多元函數可微的充分必要條件

摘 要:以二元函數可微的必要條件、充分條件和充要條件來闡述多元函數在點處可微與偏導數的關系。

關鍵詞:多元函數 偏導數 可微 充分必要條件

中圖分類號:O172文獻標識碼:A文章編號:1673-9795(2012)04(a)-0113-02

一元函數可微與可導是等價的，且。那么多元函數在某一點處可微與它在該點處的偏導數具有怎樣關系呢？，本文以二元函數來簡述這個問題，即二元函數在點處可微與它在該點處的偏導數之間的關系。

1 可微的必要條件

定理1:如果函數在點處可微，則在該點處函數的兩個偏導數一定存在，且有:

。

證明:由假設函數在點處可微，可知存在兩個與無關的常數A、B，使函數的改變量可表示為:

其中

即

令，這時，于是

上式兩邊同時除以，再取當的極限得，

同理可得

即

所以

例1:討論函數在原點存在兩個偏導數，但是函數在原點不可微。

解:函數在原點處偏導數存在，即:

但是，它在原點不可微，事實上，反之，如果它在原點可微，則必有:

特別地，取，有:

于是

即不是高階無窮小(當時)，這與可微的定義矛盾，于是，函數在原點不可微。

2 可微的充分條件

定理2:如果函數的偏導數在點的某個鄰域內連續，則函數在點處可微。

證明:由假設，函數的偏導數在點的某個鄰域內存在，設點為該鄰域內任一點，得:

在第一括號內的表達式，由于不變，因而可以看作是的一元函數的增量，應用拉格朗日中值定理，得:

又依假設，在點處連續，得:

即

于是

(1)

為的函數，而且，當時，有。

同理可證，第二個括號

(2)

為的函數，而且，當時，有。

由(1)(2)兩式可知，在連續下，有

(3)

又因為

≤≤

而且隨著

令，于是(3)式也可表示為

其中是當時的無窮小。

故函數在點處可微。

例2:討論函數

在點處可微，但是它的偏導數在該點處不連續。

解:因為

同理

但是，當時，直接由函數的表達式可得

令，得:

不存在，同樣可知也不存在。由此可知函數在點的兩個偏導數存在，但不連續。另一方面，由于:

故函數在點處是可微的。

3 充分必要條件

定理3:設函數在點的某個鄰域U內有定義，則函數在點可微的充分必要條件是點的兩個偏導數都存在，且:

其中

證明:必要性，因為函數在點可微，所以存在和，且:

其中當。

由函數在點可微性的假設，得:

又

故

充分性因為和存在，且

又由于:

其中當，故有

由二元函數在一點可微的定義可知，函數在點可微。

定理4:設函數在點的某個鄰域U內有定義，則函數在點可微的充分必要條件是:函數在點沿任一方向的方向導數存在，且:

其中分別為平面向量與軸的正方向夾角，是關于方向一致收斂。

證明:必要性，設為上任一點，得有:

(1)

由假設函數在點可微。則有

(2)

其中，(2)式兩端同除以，并把(1)式代入得:

從而有:

充分性，因為函數在點沿任一方向的方向導數關于方向一致收斂的，即對當，且時，有:

得

即

又因為，當時，是的高階無窮小，所以函數在點可微。

參考文獻

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