向量在數學中的應用

摘 要：向量及其應用是課程改革新增的內容，用向量的觀點研究教材知識結構，運用向量問題的意識已經成為一種趨勢。本文通過敘述向量問題的平面幾何，立體幾何，解析幾何和代數問題的廣泛運用，來說明向量在中學數學中的重要地位。

關鍵詞：向量；數形結合；平面幾何；立體幾何；解析幾何；代數

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002—7661（2012）20—226—01

向量作為數學的一種工具，在中學數學中的作用，越來越被人們重視。不僅在解題中，向量法有著獨特的魅力，而且在命題中，向量可以與函數，解析幾何。立體幾何，復數等知識結合來命題，能夠更全面地考察學生的能力。特別是向量與解析幾何，兩者都是代數形式和幾何形式的統一體，有著異曲同工之妙，向量即能體現“形”的直觀位置特征，又具有“數”的良好運算性質，是數形結合與轉換的橋梁和紐帶。而解析幾何也具有數形結合與轉換的特征，所以在向量與解析幾何知識的交匯處設計試題，已經逐漸成為高考命題的一個新的亮點。向量具有幾何和代數雙重身份，通過向量對傳統問題的分析，可以幫助我們更好地建立代數與幾何的關系，使用向量更加快捷直觀的解決一些不同的數學問題。

一、向量在平面幾何中的作用

由于向量的線性運算和數量積具有鮮明的幾何背景，平面圖形的許多性質，如平移，全等，相似，長度，夾角等都可以有向量的線性運算及數量積來表示出來，因此可以用向量方法解決平面幾何中的一些問題。

向量作為一種數學工具，在解三角形中，不僅能很快推導出三角形的正弦、余弦定理，而且在判定三角形的形狀、點與三角形的位置關系等方面都有十分重要的作用。

1、掌握向量與三角函數綜合題目的解題思路與方法；

2、體會向量作為工具來解決與三角函數有關的問題。

二、向量在立體幾何中的應用

空間向量是平面向量的推廣，是對空間幾何提出了一種代數化研究思想，即把空間圖形的性質代數化，運用代數的運算推理來研究幾何，用向量解答立體幾何問題，只需通過規范的運算即可解決，為立體幾何求解開辟了一條新的途徑。

解決立體幾何問題“平移是手段，垂直是關鍵”，空間向量的方法是使用向量的代數方法去解決立體幾何問題。兩向量共線易解決平行，兩向量的數量積則易解決垂直、兩向量所成的角、線段的長度問題。合理地運用向量解決立體幾何問題，使立體幾何問題變得思路順暢、運算簡單。

1、證平行、證垂直 利用共線向量定理證明向量平行，再證線線、線面平行是證明平行問題的常用手段，共面向量基本定理先證直線方向向量與平面內不共線的兩向量共面，再證方向向量上存在一點不屬于平面，從而得到線面平行。

2、求角、求距離 求二面角，轉化為兩平面法向量的夾角或夾角的補角，顯見上述求法都避開了找角的繁瑣，直接計算就可以了。

3、求點面距離，轉化為此點與面內一點連線對應向量在法向量上投影的絕對值 空間向量在立體幾何中的應用體現了數形結合的思想，培養了學生使用向量代數方法解決立體幾何問題的能力。目的是將空間元素的位置關系轉化為數量關系，將形式邏輯證明轉化為數值計算，用數的規范性代替形的直觀性、可操作性強，解決問題的方法具有普遍性，大大降低了立體幾何對空間想象能力要求的難度。

三、向量在解析幾何中的應用

解析幾何與向量是高中數學新課程中兩個重要的分支學科，數形結合是這兩個學科的重要特點。由于向量既能體現“形”的直觀的位置特征，又能具有良好運算性質。

通過對向量的和差運算與線段中點及平行四邊形的結合，向量的數乘運算與定比分點及與平行共線的結合，向量的數量積與垂直的結合，向量的數量積與兩直線夾角的結合，向量的數量積與夾角的結合的討論，得到用向量方法解決解析幾何問題，可以是復雜問題簡潔化，從而優化解題過程。有利于了解向量既能反映現實世界的數量關系，又能體現幾何圖形的位置關系，具有數形結合和幾何形式的“雙重性”能將數和形有機結合起來，解決數學幾何問題。

1、運用向量共線的充要條件解決有關平行、共線等問題

此類問題經常出現在選擇題與填空題中，順利解決這類問題必須充分理解平面向量的相關概念，并熟練掌握向量的坐標運算，共線的充要條件向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使得b=λa（a≠0）。

2、運用向量的數量積處理有關長度、角度、垂直、取值范圍等問題 運用向量的數量積，可把有關的長度、角度、垂直等幾何關系轉化為數量關系，從而“計算”出所求結果。

四、向量在代數中的應用

1、等式證明 證明等式一般說來都要進行繁雜的運算，如果等式具有向量代數某些特征時，應用向量知識較為簡單。

2、不等式證明 證明不等式主要依據有關向量的不等式

3、求解無理函數的最值 求無理函數最值問題，按常規方法求解有一定難度，若能用向量知識解答將會變得容易多。

總之，向量作為現代數學的重要基礎進入高中數學知識體系后，不僅立即成為支撐數學學科的知識體系的重要知識，也是學習和解決許多重要的數學問題的強有力的工具。在學習中，要準確地理解向量的概念，熟練掌握向量的運動性質，加強向量和其他數學知識的聯系和整合。仔細體會用向量知識解決數學問題的方法，切實把向量知識有機地納入到自己的數學知識體系中，這樣，才能提高解決數學問題的能力。

參考文獻

[1] 張中誼 平面向量與解析幾何交匯的主要題型《數理化學習（高中版）》，2010.5