淺談初中數學的解題模式

摘要：解數學題的過程，其實就是利用數學解題理論解決問題的過程。本文結合數學解題教學實踐，對初中數學解題模式進行歸納總結，以此來提高數學解題效率，為廣大師生提供有益的借鑒。

關鍵詞：初中數學 數學思維 解題模式

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795(2012)03(c)-0000-00

解數學題的過程實質上是數學解題的思維過程。數學解題的思維過程本質上是數學解題模式的選擇和運用過程。在教學實踐中，為了使解題的方向更明確，思路更活躍，思維向更高層次發展，進一步提高解題成效，在學習中必須掌握一些解題模式。

所謂數學問題的解題模式是指探求數學問題的答案時所采取的途徑和方法。數學問題解題模式是在數學問題解題前確定的總體思路和途徑，是主體認識的思維決策和方法選擇，而方法是有層次的，解題模式是最高層次的解題方法，是對解題途徑的概括性的認識。數學問題解題模式在數學問題解題活動中，它能將數學感知、數學思維等心理活動提高到自律的程度，能自覺地指導學生的數學學習活動，使其思維活動更具有目的性、方向性和預見性。

筆者通過多年的解題教學實踐和總結，發現初中數學的解題模式不外乎以下三種：比照應用已知知識和題型、恰當分解整合題設和問題、恰當構造輔助元素。下面結合義務教育課程標準實驗教科書數學教材[人教版]及近年來的部分中考試題對它們一一加以探討：，

1 比照應用已知知識和題型

在解題前，充分觀察、聯想和回憶與原有問題相同或相似的知識和題型，比照應用相同或相似問題中的知識、方式、方法和結論，解決原題。

例1：解下列方程 ：

（1）196 2－1=0 （3） 2－7 －1=0

（5） 2－2 +1=25 （4）2 2﹢3 =3

【分析】利用比照應用已知知識和題型的解題模式，解一元二次方程，它有以下四種基本解法：

a、如果方程的一邊是關于 的完全平方式，另一邊是個非負的常數，則根據平方根的意義將形如 的方程轉化為兩個一次方程： ，進而得解 ，此為開平方法 。（1）適于用開平方法直接求解.

b、如果將方程通過配方恒等變形，一邊化為含未知數的完全平方式，另一邊為非負的常數，則其后的求解可由思路一完成，此為配方法 。（4）適于用配方法求解.

c、如果方程一邊為零，一邊能分解成兩個一次因式之積，就可以得到兩個因式分別為零的一次方程，它們的解都是原方程的解，此為因式分解法 。（5）適于用因式分解法求解.

d、如果以上三條思路受阻，便可把方程整理為一般形式，直接利用公式求解 。（3）適于用公式法求解.

例2.圓周角定理的證明

圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。

已知：在⊙O中，弧BC所對的圓周角是∠BAC，圓心角是∠BOC，求證：∠BAC= ∠BOC。

【分析】如圖一，圓周角∠BAC與圓心O的位置關系有三種：（1）圓心O在∠BAC的一條邊AB（或AC）上（如圖1）；（2）圓心O在∠BAC的內部（如圖2）；（3）圓心O在∠BAC的外部（如圖3）。

在第一種位置關系中，圓心角∠BOC恰為△AOC的外角，容易得證；在第二、三兩種位置關系中，利用比照應用已知知識和題型的解題模式，均可作出過點A的直徑，將問題簡化為第一種情況而得證。

例3：觀察下面的變形規律： ＝1－ ； ＝ － ； ＝ － ；……求 ＋ ＋ ＋…＋

【分析】利用比照應用已知知識和題型的解題模式，通過觀察則有 ＝ ， ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＝1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ －

2 恰當分解整合題設和問題

有些問題，解題的主要困難，在于題設和問題（結論）的抽象概括，或題設和問題內在聯系不甚明顯。這時，可考慮能否改變題目的形式，把題設和問題作為一個有機整體，從整體入手，對整體結構進行全面、深刻的分析和改造，把題設或問題、題設和問題恰當分解整合為幾個比較簡單的組合部分，以便各個擊破，解出原題。

例4．解下列不等式組

【分析】解不等式組是求不等式組的解集，運用恰當分解整合題設和問題的解題模式，可先分別求出組成不等式組的各個不等式的解集，然后借助數軸或口訣求出所有解集的公共部分。

例5.當 是什么值時， 在實數范圍內有意義 .

【分析】運用恰當分解整合題設和問題的解題模式，二次根式的被開方數在實數范圍內必須是非負數，分式的分母不能為0，即2 -1≥0且 ≠0，故 ≥ 且 ≠ .

例6：已知平面上三個點A、B、C，過其中每兩點畫直線共可以畫______條.

【分析】運用恰當分解整合題設和問題的解題模式，過平面上三點畫直線有兩種情況：三點共線時，只能畫一條直線；三點不共線時，可畫三條直線。

例7：如圖，在數軸上的兩點M、N表示的數分別為a、b，則下列結論正確的是（ ）

（A） b-a＞0（B）a-b＞0（C）2a+b＞0（D）a+b＞0

【分析】運用恰當分解整合題設和問題的解題模式，本題可以在數軸上作出諸如 b，2a的長度，再利用線段的長短大小、加減和差來比較（A）（B）（C）（D）四個數量關系，判定其正確與否。

例8.圓周角定理的證明(另一種解題模式在例2的的應用)

【分析】運用恰當分解整合題設和問題的解題模式，可知，圓周角∠BAC與圓心O的位置關系有三種：（如圖一），在第一種位置關系中，圓心角∠BOC恰為△AOC的外角，容易得證；在第二、三兩種位置關系中，均可作出過點A的直徑，將問題簡化為第一種情況得證。

例9.已知 =3， =2，求 b -a的值 。

【分析】根據絕對值的定義，由 =3， =2，可知a=3或a=-3，b=2或b=-2，運用恰當分解整合題設和問題的解題模式，對于a、b的取值，應分四種情況：當a=3，b=2或a=3，b=-2或a=-3，b=2或a=-3，b=-2時，分別求出 b-a的值。

3 恰當構造輔助元素

有些問題，解題的主要困難，在于條件和結論（問題）難以直接聯系起來，這時，不妨嘗試一下，能否通過構造恰當的輔助元素，溝通條件與結論（或條件與問題）的內在聯系，使思維有相對具體的依托，有助于抽象內容形象化、具體化，復雜關系條理化、簡單化，把陌生題轉化為具體的熟悉題、簡單題。數學解題中，構造的輔助元素是多種多樣的，常見的有構造數學模型、構造圖形（點、線、面、體等）、構造算法、構造特殊值、構造多項式、構造方程（組）、構造坐標系、構造數列、構造等價性命題、構造反例等。

例11：已知線段AB，在BA的延長線上取一點C，使CA=3AB。則CB＝____AB，AC＝____CB.

【分析】這個題目的呈現方式是圖形式，而設問內容卻是一個數量問題。若學生不構造圖形（畫圖），則不易得到其數量關系，但學生只要把圖畫出，其數量關系就一目了然。

例12.圓周角定理的證明(另一種解題模式在例2中的應用)

【分析】圓周角∠BAC與圓心O的位置關系有三種：(如圖一)，在第一種位置關系中，圓心角∠BOC恰為△AOC的外角，容易得證；在第二、當構造輔助元素的解題模式，均可作出過點A的直徑，將問題簡化為第一種情況得證。

例13：已知線段AC：AB：BC=3：5：7，且AC+AB=16cm，則線段BC＝____cm.

【分析】欲求線段BC的長，已知線段AC、AB、BC的長度比例關系，且AC+AB=16cm，可（恰當構造輔助元素）想法構建AC、AB、BC的長（設線段比值的每一份的長度為 cm），則AC=3 ， AB=5 ，BC=7 ，AC+AB=16cm，3 +5 =16，解得 =2，則可求線段BC的長。

例14：現有一本故事書，姐妹倆商定通過摸球游戲定輸贏（贏的一方先看），游戲規則是：用4個完全相同的小球，分別表上1、2、3、4后放進一個布袋內，先由姐姐從布袋中任意摸出一個小球，記下小球的標號后放回并搖勻，再由妹妹任意摸出一個小球，若兩人摸出的小球標號之積為偶數，則姐姐贏，兩人摸出的小球標號之積為奇數，則妹妹贏.這個游戲規則對雙方公平嗎？請利用樹狀圖或列表法說明理由。

【分析】利用構造輔助元素（構造樹狀圖或圖表）的解題模式，直接給出可能出現的情形，形象、具體、直觀、簡單地解決問題。

由上述樹狀圖或表格知：所有可能出現的結果共有16種.

P（姐姐贏）= ， P（妹妹贏）= ，可知此游戲對雙方不公平，姐姐贏的可能性大.

例15.另解例7(另一種解題模式在例7中的應用)

【分析】本題首先引導學生根據a、b在數軸上的位置，得到a＜－1、0＜b＜1。然后利用構造輔助元素（構造特殊值）的解題模式，如a＝－2，b＝0.5 ，帶入求解，從而獲得答案。

例16：如圖，一架飛機在空中P處探測到某高山山頂D處的俯角為60°，此后飛機以300米/秒的速度沿平行于地面AB的方向勻速飛行，飛行10秒到山頂D的正上方C處，此時測得飛機距地平面的垂直高度為12千米，求這座山的高（精確到0.1千米）

【分析】此題通過構造輔助性元素——直角三角形Rt△PCD，

利用三角函數的知識求解。

總之，大量的解題實踐證明：比照應用已有知識和題型、恰當

分解整合題設和問題、恰當構造輔助元素這三種解題模式構成了初中

數學解題模式的三大“基石”，并且它們相互依托，相輔相成。

筆者不揣淺陋，初淺提出自己的觀點，更多實質性的論證，

有待廣大教師以及專家、學者的共同研究、商榷與探討。

參考文獻

[1] 義務教育課程標準實驗教科書《數學》，九年級上冊，人民教育出版社，2011，6:22，53，31-33，38-39，85

[2] 云南省紅河哈尼族彝族自治州2008年高中（中專）招生統一考試，數學試卷

[3] 義務教育課程標準實驗教科書《數學》，七年級下冊，人民教育出版社，2009，11:138.

[4] 云南省紅河哈尼族彝族自治州2006年高中（中專）招生統一考試，數學試卷