用題的艱巨性和反復(fù)性是客觀的，學(xué)生在學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題時(shí)要注重模式的內(nèi)化：用字母表示數(shù)，用代數(shù)式表示量；熟悉基本的數(shù)量關(guān)系。最終養(yǎng)成從“分析表示基本量”入手的習(xí)慣，以潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]教案示例，列方程解應(yīng)用題舉例（二），初中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書[S]，第一冊(cè)第78頁

[2]李慶奎，楊賽.關(guān)于數(shù)學(xué)建構(gòu)性教學(xué)的認(rèn)識(shí)和思考.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)[J]，2001第1期16—18

[3]程亞煥.數(shù)學(xué)教學(xué)觀與數(shù)學(xué)差生.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)[J]2001，第1期31—32

[4]章建躍.建構(gòu)主義及其對(duì)數(shù)學(xué)教育的啟示.數(shù)學(xué)通報(bào)[N]，1998，（4）：4

[5]翁凱慶.分析建構(gòu)主義觀下的兩種數(shù)學(xué)教學(xué)模式[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001第2期17—20

[6]張明安.中學(xué)數(shù)學(xué)討論課的嘗試，數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)[J].2001第3期92—94

作者簡(jiǎn)介：羊小華，女，（1975.1——） 四川三臺(tái)人，大學(xué)本科，講師，研究方向：數(shù)學(xué)教育。

注：本文為四川省教育廳課題《學(xué)前教育專業(yè)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的主要內(nèi)容與培養(yǎng)研究》（編號(hào)11SA171）中期研究成果。