時變不確定切換廣義系統的魯棒最優保性能控制

摘要：針對一類時變參數不確定切換廣義系統，對其魯棒最優保性能控制問題進行研究，假定其中的時變不確定性項是范數有界的，但不需要滿足匹配條件。通過構造廣義Lyapunov函數和線性矩陣不等式方法，給出系統魯棒最優保性能控制器存在的充分條件。進一步，建立一個具有線性矩陣不等式約束的凸優化問題，得到魯棒最優保性能控制律及閉環性能指標上界。最后用示例說明該方法的有效性。

關鍵詞：切換廣義系統；時變不確定性；魯棒最優保性能控制；線性矩陣不等式

中圖分類號：TP13文獻標識碼：A

1引言

混雜系統是很多實際系統的抽象，主要用于對復雜大系統的描述、分析及控制。切換系統是由一組子系統和描述它們之間聯系的切換規則組成。每個子系統對應著離散變量的一種取值，子系統之間的切換表示離散事件動態。切換系統是從控制科學的角度來研究混雜系統的一類重要模型，是目前混雜系統理論研究的一個國際前沿方向[1-10]。廣義系統是一類更一般化，有著較強應用背景的動力系統，它廣泛存在于許多實際的系統模型中，如電力電子系統、能源系統、航天工程、化學反應過程、經濟系統、社會系統和生物系統等。廣義系統是二十世紀七十年代Rosenbrock在研究復雜的電網絡系統中首次提出的[11]，進入八十年代后，廣義系統研究進入到一個蓬勃發展的階段，特別是關于廣義系統穩定性、能控性、能觀性、最優控制、輸出調節等問題的研究，取得了許多重要成果[12-17]。

在工程實際控制問題中往往存在很多不確定性。為了達到滿意的控制效果，不僅要使控制系統具有好的穩態性能，同時也要使控制系統的動態性能滿足一定的要求。不確定系統保性能控制的目的是對不確定系統設計一個控制器，使得其閉環系統不僅是穩定的，而且相應的性能指標不超過某個確定的上界[18-19]。由于廣義系統的切換問題普遍存在于供電網絡以及經濟系統中，故研究切換線性廣義系統的動態行為及控制器設計也具有非常重要的理論和實際意義。但由于切換廣義系統存在正則性、脈沖模去除、切換時刻狀態相容等問題，故它比正常狀態切換系統的研究要復雜。因此，最近，雖然在對切換廣義系統控制研究方面獲得了一些基本成果，但關于切換廣義系統的保性能控制方面的研究尚不多見[20-26]。文獻[23]對離散切換廣義系統的有限時間穩定性問題進行了研究。文獻[24]利用多Lyapunov 函數研究了一類帶有時滯的不確定切換廣義系統的穩定性問題，但結論中含有等式約束，不便于應用。文獻[25]利用Lyapunov穩定性理論研究了一類切換廣義系統的保性能控制問題。文獻[26]利用Lyapunov函數方法和凸組合技術，研究了一類切換時滯廣義系統的最優保成本控制問題。但文獻[25，26]都沒有考慮不確定性。

本文針對一類時變參數不確定切換廣義系統，利用Lyapunov穩定性理論和線性矩陣不等式方法，研究了其魯棒最優保性能控制問題。給出了系統魯棒最優保性能控制器存在的充分條件，并建立了一個具有線性矩陣不等式約束的凸優化問題，通過求解該凸優化問題得到了魯棒最優保性能控制律及閉環性能指標上界。

2問題描述

考慮由以下狀態方程描述的一類時變參數不確定切換廣義系統：

不等式（9）是關于變量ε、Wi和X的一個線性矩陣不等式，因此可以應用LMI工具箱中的求解器feasp來判斷該矩陣不等式的可行性問題，進而得到該線性矩陣不等式的可行解。式（10）用線性矩陣不等式（9）的可行解給出了保性能控制律的一個參數化表示。式（11）給出的系統性能指標上界依賴于線性矩陣不等式（10）的可行解和初始條件x10，不同的可行解導出性能指標上界，但系統的最小性能指標上界是刻畫系統性能的一個有意義的指標。

以下的定理3給出了閉環系統最小性能指標上界和魯棒最優保性能控制問題的解。

5結論

時變不確定性大量存在與實際控制問題中，并且往往是導致系統不穩定和性能下降的主要原因，因此對時變不確定切換廣義系統的研究具有一定的意義。本文利用Lyapunov函數方法和線性矩陣不等式技術，研究了一類時變不確定切換廣義系統的魯棒最優保性能控制問題，給出了最優保性能控制器存在的充分條件，通過求解一個凸優化問題得到了控制器的參數化表示。仿真示例說明了本文方法的有效性。