例析二次函數(shù)最值問題的錯誤類型

摘 要： 二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，關(guān)于二次函數(shù)最值問題及其應(yīng)用也是中考常見題型.本文對這類題型常見的錯誤進行分析討論，對癥下藥，尋找解決策略.

關(guān)鍵詞： 二次函數(shù) 最值問題 常見錯誤

有關(guān)二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像是初三升中考試的必考知識點.數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中常會有這樣的經(jīng)歷，許多學(xué)生在解決二次函數(shù)最值問題時會反復(fù)出現(xiàn)相似的錯誤.面對這些常見錯誤，大家可能會用“粗心大意”或是“思維呆板”來解釋.但深入分析會發(fā)現(xiàn)，這些錯誤都存在著一定的根源.

課堂上通常會選擇大量的相關(guān)題型訓(xùn)練來達到鞏固知識方法的目的，但效果甚微.筆者認為，消除錯誤的關(guān)鍵是要幫學(xué)生剖析清楚錯誤的原因.再者，學(xué)生訓(xùn)練的題目不在于量多，而需教師精選典型題目，最好是在綜合應(yīng)用時選擇一兩道能集中反映各類問題的題目，通過對問題的解決讓學(xué)生有比較整體、綜合的認識，從而獲得相應(yīng)的方法技能.下面通過一個具體的例子對學(xué)生在解決二次函數(shù)最值問題時的常見錯誤進行探討.

例：若利用景區(qū)內(nèi)一堵長為24米的墻和一卷長120米的展布圍成矩形展覽區(qū)，怎樣設(shè)計可使展覽區(qū)的面積最大？

學(xué)生要著手解決這個問題倒不是難事.通常有以下幾種解題思路：

正確解答：根據(jù)圖2的設(shè)計，x+（x-24）<120，得x<72，所以x∈[24，72）.展覽區(qū)面積S=x·（72-x）=-（x-36）2+1296，當(dāng)x=36時取得最大面積為1296平方米.

按照圖1進行設(shè)計矩形展覽區(qū)是由思維定勢引起的，根據(jù)題意學(xué)生不自覺地限定與墻平行的一邊AB≤24米，因此有了錯誤一和錯誤二.而錯誤一的另一個典型錯誤就是由于學(xué)生在處理實際問題時常常忘記要結(jié)合實際對變量進行討論.圖2的設(shè)計則考慮到了其他可能的實際情況，通過計算發(fā)現(xiàn)圖2的設(shè)計能保證展覽區(qū)取得最大面積.此設(shè)計方案同時也說明了“在周長一定的矩形中，正方形的面積最大”這一結(jié)論.

數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活.新課程標(biāo)準特別強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，有關(guān)實際問題的數(shù)學(xué)題目也層出不窮，別有新意.然而，即使是學(xué)生對數(shù)學(xué)的概念和原理已熟練掌握，在處理實際問題時由于沒能結(jié)合具體情況進行討論仍然會出現(xiàn)各種各樣的錯誤.在實際教學(xué)中應(yīng)重視數(shù)學(xué)與實際的聯(lián)系和應(yīng)用，創(chuàng)設(shè)各種與現(xiàn)實生活相關(guān)的問題情境，在培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題能力的同時增強其對數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識.