貴刊2012年第10期刊登了《坎迪定理的有趣拓廣》[1]一文,對坎迪定理作了有趣的拓廣,讀后頗有啟發,筆者認為文[1] 沒有作出實質性的拓廣,本文將在高等幾何理論的指導下,對文[1] 作出評析及引申,供讀者參考.
1評析
拓廣2如圖1,在凸四邊形ACBD中,對角線AB、CD交于點M,過點M任作兩條直線,分別交直線AD、AC、BC、BD于E、G、F、H,EG、FH分別交AB于P、Q,記MA=a,MB=b,MP=x,MQ=y, 則1a-1b=1x-1y.
評析圖2為坎迪定理的基本圖形, 圖1、圖2的區別僅僅在于三線段AB、GH、EF的端點的“外包”一個是凸四邊形ACBD,一個是圓錐曲線,那么,兩者之間到底有何關系呢?這一點,用高等幾何中的巴斯卡定理和逆定理是容易回答的.
圖1圖2注意圖1,因為六點形ABHGEF的三對對邊AE、BH、AG、BF、GH、EF的交點D、C、M在一條直線上,故由巴斯卡定理的逆定理可知,這個六點形的六個頂點A、B、H、G、E、F在一條圓錐曲線上.要是將這條圓錐曲線畫上,那么,圖1就轉化為圖2了.由此看來,拓廣2實質上就是坎迪定理隱去了圓錐曲線,即坎迪定理本身,并不是坎迪定理在凸四邊形中的拓廣.拓廣3只不過是在拓廣1隱去了圓錐曲線的背景后的一種演化(坎迪定理更廣義的形式),并不是在凸四邊形中的引申.
2引申
在圖2中,由巴斯卡定理可知,圓錐曲線的內接六點形ABHGEF的三對對邊AE、BH、AG、BF、GH、EF的交點C、 D、M必在一直線上(巴斯卡線),我們若把四邊形ACBD作上(隱去圓錐曲線),那么,圖2有可能是圖1的形狀,但也有可能呈現別的形狀,如象圖3、圖4、圖5等等(在圖4中,AG與BF的交點C是無窮遠點,即有AG∥BF∥DM).由圖3知,如四邊形為凹四邊形結論仍然成立,圖4、圖5又啟示我們可作出如下的引申:
參考文獻
[1]令標.坎迪定理的有趣拓廣[J].中學數學雜志,2012,(10).
[2]曹嘉興.坎迪定理的等價命題[J].中學數學雜志,2012,(8).
作者簡介:俞凱,男,1957年出生,中學高級教師,舟山市初中數學學科帶頭人,舟山市普陀區初中數學名師工作室首席導師,主要研究中學數學解題教學和課堂教學,在全國多種刊物發表中小學數學教育教學論文30余篇.