質疑式數學課堂教學研究案例試析

1 數學質疑式課堂教學研究的特征描述

所謂數學質疑式課堂教學，指的是教師在設計問題導案的基礎上，在引導學生進行自主課前預習、閱讀文本和數學探究活動中，由學生產生困惑或提出有價值的問題，通過小組內交流合作、班內質疑提升，師生共同解決疑惑，最終使學生體會成功的喜悅，并通過適當的練習加以鞏固的一種教學模式.

培養學生的質疑能力和創新精神是在初中數學學科中實施素質教育的重要內容之一.山東大學附中數學組依據新課程改革的理念，在探索學生自主合作學習并已取得良好效果的基礎上，由山東師范大學博士生導師傅海倫教授指導、校長趙勇、副校長陳立軍掛帥、全體組員共同參與，以初中數學課堂教學改革為突破口，以提高學生的問題意識和質疑能力和創新精神為目標，組成教學科研團隊.自2011年9月起，提出并實施了數學課堂質疑式教學研究課題，經過近兩年的深入研究，現階段已取得了良好的教學效果.

該研究通過“以學生為主體，以問題為主線，以質疑為特征”的數學課堂教學實踐自下而上形成課題，其最大特點是因強調質疑的重要性而注重質疑過程，并將質疑對象分為三個層面：

（1）對數學問題本身的質疑，包括：1）對問題的題設的質疑；2）對問題的結論的質疑；3）對問題的解法的質疑；4）對問題的產生、性質、拓展、應用等提出自己新的看法.

（2）對別人的觀點的質疑，包括：1）對同學觀點的質疑；2）對老師觀點的質疑；3）對各類學習材料中的觀點的質疑.

（3）對所學內容的某一知識點提出自己新的理解和看法：1）與前后知識間的聯系；2）與該知識點相關的猜想；3）經總結思考，試著舉一反三，舉三歸一.

山東大學附中數學組將數學質疑式課堂教學的特征可概括為：

（1）自主預習起疑：數學問題來自學生，是真問題；（2）小組內交流合作、班內釋疑再生疑，進行質疑提升；（3）師生思維碰撞解疑.所有問題的解決基于學生的元認知；教師因勢誘導，適時點評、總結，歸入系統.

數學質疑式課堂教學的主要流程是：以導案設計——自主預習——問題展示——合作交流——質疑提升——個性超市——反思梳理七個環節組成.在實施過程中，根據數學課的特點，將質疑又分為六個階段：預習質疑、組內交流質疑、班內交流質疑、練習質疑、課后復習質疑、課后自學質疑.質疑相應地主要體現為導案文本質疑、課上板書質疑、即時質疑等多種形式.

數學質疑式課堂教學研究案例主要由預習導案和課堂問案組成.其中預習導案主要體現：學習目標、預習導航（問題導入——知識技能——思維延伸——拓展應用）預習反思、個性超市、歸納梳理五個過程；課堂問案主要設問題預設—師生互動、課堂疑問——解疑釋惑三個過程.每一次的課堂問案表格由任課教師課下完成，從課堂教學研究的角度來說，這是本案例研究最精華的部分，它既是數學質疑式課堂教學的問題與質疑過程的再現，也是教師綜合素質特別是教學反思能力的集中體現.

2 案例及分析

§11從梯子的傾斜程度談起（第1課時）

（北師大版九年級下冊第一章直角三角形的邊角關系第一節）

一、預習導案

學習目標

1.經歷探索直角三角形中邊角關系的過程.理解正切的意義和與現實生活的聯系.

2.能夠用tanA表示直角三角形中兩直角邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，并能夠用正切進行簡單的計算.

預習導航

（一）問題導入

1.如圖1—4，AB、EF表示梯子，AC、ED表示支撐梯子的物體，BC、FD在地面上.你能比較兩個梯子AB和EF哪個更陡嗎？你有哪幾種判斷方法？

圖1 圖2

圖3 圖4

圖5

2.如圖5，小明想通過測量B1C1及AC1，算出它們的比，來說明梯子AB1的傾斜程度；而小亮則認為，通過測量B2C2及AC2，算出它們的比，也能說明梯子AB1的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎？

（1）B1C1AC1和B2C2AC2有什么關系？

（2）如果改變B2在梯子上的位置呢？（1）中關系是否還成立？

（3）若∠A的大小改變，B1C1AC1怎樣變化？（1）中關系是否還成立？

由此你能得到什么結論？

（二）知識技能

圖6 圖7

在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么銳角A 的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA= .

明辨是非：

（1）如圖6，tanB=ACBC（ ）

（2）如圖7，tanB=BCAC（ ）

圖8 圖9

例1：（1）填空：如圖8，①tanA=（ ）（ ）=（ ）（ ）=（ ）（ ）.

②tan =tan =BDCD.

圖10

（2）如圖9，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，求tanB，tanA.并探索tanB與tanA的關系.同樣的關系在其他的直角三角形中成立嗎？

（三）思維延伸

思考：你能根據所學知識判斷梯子的傾斜程度與傾斜角的正切值有什么關系嗎？

已知：如圖10，△ABC是等腰三角形，AC=24，tanC=512，求BC.圖11

（四）拓展應用

請閱讀下列材料，并回答相關問題：

在筑壩、開渠、挖河和修路時，設計圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度.如圖11，我們通常把坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比稱為坡度（或坡比），用字母i表示，即i=hl.

圖12

（1）如果把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度與坡角有什么關系？

（2）若i=1∶3，則tanα= .

例2：（1）如圖12，AB、ED甲、乙兩個斜坡，斜坡 比較陡.

（2）若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前進10米，則他所在的位置比原來的位置升高 米.

預習反思對于正切的概念，你還有哪些困惑？寫在下面.

個性超市

題組一：

1.如圖13，在△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6，則tanA= .

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，AC=1，則tanB= .

3.在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，則tanC= .

4.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=13，AC=1，則BC= .

圖13 圖14

5.如圖14，△ABC是等腰直角三角形，根據圖中所給數據求出tanC= .

6.如圖15，菱形的兩條對角線長分別是BD=16，AC=12，較長的一條對角線與菱形的一邊的夾角為θ，則tanθ= .

圖15 圖16

7.如圖16，某人從山腳下的點A走了410m后到達山頂的點B，已知點B到山腳的垂直距離為90m，求山的坡度.圖17

題組二：

8.已知：如圖17，斜坡AB的坡度i=34，若AC=200米，求AB、BC的長.

歸納梳理

本節課的主要知識點.

二、課堂問案

（一）問題預設

（1）是否只有直角三角形中的銳角才有三角函數？一般三角形中的角有沒有三角函數？

（2）角A的大小不變，它的正切值是否變化？

（3）既然稱作三角函數，誰是誰的函數？誰是自變量？誰是因變量？

（4）三角函數有沒有圖像？怎樣畫出來的？

（5）三角函數中的角怎樣表示？

（二）師生互動，課堂疑問

問題問題指向問題成因

問題1：tanA中的A是一個角還是一個角度？對于正切函數中的角的含義的理解學生初次接觸三角函數，對于函數的內涵和意義理解不清

問題2：在直角三角形中，角A確定，其對邊與斜邊的比值確定嗎？對于相似概念的理解和猜想學生學習了正切函數的定義，對于與之相近的表示方法產生了自己的猜想

問題3：是否直角三角形中的銳角才有三角函數？對于概念中的核心問題——自變量的理解教材中給出的定義只是限于直角三角形中，而學生知道在一般三角形中也有銳角，他們有沒有三角函數

問題4：在正切函數中，誰是誰的函數？自變量和因變量分別是誰？對于概念本質內涵的理解類比一次函數、反比例函數，學生想確認在正弦函數中的變量

………………

（三）解疑釋惑

問題解疑答惑

問題1從中可以看出學生對于角及角的度數的理解還是割裂開的，角是一個表示法，其度數是一種度量方式，在此表示的意義一樣，有了銳角當然其度數也就確定，兩者都可以在三角函數中表示.

問題2引導學生反思勾股定理的內容，既然對邊與鄰邊的比值確定，當然斜邊與他們的比值也就確定，我們把對邊與斜邊的比值稱為正弦函數，即sinA.

問題3結合對于角度不變正切值不變的解釋，學生體會只要是角度不變，我們就可以通過構造直角三角形來求它的對邊和鄰邊的比值，因此只要是銳角就有正切值，不一定非得在直角三角形中，單獨的一個銳角也有正切函數.

問題4在引導學生初步理解概念后，引導學生思考，正切函數的結果是一個比值，這個比值是由角的大小決定的，因此角是自變量，比值基函數值是函數.

問題5……

三、案例點評

本案例的最突出特點在于將學生預習導案和課堂問案組成一個有機的整體.預習導案和課堂問案都是精心設計，體現出數學質疑式課堂教學研究的主要特征.其中，預習導案學習目標明確、具體、適當，體現新課程改革的理念，預習導航從問題導入到知識技能到思維延伸再到拓展應用，層層深入，體現了數學知識的形成和數學思維發展的過程，也體現了數學學習的本質要求.個性超市具有“個性”，預習反思、歸納梳理這兩個過程很好發展了學生的歸納、總結、反思和知識建構能力.課堂上，各個環節貫徹“以學生為主體，以問題為主線，以質疑為特征”，致力于培養學生的數學質疑能力是最大亮點.本案例的質疑不僅包括引導學生提出不會、不懂的問題，還包括因懷疑而去發現、探索、提出并解決新問題的一系列活動，這不僅有助于激發學生的問題意識和數學學習興趣，有助于培養學生好問多思的精神和合作探究、交流協作的能力，而且有利于學生獨立思維習慣的養成和創新能力的發展.課堂問案正是問題預設、師生互動課堂疑問和解疑釋惑過程的真實再現.同時，也是數學質疑式課堂教學研究成果的高度凝練，具有十分重要的參考和借鑒價值.