坎迪定理的有趣拓廣的評析及引

貴刊2012年第10期刊登了《坎迪定理的有趣拓廣》[1]一文，對坎迪定理作了有趣的拓廣，讀后頗有啟發，筆者認為文[1] 沒有作出實質性的拓廣，本文將在高等幾何理論的指導下，對文[1] 作出評析及引申，供讀者參考.

1評析

拓廣2如圖1，在凸四邊形ACBD中，對角線AB、CD交于點M，過點M任作兩條直線，分別交直線AD、AC、BC、BD于E、G、F、H，EG、FH分別交AB于P、Q，記MA=a，MB=b，MP=x，MQ=y， 則1a-1b=1x-1y.

評析圖2為坎迪定理的基本圖形， 圖1、圖2的區別僅僅在于三線段AB、GH、EF的端點的“外包”一個是凸四邊形ACBD，一個是圓錐曲線，那么，兩者之間到底有何關系呢？這一點，用高等幾何中的巴斯卡定理和逆定理是容易回答的.

圖1圖2注意圖1，因為六點形ABHGEF的三對對邊AE、BH、AG、BF、GH、EF的交點D、C、M在一條直線上，故由巴斯卡定理的逆定理可知，這個六點形的六個頂點A、B、H、G、E、F在一條圓錐曲線上.要是將這條圓錐曲線畫上，那么，圖1就轉化為圖2了.由此看來，拓廣2實質上就是坎迪定理隱去了圓錐曲線，即坎迪定理本身，并不是坎迪定理在凸四邊形中的拓廣.拓廣3只不過是在拓廣1隱去了圓錐曲線的背景后的一種演化（坎迪定理更廣義的形式），并不是在凸四邊形中的引申.

2引申

在圖2中，由巴斯卡定理可知，圓錐曲線的內接六點形ABHGEF的三對對邊AE、BH、AG、BF、GH、EF的交點C、 D、M必在一直線上（巴斯卡線），我們若把四邊形ACBD作上（隱去圓錐曲線），那么，圖2有可能是圖1的形狀，但也有可能呈現別的形狀，如象圖3、圖4、圖5等等（在圖4中，AG與BF的交點C是無窮遠點，即有AG∥BF∥DM）.由圖3知，如四邊形為凹四邊形結論仍然成立，圖4、圖5又啟示我們可作出如下的引申：

參考文獻

[1]令標.坎迪定理的有趣拓廣[J].中學數學雜志，2012，（10）.

[2]曹嘉興.坎迪定理的等價命題[J].中學數學雜志，2012，（8）.

作者簡介：俞凱，男，1957年出生，中學高級教師，舟山市初中數學學科帶頭人，舟山市普陀區初中數學名師工作室首席導師，主要研究中學數學解題教學和課堂教學，在全國多種刊物發表中小學數學教育教學論文30余篇.