精選例題，提高復(fù)習(xí)效率

摘 要：如何創(chuàng)造性地使用教材，挖掘教材中的例題、習(xí)題等的功能，精選各類例題是提高復(fù)習(xí)效率的關(guān)鍵。教師要精心設(shè)計(jì)“教練題組”，揉和知識(shí)、解題技巧和數(shù)學(xué)方法，并注意縱向挖掘，橫向加強(qiáng)不同知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系；題目必須有一定的基礎(chǔ)性、綜合性、啟發(fā)性、代表性與典型性，應(yīng)盡可能精選一題多解、一題多變、多題歸一的典型習(xí)題，應(yīng)盡可能選擇“牽一發(fā)而動(dòng)全身”的題目。

關(guān)鍵詞：方法 效率 多解 多變 多題歸一

中圖分類號(hào)：G420 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2012）11（c）-0078-02

復(fù)習(xí)課的任務(wù)之一，就是幫助學(xué)生揭示解題規(guī)律，總結(jié)解題方法，進(jìn)一步提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力。我們知道決定復(fù)習(xí)效果的關(guān)鍵因素不是題目的數(shù)量，而在于題目的質(zhì)量和處理水平。因此，如何創(chuàng)造性地使用教材，挖掘教材中的例題、習(xí)題等的功能，精選各類例題是提高復(fù)習(xí)效率的關(guān)鍵。現(xiàn)就精選各類例題，提高復(fù)習(xí)效率談幾點(diǎn)體會(huì)。

1 一題多解

選擇典型問題，設(shè)置“一題多解”類變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生能從不同的角度，不同的知識(shí)，不同的思想方法來(lái)思考解決同一個(gè)問題，使學(xué)生從單一的思維模式中解放出來(lái)，達(dá)到以創(chuàng)新方式來(lái)解答問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的開闊性、發(fā)散性和靈活性。

案例1：

如圖1，△ABC中，AD是邊BC上的中線，過點(diǎn)A作AE∥BC，過點(diǎn)D作DE∥AB，DE與AC、AE分別交于點(diǎn)O、點(diǎn)E，連結(jié)EC。

（1）求證：AD=EC。

（2）當(dāng)∠BAC=Rt∠時(shí)，求證：四邊形ADCE是菱形。

在解決第（1）個(gè)問題時(shí)，大部分學(xué)生先根據(jù)DE∥AB和AE∥BC得到四邊形ABDE是平行四邊形和∠B=∠EDC，由平行四邊形的性質(zhì)得到AB=DE，最后由邊角邊證明△ABD≌△EDC，最后得到AD=EC。此時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生回憶證明線段相等的方法還有哪些？學(xué)生通過討論很快得到解法2。

證明：∵DE∥AB，AE∥BC，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∴AE∥BD，且AE=BD

又∵AD是BC邊上的中線，

∴BD=CD

∴AE∥CD，且AE=CD

∴四邊形ADCE是平行四邊形

∴AD=CE.

在解決第（2）個(gè)問題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生回憶菱形的判定還有哪些？學(xué)生馬上會(huì)想到這樣三種思路：

思路1：證明AD=CD，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得四邊形ADCE是菱形。

思路2：證明DE⊥AC，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形得四邊形ADCE是菱形。

思路3：證明AD=CD=CE=AE，根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形得四邊形ADCE是菱形。

通過這三種不同角度的證法，使學(xué)生既熟練了菱形的判定方法，又加深了對(duì)判定定理間的聯(lián)系和區(qū)別的理解，開闊了學(xué)生的思路，激活了思維。

2 一題多問

選擇典型題，設(shè)置一題多問類變式練習(xí)，啟發(fā)學(xué)生建立課本例題、習(xí)題之間的聯(lián)系，開闊學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力和創(chuàng)造性思維能力。

案例2：以人教版九年級(jí)上103頁(yè)的12題和123頁(yè)的14題為原型設(shè)置下列練習(xí)。

如圖2，AB為⊙O的直徑，AD和BC是⊙O的兩條切線，DC切⊙O于E。

（1）若OD=6，OC=8，求DC的長(zhǎng)；

（2）求證：AD+BC＝CD；

（3）若AB=12，設(shè)AD=x，BC=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（4）如圖3，連接AE，求證：CO∥AE，CO·AE=2OA2。

這組題中，第（1）小題利用切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、平行線的判定和性質(zhì)、勾股定理等求出DC；第（2）小題在第（1）題的基礎(chǔ)上利用梯形中位線和直角三角形的性質(zhì)證出AD+BC＝CD；第（3）小題利用相似得到y(tǒng)與x的關(guān)系；第（4）小題利用等腰三角形三線合一，證明AE與OD垂直，然后得到CO∥AE；最后利用相似CO·AE=2OA2。

這組題在“變”的過程中在逐步加深，通過這組題的訓(xùn)練，加深了學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和靈活應(yīng)用，同時(shí)極大地鍛煉了學(xué)生的思維深度、廣度，提高了數(shù)學(xué)解題能力和探究能力。

3 一題多變

選擇典型問題，一題多變，培養(yǎng)思維的靈活性。選擇教材上的典型例題或習(xí)題進(jìn)行一題多變，讓學(xué)生有一種似曾相識(shí)的感覺，提高了學(xué)生的解題興趣，同時(shí)也激發(fā)了學(xué)生思考的熱情，學(xué)生隨時(shí)根據(jù)變化了的情況積極思索，設(shè)法想出解決的辦法，從而防止和消除呆板和僵化，能夠幫助學(xué)生從那種就題論題的淺層次做題中跳出來(lái)，從表象到本質(zhì)、從特殊到一般、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、從正面到反面等多層次、多角度地研究問題，將數(shù)學(xué)問題的探究引向縱深。

案例3：以人教版八年級(jí)下冊(cè)133頁(yè)15題為原型進(jìn)行下列變式。

如圖4，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)。∠AMN=90°，且MN交正方形外角∠DCP的平分線CN于點(diǎn)N，求證：AM=MN。

變式1：如果把“點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)M是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AM=MN”成立嗎？如果成立，寫出證明過程；如果不成立，請(qǐng)說明理由。

變式2：如果把“點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)”改為”點(diǎn)M是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AM=MN”成立嗎？如果成立，寫出證明過程；如果不成立，請(qǐng)說明理由。

變式3：如圖5，若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”，N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)∠AMN=60°時(shí)，結(jié)論AM=MN是否還成立？請(qǐng)說明理由。

變式4：若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正邊形ABCD……X”，請(qǐng)你作出猜想：當(dāng)∠AMN=-----°時(shí)，結(jié)論AM=MN仍然成立。（直接寫出答案，不需要證明）

變式5：如圖6，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，頂點(diǎn)B在坐標(biāo)原點(diǎn)處，點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)M是射線OC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），BM=t（），∠AMN= 90°，且MN交正方形外角∠DCP的平分線CN于點(diǎn)N。

（1）在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得四邊形DQMN是平行四邊形？若存在，用t表示點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形DQMN是菱形？

此組練習(xí)，雖是老圖，但蘊(yùn)含新意；雖是陳題，但體現(xiàn)新知。讓學(xué)生有一種似曾相識(shí)的感覺，提高了學(xué)生的解題興趣，同時(shí)也激發(fā)了學(xué)生思考的熱情，對(duì)學(xué)生能力的考察也起到了比較顯著的作用。變式1～2是將E點(diǎn)的位置由特殊到一般，變式3和4是將正方形變?yōu)檎切巍⒄齨邊形，通過變式1～4的訓(xùn)練充分培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，挖掘?qū)W生思維的深度、廣度，培養(yǎng)了學(xué)生思維的發(fā)散性，讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的過程。變式5將靜態(tài)的變?yōu)閯?dòng)態(tài)，促使學(xué)生從多角度的研究問題，激活學(xué)生思維，提高課堂教學(xué)有效性。

4 多題歸一

選擇典型問題，總結(jié)解題規(guī)律。許多復(fù)習(xí)題是從同一道題中演變過來(lái)的，其思維方式和所運(yùn)用的知識(shí)完全相同。如果不掌握它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，就題論題，那么遇上形式稍為變化的題，便束手無(wú)策。為了減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，對(duì)具有可變性的例、習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，使學(xué)生從多方面感知數(shù)學(xué)的方法、提高學(xué)生綜合分析問題、解決問題的能力。

（1）如圖7，要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向A，B兩村送水，水泵站應(yīng)修建在河邊的什么位置，可使所用水管最短？

（2）如圖8，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小。

（3）如圖9，已知⊙O的直徑CD為4，弧AD的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是弧AD的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值。

（4）如圖10，已知一拋物線經(jīng)過A（0，2）、B（1，0）、C（5，0），問：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAB的周長(zhǎng)最短，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

通過以上這組題的訓(xùn)練，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)：等邊三角形、圓、拋物線都是軸對(duì)稱圖形，解決最短路徑問題的關(guān)鍵在于利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”。通過這組“多題一解”變式訓(xùn)練，既可鞏固強(qiáng)化解題思想方法，又讓學(xué)生通過多題一解，抓住本質(zhì)，觸一通類，培養(yǎng)學(xué)生的變通能力，發(fā)展智力，激活思維，掌握解題規(guī)律，形成自己的經(jīng)驗(yàn)，收到舉一反三，少而勝多的效果，提高課堂的實(shí)效性。

總之，在復(fù)習(xí)過程中，教師要精心設(shè)計(jì)“教練題組”，揉和知識(shí)、解題技巧和數(shù)學(xué)方法，并注意縱向挖掘，橫向加強(qiáng)不同知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系；題目必須有一定的基礎(chǔ)性、綜合性、啟發(fā)性、代表性與典型性，應(yīng)盡可能精選一題多解、一題多變、多題歸一的典型習(xí)題，應(yīng)盡可能選擇“牽一發(fā)而動(dòng)全身”的題目。通過訓(xùn)練使學(xué)生掌握其中的通性通法，提高創(chuàng)新能力、優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)、開闊眼界、活躍思維，從而達(dá)到以少勝多，提高課堂效率的目的。

參考文獻(xiàn)

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