探究中學習新知，感悟中領略真諦

為了提升教師的課堂教學水平，增強教師的新課程理念，反思課堂教學的有效性，某中學在全體教師中開展“上好課、評好課”活動。“運用基本不等式求最值”是人教版必修五“基本不等式”中的一節內容。這節內容難度較大，探究性強，所滲透的思想方法較多，如何在教師的引導下，讓學生通過探究與嘗試，經歷與體驗，在自主探索中對數學知識的認知建構，該校W老師在開設的這節公開課中做了富有成效地嘗試。

數學教學從本質上說是，是教師和學生以課堂為主渠道的交往活動，是教師和學生在特殊氛圍中的自主探究活動。W老師本著“讓學生充分感悟知識的形成和發展，探究知識的應用，體驗成功的喜悅”的教學理念，為學生智慧的生長而教，為學生能力的生長而教，使學生能在探究中“轉知為智，化識為慧”。

一、提供時空，讓學生在探究中尋求新知

教材知識的呈現方式是單一的、靜態的，但學生獲取知識的方式是多樣的，教師摒棄“教教材”的做法，而是樹立“用教材”的理念，為學生提供時空，在課堂上盡力營造各種氛圍，創設各種情境，將教材中靜態的知識還原給學生一個動態的生成過程。這節課的課前準備做得非常充分，由于是“基本不等式”第三課時的內容，教學目標是讓學生體如何在數學問題中使用基本不等式，所教班級學生的成績較好（是該年級的實驗班），思維較活躍，為此，教師圍繞如何“配湊”、進行“常值代換”、“構造不等式”作不等量代換三個主題，作了精心設置：

（播放課件）探究一：

【例1】a，b是正數且a+b=4，求ab的最值。

師：看是否滿足基本不等式成立的條件？

生e：滿足，即為“一正，二定，三相等”。

師：你能求出ab的最大值嗎？

生f：根據 得，ab≤4，即ab的最大值是4，當且僅當a=b=2時取“=”。

師：回答得很好。請看下面的變式：（播放課件）

變式1：a，b是正數且2a+b=4，求ab的最值。

生g：

=2，當且僅當2a=b=2時取等號。

師：很好，請大家看變式二：（播放課件）

變式：a，b是正數且2a+3b=4，求ab的最值和此時a，b的值

生h：

=2，即的最大值是 ，當且僅當2a= 3b時，即a=1，b= 時取最大值。

師：回答得相當好。利用基本不等式求最值時，很多時候需要配湊，方可利用已知條件。

（播放課件）探究二

【例2】已知a，b∈R+，a+b=1，y= ，求y的最小值。

師：如何利用已知條件？

生i：由 得， ，即 ，而 ，當且僅當 時取等號，即a+b 的最小值為4。

生j：

當且僅當 時取等號。

師：兩位同學都完成的很出色。若換成下面的變式，又該如何處理呢？

變式：已知a，b∈R+， ，求a+2b的最小值。

生：因 ，由已知得：

所以

師：請大家分析一下他的做法，是否合理？你有沒有其他解法？

生k：

師：請大家比較兩位同學的做法，誰的方法正確？

生l：第二位同學。

師：第一種方法為什么不對？

生m：第一種方法中兩次使用基本不等式時，取等號的條件不同。

師：很好。多次使用基本不等式時要考慮取等號的條件是否一致。

師生共同分析，生1的解法中不妥之處，強調多次使用基本不等式應注意“一正、二定、三相等”的條件。

（播放課件）探究三

【例3】若正數a，b滿足ab-（a+b）=1，求a+b的最小值。

師：能否從已知出發，構造出與（a+b）有關的不等式？

生n：根據 ，代入已知中得： ，通過解不等式即可求出（a+b）的最小值。

師：很好。

師生共同完成解答，再次強調考慮基本不等式成立的條件。（播放課件）

變式：若直角三角形周長為4+

求此三角形面積的最大值。

師：能否將已知條件轉化為數學語言？

生r：設兩條直角邊為a，b，則a+b+ = ，求 ab的最大值。

師：很好，接下來該如何解決這個問題呢？

生s：因為a>0，b>0，所以：

即

得 從而得此三角形面積的最大值是2。

師：很好。這位同學兩次使用基本不等式，考慮了不等號的方向和取等號的條件了嗎？

生t：在這兩個不等式中，取等號的條件都是“a=b=2”，故成立。

師：很好。

師生共同完成解答。解答過程中讓學生更加明確每一步的嚴密性。

讓學生進行探究，恰當借助多媒體教學手段，引導學生進行探究。在探究過程中，教師充當一名組織者，引導學生獲得探究方法，探究過程中，提示探究方向，引導著學生始終朝著有意義的方向去做，教師成為學生中的一員，與學生平等交流，和學生相互分享彼此的思考、見解和知識。教學過程中，教師的語言準確，教態親切自然，具有很強的親和力和感染力，探究的過程中，學生始終擁有被信任、被期待的感覺，學生的思維非常活躍，不時的被激起智慧的火花。如在“探究二”中，學生由“a+b=1”想到將要求的式子中的“1”換成“a+b”，然后再用基本不等求最值，多么富有創意的想法，這是學生的靈感和智慧的碰撞，是對數學學習的一種超越和創造。

二、注重實效，讓學生在多樣化的教學形式中體驗新知

有效的數學課堂是體現新課程理念的課堂，是體現學生發展的課堂。課堂教學是否有效，要看學生在此課堂中能否得到有效的發展。課堂教學沒有固定的模式，充分體現學生的主體地位，采用多樣化的教學形式，也是本堂課的一大特色。

縱觀課堂，共有以下幾中教學形態：

1.對話課堂形態

本節課是以師生平等關系為基礎，以學生自主探究為特征，以對話為手段進行教學的。在教師的引導下，通過教師與學生，學生與學生之間的相互啟發和討論，如在“探究二”的變式練習中，不同的想法提供了不同做法，當然有的做法是不正確的，但是教師都給大家提供機會展示，在大家的相互討論辨析中，將基本等式成立的條件，以及使用不等式應注意“一正、二定、三相等”，學生有了更深刻的體驗，比教師反復強調的效果要好得多，同時實現了學生個體對知識的自主建構和主體的全面發展。

2.活動課堂形態

本節課是以探究式的形式來促進學生的發展的。教師在學生探索的基礎上，適時的加以引導，例如一些問題的提出，就是在引導學生的探究方向，如在“探究三”的變式中，教師問“能否將已知條件轉化為數學語言”，其實就是一個提醒，學生很快進入探究的內容中，學生通過觀察、分析、歸納、猜想、驗證等數學活動之后，在經歷縝密的思考、超越的艱辛、刻苦的體驗之后，獲得的是成功的喜悅，是信心的積淀，是潛能的提升，是智慧的生成。

3.開放的課堂形態

本節課教學結構是開放的，教師不追求固定的教學結構，沒有墨守陳規的教學預設，而是根據需要靈活的安排教學程序，適時調整教學環節，提高教學實效。本節課的開放性體現在：教師改變了單一的講授，在多媒體輔助教學下，實現了多種教學方法的優化組合，促進了學生的自主學習、能動的構建。學生不再是單一的接受，而是在相互交流合作中探討更好的解題方法。課堂上有充分的時間留給學生思考，學生對在和師生交流、生生交流中獲得的知識將會有更深刻的體驗。

三、注重歸納，讓學生在數學思想方法的提煉中感悟新知

本節課中，教師注重對數學思想方法的總結和提煉，師生合作的過程中，在“探究一”中提煉出“配湊法”，“探究二”中提煉出“常值代換法”，“探究三”中提煉出“構造不等式法”或進行“不等量代換”，這些方法和思想，是學生在經歷知識形成、發展和應用中，自然形成并提煉出來的，是在課堂學習中，學生的智慧的閃光點。對于每一個“探究”“變式”的內容完成之后，學生都會自覺地進行歸納出不等式成立的條件，和使用基本不等式時的注意事項。雖然問題不同，情境不同，但在這些不同探究中都可得出共同結論即本節課的教學重點：在運用

中要注意“一正”、“二定”、“三相等”。在“引申思考”中，是這些方法的再現、鞏固和提升的過程。所有這些，雖在教師的預設之中，學生的探究是朝著教師預設的方向發展的，但教師的高明之處，在于讓學生感受到新知的獲得雖是“山雨欲來之勢”，卻又有“似曾相識之感”。對方法的掌握是水到渠成，對問題的解決是得心應手。學生在課堂學習中不停地探究、積極地體驗、自覺地感悟，整個課堂是學生的課堂，是師生合作的時空。

四、教學中的不足之處

教學中，本節課的教學目標是學生進一步理解基本不等式

的運用條件，掌握它的結構特點；會應用基本不等式求某些函數的最值；能夠運用基本不等式解決一些簡單的實際問題。所以對于每個探究或變式問題的解決，教師都有意識的引導學生從運用基本不等式的及角度出發，而在探究二中，學生提出用“b=1-a”進行代換，沒有被教師重視，其實若不用不等式知識，而是依照這位學生的做法，利用二次函數，亦可求出最值，這也不失為解決此問題的很好途徑，但卻被老師忽略了，若教師長期這樣，將不利于學生發散思維的培養。

另外，在探究一中，也許教師預設時是要求最大值的，但在課件中是求“最值”，解答過程中，學生只求出最大值，教師沒有發覺就過去了，這樣做是不合理的，“最值”包含“最大值”和“最小值”，若無最小值時，也要說明。

總之，本節教學設計的主體思想是以問題為中心，有效激發學生學習動機為落腳點；教學活動設計則努力突出學生的探究思維的訓練和探究情緒的延伸，關注學生的學習策略的培養。這節課是在教師適時的、恰當的引導下，學生通過自主探究、合作交流的方式完成學習任務的。學生在課堂中學會探究，有深刻體驗，真正實現從“學”數學知識到“悟”出其中真諦的轉化。

（作者單位：安徽省馬鞍山市紅星中學）