賞析“切線型最值問題”

在動態數學問題中，最值問題無疑最具魅力和挑戰性，中考試卷中至少命制一道最值問題已成為共識.最值問題觸及初中數學的各個角落，與切線相關的最值問題是中考命題的熱點之一，也是近年中考命題的一個亮點，值得關注.

圖11切線明示型

例1（2012年黃石卷）如圖1所示，直線CD與線段AB為直徑的圓相切于點D，并交BA的延長線于點C，且AB=2，AD=1，P點在切線CD上移動.當∠APB的度數最大時，則∠ABP的度數為（）

A. 15°B. 30°C. 60°D. 90°

分析當P在圓外時，設PA（或PB）交圓于點M，則∠APB<∠AMB=∠ADB=90°，故點P和D重合時，∠APB的度數最大.

簡解連接BD，因為直線CD與以線段AB為直徑的圓相切于點D，所以∠ADB=90°，因為當∠APB的度數最大時，點P和D重合，所以∠APB=90°，因為AB=2，AD=1，所以sin∠DBP=ADAB=12，所以∠ABP=30°，所以當∠APB的度數最大時，∠ABP的度數為30°，故選B.

圖2例2（2010年新疆卷）如圖2是一個量角器和一個含30°角的直角三角形放置在一起的示意圖，其中點B在半圓O的直徑DE的延長線上，AB切半圓O于點F，且BC=OE.

（1）求證：DE∥CF；

（2）當OE=2時，若以O、B、F為頂點的三角形與△ABC相似，求OB的長.

（3）若OE=2，移動三角板ABC且使AB邊始終與半圓O相切，直角頂點B在直徑DE的延長線上移動，求出點B移動的最大距離.

分析（1）、（2）略；