淺談數學建模思想與高職數學課堂教學的結合

摘 要:根據高職高等數學的教學特點，從四個方面分析了如何將數學建模思想與課堂教學相結合，從而提高學生的應用數學能力及對理論知識的有效掌握。

關鍵詞:高職 高等數學 課堂教學 數學建模

中圖分類號:G64文獻標識碼:A文章編號:1673-9795(2012)04(a)-0108-02

數學建模是把實際問題轉化為一個數學應用問題，通過建立數學等量關系，運用數學知識去求解、討論，從而解決問題的一系列過程。在此過程中，不僅可以激發學生學習數學的興趣，還可以提高學生分析問題、解決問題、進行創新的綜合素質。因此，數學建模的教學可以有效地提高數學課程的教學效果，并且符合高職教育對“高素質技能型人才”的培養目標。但是，由于各種條件的限制，很多高職院校不可能直接開設數學建模課程。在這種情況下，若能結合教材，課堂上適時地將數學建模思想與高等數學的教學有機結合，便可讓學生對數學建模的思想和方法有一個初步了解，并且加深對有關數學內容和方法的理解，提高學生的學習積極性，改善高職數學課堂乏味枯燥、氣氛沉悶的現狀。

1 通過簡單數學模型強化概念的應用意識，加深學生對基本概念的理解

高等數學中有些重要的基本概念是比較抽象的，在教學中除了可以通過先講這些概念的來龍去脈、自然而然地引出外，還應該通過一些與實際生活有關的簡單案例去詮釋概念的內涵實質，讓學生深層次地理解概念。

例如，很多學生學完導數的概念之后，認為導數就是曲線的切線斜率，其實這僅是導數的幾何意義。這很可能是由于學生在高中時就接觸了這個概念，但對概念并沒有真正理解，為了應付高考形成了這種狹隘、膚淺的理解，而且“先入為主”的思想不容易改變。這時，就可以結合案例讓學生用導數去表示一些實際量。像物理中的角速度、線密度、電流強度等物理量，其他領域中的很多變化率，如人口的生長率和死亡率、放射性物質的衰變率、企業財富的增長率等都可讓學生自己試著用導數表示出來。還可以讓學生去解釋一些生活問題中導數所表示的具體含義。如，將蛋糕放進烤箱里，溫度由函數給出，其中從蛋糕放進烤箱開始計時，請學生解釋表示的實際意義是什么。通過這些簡單的數學模型，學生可從不同學科領域和實際生活中體會到導數的實質—— 表示某個變量的“變化率”，從而改變原來對導數概念的片面理解，充分理解概念。再如，定積分的概念給出后，變力沿直線段所作的功W就可表示成;細菌以的速度增長，在一小時內細菌的總增長數M表示成。概念與應用相結合，突出應用價值，讓學生體會數學概念的實際意義與應用價值。

2 通過數學建模體會數學中的思想方法和重要定理內涵

在高職數學教學中，應淡化嚴格的數學論證，強化幾何說明，重視直觀、形象的理解。可通過滲透數學建模的思想與方法，把學生從繁瑣的數學推導和不具一般性的數學技巧中解脫出來，而更好地掌握、理解重要數學思想和定理的內容。

像“微元法”是高等數學中最基本、最重要、最有實用價值的思想與方法之一，是高等數學得以廣泛應用的基礎，也是應用微積分描述實際問題，構成數學模型的基礎。因此，要將它貫穿于課程教學的全過程。通過結合幾何學、物理學、經濟學、生命科學及軍事科學的大量實例，加深學生對高等數學的歷史與現實背景的理解，增強應用數學去理解、描述實際問題的能力。

而高等數學的定理中，介質定理和拉格朗日中值定理是兩個重要定理，要求學生理解定理的條件，并能夠通過驗證條件得到函數滿足一定的結論。對于這些重要定理除了要利用幾何直觀解釋定理內容，還要讓學生充分理解定理條件和結論之間的關系。對此，可設計一些簡單的實際問題讓學生通過分析問題進行體會。如，小明爬泰山觀日出，早上8時從山下賓館沿一條路徑上山，下午5時到達山頂并留宿于山頂一賓館。次日觀日出后，于早上8時沿同一天路徑下山，下午5時回到山下賓館。這時小明必在兩天內的同一時刻經過某一點。這個問題就可引導學生建立一個模型，模型中的假設需要滿足介質定理的條件，根據定理的結論恰好又解釋了實際問題。

3 為教材上的傳統例題設置實際情景，培養數學建模的初步能力

教材上的某些例題比較經典，但其結合的實際問題對現代的高職學生來講可能沒有新意、不適用，這時不妨先對題目進行適當改編，為其創設學生感興趣的或應用性較強的背景，然后對這些題目進行建模“示范”，從而培養學生的初步建模能力，同時也鞏固了所學的數學知識。

例如，在最值的應用一節，很多教材有類似這樣的例題:欲制造一個容積為V的圓柱形容器，為使所用材料最省，容器的底半徑和高的尺寸應是多少？可以給這個例題加上具體的背景，結合CUMCM-2006的C題，進行建模。

(1)問題的提出:日常生活中，我們注意到一般易拉罐飲料(如:可口可樂、啤酒)的包裝的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。這應該不是偶然，而是某種意義下的最優設計。當然，對于單個的易拉罐來說，這種最優設計可以節省的錢可能是很有限的，但是如果是生產幾億，甚至幾十億個易拉罐的話，可以節約的錢就很可觀了。現在請研究易拉罐的形狀和尺寸進行最優設計。

(2)模型的假設:假設易拉罐是正圓柱體，其高為h，底面半徑為r，體積為V，所用材料的表面積為S。

(3)模型的建立:由圓柱的體積公式及表面積計算公式 ，可得易拉罐表面與底面圓半徑r的目標函數。

(4)模型的求解:求出目標函數的駐點，這就是使得用料最少的易拉罐底面圓的半徑，對應的高為

。

(5)模型的解釋:結果說明易拉罐設計為等邊柱體時用料最少，這顯然和日常生活中我們常見的易拉罐的形狀不相符，為什么結果和實際有差別？注意到現實中易拉罐的頂蓋厚度和側面及底的厚度是不同的、形狀也不是正圓柱體;從制造商的制作工藝方面，如罐的底和頂需用邊長為2r的正方形材料進行切割、為了焊接切割下的圓比罐的底和頂的實際尺寸要大，這樣在制造易拉罐時會耗用更多的材料。

結合這些問題對假設進行修改再引導學生重新建模、求解。在這樣的一個建模過程中，可使學生們較容易掌握數學知識，也使他們體會到了應用數學、建立模型并不難，但解決實際問題還應該多觀察、多分析，增強了學數學、用數學的信心。

4 結合專業題材，建立簡單模型，為學生的后續專業學習打下基礎

高等數學課的性質就是一門“基礎課”，是專業課學習的一門“工具性”學科，為專業課服務、為學生的后續專業學習打好基礎，是高等數學教學的一項基本教學任務。其實，在一些專業教材中的問題很多都是現實中存在又必須解決的問題，問題本身就是進行建模訓練的好素材。但這些問題常常是專業課將其歸為數學問題不做深入分析，而數學課上不涉及專業內容也不講解，最終導致學生對這些問題似懂非懂、一知半解，對數學課也形成了“脫離專業、獨立存在、學了沒用”的看法。因此，在高等數學的教學中，應根據不同專業課選取不同的典型問題，進行細致講解。

例如，在講授函數的最值時，針對于經濟學專業的學生可選取最小投入、最大收益等典型例題;講授定積分的應用時，對機電專業的學生可以講解如何求交流電的電壓平均值及有效值問題;講授微分方程時，對于計算機專業的學生可穿插RC電路的方程建模和求解;講授二重積分時，對建筑專業的學生應講清具有某些幾何形狀的物體的質心及轉動慣量問題。對這些專業問題通過建模、求解，強化了學生的數學思維及數學應用意識，同時讓學生感受到了“學以致用”，激發了學習興趣、提升了學生的專業能力。

將數學建模思想與高等數學課堂教學有機地結合可以激發學生學好數學的決心，提高他們應用數學解決實際問題的能力。但應注意高等數學課畢竟不是數學建模課，沒有必要時時處處都插入數學模型，也不能使數學知識的學習被建立數學模型而沖淡，我們只是通過適時滲透數學建模思想強化學生的數學理論知識的應用意識，激發學生學習高等數學的積極性和主動性。因此，在根據教材選擇案例時應注意突出授課內容的應用性，背景應是學生感興趣的實際生活或熱點問題。這樣的課堂教學，既有助于學生理解教學內容，又可以使學生通過對實際問題的抽象、歸納、思考，用數學知識予以解決實際問題。當然，為了達到好的教學效果，作為教師需要廣泛搜集、整理案例素材，深入考慮案例與教材和課堂教學結合的切入點，真正讓學生感受到數學的用途和魅力。

參考文獻

[1]姜啟源.數學實驗與數學建模[J].數學的實踐與認識，2001(5).

[2]李大潛.將數學建模思想融入數學類主干課程[J].工程數學學報，2005(8).

[3]段勇.淺談數學建模思想在大學數學教學中的應用[J].中國大學數學，2007(10).