博弈論中的數學思想與應用

1 應用數學的概念及分類

應用數學包含兩個詞:“應用”和“數學”。大體而言也就包括兩個部分，一部分就是與應用有關的數學，這是傳統數學的一支，我們可稱之為“可應用的數學”。另外一部分是數學的應用，即以數學為工具，探討解決科學、工程學和社會學方面的問題，這是超越傳統數學的范圍。正是因為這兩部分的完美結合，才使得應用數學在學習領域有著很高的地位與價值。應用數學包括運籌學、向量分析、矩陣、傅里葉變換、控制理論、數值方法、微分方程、概率與數理統計、組合數學、信息論等許多數學分支，也包括從各種應用領域中提出的數學問題。正是因為應用數學在諸多領域的應用，才使得眾多學者通過數學推演得到了一套完美的博弈論，在當今社會，博弈已成為數學的一大應用方向，也為數學的發展做出了巨大的貢獻。

2 博弈論的基本數學思想

數學思想是現實世界的空間形式和數量關系在人們意識之中的反映和經過思維活動產生的結果。而博弈是數學領域與經濟領域的完美結合，它既含有傳統數學思想的精華也含有現代數學思想的基本特征，是一門思維嚴謹的學科。博弈論中所用的數學工具主要是線性代數、概率論、實分析、微積分、微分方程、拓撲學、測度論、統計學和公理集合論等，而無論是微積分，還是拓撲學抑或集合論，在實際研究中都存在著一個共同的局限，即它們只在均衡分析中充分的發揮作用。博弈論學者就是通過進行高度規模化的推算，來處理一個數據模型，從而得到數學上的均衡分析，進而使經濟學得以超越均衡與競爭，可以對更為現實的非均衡過程和獨據一隅的經濟現象進行描述。博弈論自創立之日便與經濟領域密不可分，這是它區別于其他數學工具的一大特色。數學可以說是一種經濟分析的語言。可以通過其神奇的變換指導經濟領域的發展，一些經濟理論，如內生增長論和最優增長論等，不用數學語言，就無法加以詳細的表述，更談不上研究了。因此可以說，博弈與數學密不可分。

3 博弈基本原則的數學思想體現

3.1 孔多賽原則的數學基礎

博弈論中有很多經典案例，如囚徒困境、零和博弈、最大最小解、性別大戰、膽小鬼博弈、鷹鴿博弈、國際聯盟、政治博弈中的“拆臺者”、股票投資建議等。這些經典案例中無一不應用了數學之中嚴謹的推論。下面以孔多賽原則和博爾達原則為例簡單探討一下博弈論中數學思想的應用。

孔多賽原則是指對備選方案進行成對的比較，先兩個方案的表決，獲得參與者過半數贊成票的方案再同余下的方案進行成對比較，依次表決直至得出最終的結果。是一種由大多數決定的方法。而博爾達計數是按投票者的偏好順序，數個方案中的每一個逐一打分，分值從1～N，分數最高為N，最少為1，然后把每一個方案的所有得分求和，得分最高的方案通過。這種方法也被稱之為“偏好次序表決法”，以上兩者都是博弈論中的基本原則，都是一種多數規則變異形式，這種變異形式還包括:贊成投票制、淘汰投票制、正負表決法。孔多賽還幫助證明了大多數人永遠是正確的，且它的證明是通過數學理論推演出來嚴謹的結論，更能令人信服[1]。

3.2 統計論在博弈中的簡單應用

博弈論是涉及“變量相互關系”這樣一個可歸結為數學范疇的問題。例如數學分析中的極值問題，經濟規劃中一定約束條件下的目標函數的極值問題，以及如何用最低成本獲得最大地滿足問題均是由數學理論支撐起的博弈綜合。其中數理統計在博弈論中的應用較為廣泛，包括假設檢驗、抽樣計數、方差分析、相關性或非線性分析等內容。抽樣檢驗主要是通過對部分樣品的調查來推斷樣品總體的情況，應該抽樣多少，是至關重要的問題，因此產生了“小樣理論”，這是在抽取很少的樣品的情況下，進行分析判斷的理論，有助于在實際生活中節約投入的成本和人力[2]。還有些問題需要根據積累的經驗數據來做出理論分布曲線，從而使整個問題得到解決，這些理論都是博弈論中納什均衡解的一種數學基礎。

3.3 積分學和拓撲學在博弈中的應用

同統計一樣重要的理論還有微積分，其基本理論表明了微分和積分的可逆性。這也就為博弈論中的最優戰略的求解提供了參考依據，使得博弈的結果被公認為是理論上的勝利。原則上，博弈論以及與其相關的微觀經濟學，在觀念上是以博弈者的理性行為為假設的[3]。如果理性觀念下得到的博弈解是合理的，那么它應該在某些特定的環境里以某種形式成立，即能夠通過一定的穩健性檢驗。穩健性檢驗實際上是一種元理論考察，是導致較低層次理論上的復雜事物可以由更高層次的簡單規則所描述，用數學中的拓撲論來解釋就是:一個理論(如解概念)，在兩組事物間建立起的一個映射(或對應)關系。我們所使用的作為這兩組事物的構件的開集程度反映了我們自身的局限性，在同一開集內的事物如果超出了我們對細節的把握能力，那我們往往希望這個關系能夠連續，而不是只因為很細微的失誤導致不可挽回的損失。顯而易見的是，足夠粗糙的拓撲可以用來很好的刻畫值域，幾乎總能使非連續的函數通過某種方式轉變為連續的。所以，不同的拓撲反映了不同的穩健性檢驗結果，使得看上去幾乎有無限多種可能的數學模式，在對于意義不同的每一方面都有其特定的涵義，有時甚至是相似的，即什么樣的兩個博弈局勢可以看作是近似的，也就給人一個相對確定的博弈結局。拓撲論的這一應用極大的豐富了博弈論在現實生活中所發揮的作用，是數學在人類進步史上的一次重大飛躍。

4 結語

數學之所以備受世人關注，不僅是因為它的很多理論有助于解決運算問題或是研究一個圖形或者一個多面體，而是在于它嚴謹的科學態度，以及其在生活中的廣泛應用。就像博弈并不是生活中的目的，而人們真正需要的是用博弈的結果來指導實踐一樣。數學是我們通過不斷的應用與總結得到的最佳的思維方式，博弈只是眾多方式中的一種，我們所需要做的是多多總結經驗，發現更多的規律，以提升數學的實用價值。讓數學在未來人們生產生活實踐中發揮更強有力的作用。

參考文獻

[1] 宿春君.博弈論的詭計[M].華夏出版社出版，2011，10:65～69.

[2] (英)約翰·梅納德·史密斯[著]，潘香陽[譯].演化與博弈論—— 西方經濟社會名著譯叢[M].復旦大學出版社，2008，10:87.

[3] 張從軍.經濟應用模型(高等學校經濟數學應用教程)—— 博學·經濟數學系列[M].復旦大學出版，2008，10:120.