關(guān)于數(shù)學(xué)新概念生發(fā)途徑的探索

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)的真正開始是從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新概念開始的.在數(shù)學(xué)新概念的學(xué)習(xí)上，學(xué)生對它的認(rèn)同常常基于對描述概念文字的記憶，理解上只停留在淺層次的水平上，對它的產(chǎn)生合理性認(rèn)識不足、理解不透. 因此，作為數(shù)學(xué)教師不能忽視對數(shù)學(xué)新概念教學(xué)的設(shè)計. 數(shù)學(xué)概念的生發(fā)應(yīng)當(dāng)努力呈現(xiàn)出一種原生態(tài)的知識被發(fā)現(xiàn)的過程，以學(xué)生原有的知識基礎(chǔ)和思維能力為前提，在學(xué)生熟知的某個數(shù)學(xué)概念或某個數(shù)學(xué)現(xiàn)象基礎(chǔ)上繼承和發(fā)展，形成新思想、新概念. 作為教師應(yīng)當(dāng)積極挖掘這種潛在的價值，通過精心地設(shè)計教學(xué)場景、教學(xué)內(nèi)容努力達到這種境界，從而培養(yǎng)學(xué)生的一種潛在的素質(zhì)，一種從事科學(xué)研究問題的修養(yǎng)，達到培養(yǎng)的是學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新精神的目的.

本文力圖對數(shù)學(xué)概念的生發(fā)途徑作一些探索.

1新概念在與其它概念的形式比較生發(fā)

比較法是人們認(rèn)識客觀事物的重要方法，比較研究問題的方法告訴我們：可以根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)或以往的經(jīng)驗、教訓(xùn)把彼此有某種聯(lián)系的事物加以對照，從而確定其相同與相異之點，對事物進行分類，并對各個事物的內(nèi)部矛盾的各個方面進行比較后，得出事物的內(nèi)在聯(lián)系，從而認(rèn)清事物的本質(zhì). 一些數(shù)學(xué)新概念是在與其它概念的形式比較中生發(fā)的，在分析事物共性的基礎(chǔ)上，突出事物的形式上的差異，通過形式比較形成新概念. 初中階段就有許多數(shù)學(xué)概念重在形式上的表現(xiàn)，有的不化簡看形式，有的化簡后看形式. 比如二次根式，直接看形式，而不看化簡的結(jié)果，4是最簡明的二次根式；整式方程則不直接看形式，而是看化簡后的形式，x2+3x+3=x2是一元一次方程，不是一元二次方程.

以教學(xué)一元二次方程的概念為例. 一些老師就事論事，簡單操作，沒有將一元一次方程、二元一次方程、可化為整式方程的分式方程等進行形式上的比較，只是讓學(xué)生看一下課本，然后就給出一元二次方程的定義，結(jié)果學(xué)生對一元二次方程概念的本質(zhì)特征認(rèn)識不足，一個班多數(shù)同學(xué)在作業(yè)當(dāng)中誤把（x+1）2+3x+3=（x-1）2判定為一元二次方程. 基于此教者曾這樣設(shè)計教學(xué)過程：首先，讓學(xué)生列出實際生活案例中包含的有關(guān)方程，其中可能有一元一次方程、二元一次方程、可化為整式方程的分式方程等；其次，讓學(xué)生說出哪些方程是學(xué)過的，哪些方程是沒學(xué)過的？學(xué)過的方程是怎樣定義的？學(xué)生會很快聯(lián)想到一元一次方程，并說出一元一次方程的定義：形如ax+b=0，只含有一個未知數(shù)并且含未知數(shù)的項的次數(shù)是1系數(shù)不為0的整式方程. 學(xué)生也會聯(lián)想到二元一次方程和可化為整式方程的分式方程，但一元一次方程形式更簡單，應(yīng)當(dāng)首先會想到；再次，讓學(xué)生比較新方程（一元二次方程）與其它方程形式上的相同與不同之處，學(xué)生馬上會發(fā)現(xiàn)新方程的四大本質(zhì)特征：①是整式方程；②只含有一個未知數(shù)；③含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2；④二次項的系數(shù)不能為0. 其中③是新的形式要求. 教學(xué)中教者進一步強調(diào)：方程要化為ax2+bx+c=0的形式后觀察. 經(jīng)歷上述過程后，讓學(xué)生自己歸納地得出了一元二次方程的定義：形如ax2+bx+c=0或能化簡成為ax2+bx+c=0的形式，只含有一個未知數(shù)并且含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2，二次項的系數(shù)不能為0的整式方程. 作業(yè)當(dāng)中沒有發(fā)現(xiàn)誤把（x+1）2+3x+3=（x-1）2判定為一元二次方程的現(xiàn)象.

概念是自然產(chǎn)生的，不是教者強加的. 上述的情況在數(shù)學(xué)教學(xué)中還是比較多的，教者作為學(xué)生學(xué)習(xí)的引路人，創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生對形式上存在差異的事物比較的情境，學(xué)生就能夠透過事物的表象，認(rèn)清事物的本質(zhì). 諸如分式在與整式的形式比較中生發(fā)，二次函數(shù)的概念在與一次函數(shù)和反比例函數(shù)的形式比較中生發(fā)，不等式的基本性質(zhì)在與等式的基本性質(zhì)的形式比較中生發(fā)，……等等.

2新概念在與其它概念的內(nèi)涵類比中生發(fā)

康德曾指出：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進.”類比作為一種科學(xué)研究的方法，我們可以通過對兩個相類似的數(shù)學(xué)研究對象的異同進行觀察和比較，從一個已經(jīng)學(xué)過的大家熟知的研究對象所具有的性質(zhì)去猜想另一個研究對象所具有的類似的性質(zhì). 許多數(shù)學(xué)概念具有“相同”或“相似”之處，正是這種“相同”或“相似”，我們可以通過比較它們的內(nèi)涵，揭示其本質(zhì)特征，生發(fā)“相似”的新概念.

當(dāng)我們研究旋轉(zhuǎn)的時候，學(xué)生已經(jīng)有了關(guān)于平移的概念的知識基礎(chǔ)，不妨先讓學(xué)生回憶平移的概念，平移是把一個圖形沿某一個方向從一個位置移動一定的距離到另一個位置，這里牽涉到兩個要素：方向和距離. 再引導(dǎo)學(xué)生看這樣的圖形變換：把一個圖形繞一點從一個位置轉(zhuǎn)動到另一個位置. 我們可以給出怎樣的名稱？馬上有學(xué)生想到“旋轉(zhuǎn)”，教者追問：旋轉(zhuǎn)有哪些要素呢？在教師的追問下學(xué)生想到：固定點（旋轉(zhuǎn)中心）、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度. 于是學(xué)生對旋轉(zhuǎn)的概念有了很清楚的認(rèn)識，對概念的歸納自然是水到渠成. 再如，我們研究中心對稱的時候，不妨先讓學(xué)生們回憶軸對稱的概念，比較兩種圖形變換，一個是把一個圖形繞一條直線翻折180°，另一個是把一個圖形繞一點旋轉(zhuǎn)180°，前者在空間進行，后者在平面進行，通過類比可以得出中心對稱的概念，再通過類比研究問題的方法體系，還能夠進一步得到其性質(zhì)和判定.

學(xué)習(xí)一個新的數(shù)學(xué)概念，對于過去遇到過的類似概念，通過比較概念的內(nèi)涵去生發(fā)，不但會優(yōu)化教學(xué)過程，而且會使學(xué)生獲得類比創(chuàng)造的思想，進一步升華為研究數(shù)學(xué)問題的思維品質(zhì).

3新概念在其它概念的延伸發(fā)展中生發(fā)

數(shù)學(xué)概念不是孤立存在的，會存在于相應(yīng)的系統(tǒng)之中，在系統(tǒng)中數(shù)學(xué)概念本身就在不斷延伸中發(fā)展，人們可以通過概念的延伸性的研究不斷獲取對新概念的認(rèn)識. 教學(xué)中充分地注意到這一點，學(xué)生就不會停留在對某些數(shù)學(xué)概念個性化的教學(xué)淺層次認(rèn)識水平上，而會用發(fā)展的眼光去審視事物.

我們來看這樣一組數(shù)學(xué)概念：線段的中點、三角形的中線、三角形的中位線、梯形的中位線. 當(dāng)我們教學(xué)三角形的中位線時，如果不提線段的中點和三角形的中線，那是一種錯誤，在這里后一個概念都是在前一個概念基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，更何況三角形的中線和三角形的中位線只有一字之差，為什么總有學(xué)生把三角形的中線和三角形的中位線混淆的原因正在于此. 將新舊概念建立聯(lián)系，進行發(fā)展性分析，學(xué)生便能辨析清楚三角形的中線是一端連接三角形的一個頂點，另一端連接三角形相應(yīng)頂點的對邊中點的線段，而三角形的中位線是連結(jié)三角形兩邊的中點的線段. 在此基礎(chǔ)上去研究梯形的中位線，學(xué)生也會認(rèn)識到梯形的中位線圖式可以看成是將與三角形的中位線相連的兩邊交點（三角形的一個頂點）拉開，并使拉開形成的第四邊與第三邊平行所得；反之，我們也會看到三角形的中位線圖式是梯形的中位線圖式上底兩端合攏為一的結(jié)果.

創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生去觀察、思考、比較和辨析新舊數(shù)學(xué)概念，并充分感悟和發(fā)現(xiàn)新概念在原有的舊概念基礎(chǔ)上發(fā)展起來，新的數(shù)學(xué)概念就會順乎自然地同化到學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系之中.

4新概念在實際生活情境中生發(fā)

新課程強調(diào)一個重要理念：數(shù)學(xué)源于生活. 許多數(shù)學(xué)概念不是純粹從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)，而是從生活到數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生于客觀世界的具體事物中. 教學(xué)過程中，要從學(xué)生的生活世界考慮，創(chuàng)設(shè)實際問題情境，引領(lǐng)學(xué)生從實際生活情境中感悟數(shù)學(xué)概念的存在，在實際生活情境中生發(fā)新的數(shù)學(xué)概念.

以分式的概念教學(xué)為例，課本上內(nèi)容僅有十幾行字，如果給出一個分母含字母的代數(shù)式，直接說該代數(shù)式分母中含有字母，是分式，幾句話就能完成，但這樣學(xué)生的認(rèn)識肯定是膚淺的.筆者曾采用的這樣辦法：首先，給出幾個生活實例，讓學(xué)生列出相應(yīng)的代數(shù)式，其中有的代數(shù)式的分母含有字母，有的代數(shù)式分母不含字母；其次，組織學(xué)生討論三個問題：①幾個式子中，哪些是我們已經(jīng)學(xué)過的？哪些是我們沒有學(xué)過的？這些代數(shù)式的組成是什么特點？②含分母的幾個式子的分母有什么區(qū)別？③對分母中出現(xiàn)字母的式子可以怎樣定義？討論結(jié)果，學(xué)生的認(rèn)識聚焦到新的代數(shù)式上，形式是分?jǐn)?shù)形式，分母中含有字母的代數(shù)式.那么怎樣定義分式呢？回答問題的學(xué)生會說如果一個代數(shù)式是分?jǐn)?shù)形式，并且分母中含有字母，這樣的式子叫做分式.這種說法與課本中分式定義的說法雖然不同，但內(nèi)涵是一樣的，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)概念源于生活的發(fā)現(xiàn)形成過程，對分式概念的理解是深刻的.

類似的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，諸如代數(shù)式、整式、等式、函數(shù)、直線、圓、頻數(shù)、頻率……等等都應(yīng)當(dāng)從學(xué)生熟悉的生活情境中生發(fā)新概念.

作者簡介：任宏章，男，1966年9月出生，江蘇興化人，中學(xué)高級教師，泰州市學(xué)科帶頭人，先后參加或主持過六項省級和國家級的課題研究工作.在省級及以上刊物發(fā)表論文40多篇.