數學課堂教學中滲透數學思想方法的策略研究

【摘 要】數學思想方法的教學是數學教學的重要組成部分。本文針對目前初中數學教學中存在的忽視數學思想方法教學的問題，闡述了加強數學思想方法教學的重要性，并結合中學數學課堂教學中的四種基本課型，對如何進行數學思想方法的教學作了探討。

【關鍵詞】數學思想方法；數學課堂教學；滲透；策略研究

數學教學大綱指出“初中數學的基礎知識，主要是概念、法則、性質、公式、公理、定理以及尤其內容所反映出來的數學思想和方法。”由此看來，加強對學生數學思想和方法的教育，對培養和提高學生的數學素養極其重要。

在實際數學教學過程中，老師們并沒有引起足夠的重視，往往只注重知識的傳授，而忽視知識發生過程中的數學思想方法的教學，這種現象比較普遍。數學思想方法具有普遍性，對現實生活具有重要的指導意義。掌握好數學思想，比掌握好形式化的數學知識更重要，學生在未來的生活和工作中將終生受益。

一、 問題的提出

先來看今年的某市中考試題：如圖，直角坐標系中，已知點A（2，4），B（5，0），動點P從B點出發沿BO向終點O運動，動點O從A點出發沿AB向終點B運動．兩點同時出發，速度均為每秒1個單位，設從出發起運動了s．

（1）Q點的坐標為（ ， ）（用含x的代數式表示）；

（2）當x為何值時，△APQ是一個以AP為腰的等腰三角形？

（3）記PQ的中點為G．請你探求點G隨點P，Q運動所形成的圖形，并說明理由.

題中的第（2）問和第（3）問實際上解析幾何中的兩點之間的距離公式的運用、坐標系中兩點之間的線段的中點公式的使用和平面幾何中的軌跡。于是筆者就由此而聽到了如下的幾種對話：①“完了，距離公式和軌跡我們都沒有說過，不是說被刪了嗎？怎么還考？”；②“看來以后要把老教材中刪了的內容重新再補充了！”；③“天哪，這書讓人怎么教？實在是沒有辦法把握住哪些內容要教，哪些內容不要教了？”。凡此種種議論，不外乎就是“被刪掉的內容到底要不要重新再教？”。筆者認為這不需要再教！因為僅僅補充知識點是解決不了問題的，你教給了學生再多的知識點，他們也未必都能記住，教而不練等于沒教。僅僅是老師求得了一種心靈上的安慰，一種推脫時的借口。事實上，這樣的想法是錯誤的，這樣的做法也是錯誤的。我們一定要把“補充知識點”的觀念轉變到如何教會學生在現有知識的情況下“解決問題”，使得學生學會學習。所以，我們教給學生的不應當僅是知識點本身，而更為重要的是在教學過程中，要注重數學思想方法的滲透和理解，這樣能夠教會學生如何學習，使得學生終身收益。

二、認識初中數學中的思想方法

（數學思想方法的定義），初中數學中蘊含多種的數學思想方法，但最基本的數學思想方法是數形結合的思想、分類討論思想、轉化與化歸的思想、方程與函數的思想，突出這些基本思想方法，就相當于抓住了中學數學知識的精髓。

（1）數形結合的思想。數形結合是一種重要的數學思想方法，其應用廣泛，靈活巧妙。“數缺形時少直觀，形無數時難入微”是我國著名數學家華羅庚教授的名言，是對數形結合的作用進行了高度的概括。在數學教學中，許多定律、定理及公式等常可以用圖形來描述。而利用圖形的直觀，則可以由抽象變具體，模糊變清晰，使數學問題的難度下降，從而可以從圖形中找到有創意的解題思路。如代數列方程解應用題中的行程問題，往往借助幾何圖形，靠圖形感知來“支持”抽象的思維過程，從而尋求數量之間的相依關系。例如：小彬和小明每天早晨堅持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米，如果小明站在百米跑道的起點處，小彬站在他前面10米處，兩人同時同向起跑，幾秒后小明追上小彬？此時，我們可畫出如下的線路圖：

依據線路圖，我們可以找出其中的等量關系

S小明=S小彬+10，然后設未知數列方程即可。

（2）分類討論的思想。分類討論思想是根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點，將數學對象區分為不同種類的數學思想。對數學內容進行分類，可以降低學習難度，增強學習的針對性。因此，在教學中應啟發學生按不同的情況去對同一對象進行能夠分類，幫助他們掌握好分類的方法原則，形成分類的思想。

（3）轉化與化歸思想。數學問題的解決過程就是一系列轉化的過程，中學數學處處都體現出轉化與化歸的思想，如化繁為簡、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，是解決問題的一種最基本的思想。因此在教學中，首先要讓學生認識到常用的很多數學方法實質就是轉化的方法，從而確信轉化是可能的，而且是必須的；其次結合具體的教學內容進行有意識的訓練，使學生掌握這一具有重大價值的思想方法。例如：在求解分式方程時，運用化歸的方法，將分式方程轉化為整式方程，進而求得分式方程的解，又如求解二元一次方程組時的“消元”解一元二次方程時 “將次”都是化歸的具體體現。

（4）方程與函數的思想。辯證唯物主義認為，世界上一切事物都是處在運動、變化和發展的過程中，這就要求我們教學中重視函數的思想方法的教學。華東師大版教材把函數思想已經滲透到初一、二教材的各個內容之中。因此，教學上要有意識、有計劃、有目的地培養函數的思想方法。例如：進行求代數式的值的教學時，通過強調解題的第一步“當……時”的依據，滲透函數的思想方法--字母每取一個值，代數式就有唯一確定的值。如代數式x2-4中，當x=1時，則x2-4=-3；當x=2，則x2-4=0……通過引導學生對以上問題的討論，將靜態的知識模式演變為動態的討論，這樣實際上就賦予了函數的形式，在學生的頭腦中就形成了以運動的觀點去領會，這就是發展方程與函數思想的重要途徑。

三、 數學教學中滲透數學思想方法的必要性

（1）數學思想方法的教學是數學教學的重要組成部分。整個中學數學教材涉及的數學知識點和數學思想方法組成了數學結構系統的“兩條線”，二者既有聯系又有區別，具體的數學知識是數學的外顯形式，易于發現，是一條“明線”，它是構成數學教材的“骨架”；數學思想方法是數學的內在形式，是獲取數學知識，發展思維能力的工具，是一條極具潛在價值的“暗線”，它是構成數學教材的“血脈”靈魂。有了數學思想方法作靈魂，各種具體的數學知識點就不再成為孤立、零散的東西，各種具體的解題方法也就不再是死板的教條。數學知識是數學思想方法的載體，數學思想方法又是數學知識的精髓，是知識轉化為能力的橋梁。

（2）數學思想方法的教學是新課標提出的重要教學要求。新的《課程標準》突出強調：“在教學中，應當引導學生在學好概念的基礎上掌握數學的規律（包括法則、性質、公式、公理、定理、數學思想和方法）。”因此，開展數學思想方法教育應作為新課改中所必須把握的教學要求。中學數學知識結構涵蓋了辯證思想的理念，反映出數學基本概念和各知識點所代表的實體同抽象的數學思想方法之間的相互關系。數學實體內部各單元之間相互滲透和維系的關系，升華為具有普遍意義的一般規律，便形成相對的數學思想方法，即對數學知識整體性的理解。數學思想方法確立后，便超越了具體的數學概念和內容，只以抽象的形式而存在，控制及調整具體結論的建立、聯系和組織，并以其為指引將數學知識靈活地運用到一切適合的范疇中去解決問題。數學思想方法不僅會對數學思維活動、數學審美活動起著指導作用，而且會對個體的世界觀、方法論產生深刻影響，形成數學學習效果的廣泛遷移，甚至包括從數學領域向非數學領域的遷移，實現思維能力和思想素質的飛躍。

四、數學課堂教學中滲透數學思想方法的幾種策略

在中學數學教材里，數學思想方法蘊含其中，相對于知識的傳授，數學思想方法的教學只是滲透其間。由于數學思想方法的呈現形式是隱蔽的，學生難以從教材中直接獲取，因此，教師必須深入鉆研教材，努力挖掘教材中進行數學思想方法滲透的各種因素，把握滲透數學思想方法的契機，掌握滲透數學思想方法的手段。以下就中學數學教學中常見的四種基本課型（即數學新授課、 數學習題課、數學復習課、試卷講評課），如何進行數學思想方法的滲透作初步的探討。

（1）在數學新授課中要揭示知識的形成過程中蘊含的數學思想方法。對于數學而言，一個知識的形成，幾乎都經歷了前人長期的觀察、比較、分析、抽象、概括、創造等過程，在這個探索過程中常常蘊含著重要的數學思想方法，而教材中許多知識都僅僅是用文字直接敘述的。在教學中，不是照本宣科給出概念，簡單地背下一些公式、定理、再舉一兩個例子，然后留下幾道模仿性的練習，而是要弄清概念、公式、定理的背景、來源及其推導過程，揭示其形成過程中蘊含的數學思想方法，由此理解所學的知識，并從中學會分析、解決問題的方法。下面以“多邊形內角和定理”的課堂教學為例，簡要說明。

教學目標：增強運用化歸思想處理多邊形問題的一般策略；掌握運用類比、歸納、猜想思想指導思維，發現多邊形內角和定理的結論；學會用化歸思想指導探索論證途徑，掌握化歸方法；加強數形結合思想的應用意識。

教學過程：①創設問題情境，激發探索欲望，蘊涵類比化歸思想。教師：三角形和四邊形的內角和分別為多少？四邊形內角和是如何探求的？（轉化為三角形）那么，五邊形內角和你會探索求嗎？六邊形、七邊形…… n 邊形內角和又是多少呢？②鼓勵大膽猜想，指導發現方法，滲透類比、歸納、猜想思想。教師：從四邊形內角和的探求方法，能給你什么啟發呢？五邊形如何化歸為三角形？數目是多少？六邊形…… n 邊形呢？你能否用列表的方式給出多邊形內角和與它們邊數、化歸為三角形的個數之間的關系？從中你能發現什么規律？猜一猜 n 邊形內角和有何結論？類比、歸納、猜想的含義和作用，你能理解和認識嗎？③暴露思維過程、探索論證方法，揭示化歸思想、分類方法。我們如何驗證或推斷上面猜想的結論呢？既然多邊形內角和可化歸為三角形來處理，那么化歸方法是否唯一的呢？一點與多邊形的位置關系怎樣？（分類思想指導化歸方法的探索）哪一種對獲取證明最簡潔？（至此，教材中在多邊形內任取一點 O ，連結點O與多邊形的每一個頂點，可得幾個三角形的思維過程得以充分自然地暴露）④反思探索過程，優化思維方法，激活化歸思想。教師：從上面的探索過程中，我們發現化歸思想有很大作用，但是，又是什么啟發我們用這種思想指導解決問題呢？原來，我們是選擇考察幾個具體的多邊形，如四邊形、五邊形等，發現特殊情形下的解決方法，再把它運用到一種特殊化思想當中。我們再來考察一下式子： n 邊形內角和 =n×180°-360°，你能設計一個幾何圖形來解釋嗎？對于 n 邊形內角和=（n-1）180°-180°，又能作怎樣的幾何解釋呢？（至此，我們又可探索出另一種思維方法，即在多邊形某一邊上任取一點 O ，連結點O與多邊形的每一個頂點來分割三角形）讓學生親自參加與探索定理的結論及證明過程，大大激發了學生的求知興趣，同時，他們也體驗到“創造發明”的愉悅，數學思想在這一過程中得到了有效的發展。

（2）在數學習題課中要重視數學思想方法對解題的指導。解題教學是數學教學活動的中心，是數學思想方法教學的主戰場。目前的教學現狀是普遍重視解題的方法技巧，強調解題過程中具體的一招一式的程式化訓練，甚至套用題型。由于一招一式的方法技巧訓練在很大程度上是機械的，只能依靠重復訓練來掌握以至提高解題能力，從而導致大運動量的機械練習而陷入“題海”，這是數學教學的一大誤區，事實上在這一誤區里也很難提高解題能力。數學解題也是一種創造性的活動，解題雖然離不開方法技巧，但單純的方法技巧無論怎么嫻熟，都無法把人帶入解題這一創造的境地，在知識和解題之間隔著一層不薄不厚的“膜”，穿透它需要數學思想的鋒芒。因此在解題教學中應重視數學思想方法的滲透，并貫穿于解題教學的各個環節：①重視解題思路的數學思想分析。探索解題思路的關鍵是數學思想，雖然解題過程表現為條件與結論之間的一條知識鏈，但是知識鏈的串聯無處不是數學思想作用的結果，因此教師要善于引導學生用數學思想去開通解題思路。

例1、已知拋物線y=x2+bx+c的部分圖像如圖所示，若y＜0，則x的取值范圍是（ ）

A．－1＜x＜4

B．－1＜x＜3

C．x＜－1或x＞4

D．x＜－1或x＞3

策略一（幾何法）：由拋物線的對稱性確定另一個交點的坐標。由觀察知。另一交點坐標是（3，0），觀察圖像知應選B。

策略二（代數法）：因為拋物線經過點（－1，0）和（0，－3），則有1-b+c=0，解得b=－2，c=－3。由x2-2x-3=0，得x1=－1，x2=3 。觀察圖像知應選B。

兩種策略均是數形結合思想的運用。事實上數形結合思想不僅僅在函數這一塊中，在其他不少地方也有不少，例如在一些幾何問題中，常引人字母借用方程的思想來解決問題，因此我們應有意識地把可以用到數形結合的地方提出來，以啟發、提升學生的思維。②重視解題過程中的數學思想指導。學生在學習新知識時，同時也掌握了一定的解題模式，在一定階段他們往往機械地按照這固定的模式去解題，對此，若不予以注意，就很可能形成某種定勢的負遷移，造成思維的呆板和僵化，因此在解題過程中，當學生獲得某種基本解法后，可運用數學思想對學生的解法適度地引伸，合理地深化，優化解題過程。

參考文獻：

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