淺談轉化與化歸思想在解題中的應用

摘 要：轉化與化歸思想是高中數學教學中非常重要的思想之一，通過不斷的轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式化、簡單的問題.就函數與方程的轉化、正與反的轉化、常量與變量的轉化等展開了討論.

關鍵詞：轉化與化歸；應用；解題

轉化與化歸的思想是指在解決問題時，采用某種手段使之轉化，進而使問題得到解決的一種解題策略.數學問題的解答離不開轉化與化歸，它既是一種數學思想，又是一種數學能力，它的核心就是把生題轉化為熟題，也是高考重點考查的最重要的思想方法.在高中數學學習中，我們經常遇到化難為易、化生為熟、化繁為簡的題目，這就是轉化與化歸思想的體現.轉化是將數學命題由一種形式向另一種形式的轉換過程；化歸是把待解決的問題通過某種轉化過程歸結為一類已經解決或比較容易解決的問題.

在近幾年的高考中，轉化與化歸思想的考查所占比重都很大，特別是實施新課標之后，高考考題更是以基礎知識為出發點，轉化與化歸思想在解決問題中起到了更大的作用.常見的轉化策略有：函數與方程的轉化、正與反的轉化、常量與變量的轉化等.

一、函數與方程的轉化

例1.已知二次函數f（x）=ax2+2x-2a-1，其中x=2sinθ（0<θ≤■）.若二次方程f（x）=0恰有兩個不相等的實根x1和x2，求實數a的取值范圍.

【解析】由題意可知，二次方程ax2+2x-2a-1=0在區間[-1，2]上恰有兩個不相等的實根，由y=f（x）的圖象（如圖所示），得出等價不等式組：

■

解得實數a的取值范圍為[-3，-■].

二、正與反的轉化

例2.在由數字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復數字的四位數中，不能被5整除的數共有 個.

【解析】不能被5整除的數要分類討論，情況較多，這時我們不妨換一個角度，從反面入手考慮，用間接法.注意到不能被5整除實質上是末位數字不是0，也不是5，由此可知：

所有四位數有A15×A35=300個，

末位為0的有A35=60個，

末位為5的有A14×A24=48個，

∴滿足題意的數共有300-60-48=192個.

三、常量與變量的轉化

例3.設f（x）是定義在R上的單調增函數，若f（1-ax-x2）≤

f（2-a）對任意a∈[-1，1]恒成立，求x的取值范圍.

【解析】∵f（x）在R上是增函數，

∴由f（1-ax-x2）≤f（2-a）

可得1-ax-x2≤2-a，a∈[-1，1].

∴a（x-1）+x2+1≥0，對a∈[-1，1]恒成立.

令g（a）=（x-1）a+x2+1.

則當且僅當g（-1）=x2-x+2≥0，g（1）=x2+x≥0，解之，得x≥0或x≤-1.

故實數x的取值范圍為x≤-1或x≥0.

總之，轉化與化歸思想在數學中有著極其重要的作用，掌握轉化和化歸的思想方法，在運用時應注意用“變換”的方法來解決數學問題，依據問題本身提供的信息，去尋求有利于解決問題的變換途徑和方法，進行合理的選擇，會取得事半功倍的效果.

參考文獻：

[1]徐倩.在解題過程中關注命題轉化的等價性.數學教學，2012（7）.

[2]魏侹路.利用轉化思想解決平面向量問題.中學數學月刊，2012（8）.

（作者單位 河南省原陽縣第一高級中學）