數學課堂教學應關注的四個核心問題

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）在“課程基本理念”中指出：“數學教學活動，特別是課堂教學應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法.”這實質上是向廣大數學教師提出的宏觀教學要求.人們不禁要問，在數學課堂教學中應重點關注哪些核心要素，才能符合這一要求？筆者認為在數學課堂教學中教師應關注的問題很多，但下面四個問題是最重要的：

1激發學生的學習興趣

古人云：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者.”愛因斯坦有句至理名言：“興趣是最好的老師.”興趣是學習的原動力、是學習的催化劑，它對學生的學習有著神奇的內驅動作用，能變無效為有效，化低效為高效.可見，數學教學必須把培養學生的學習興趣放在首位.

學生原本對客觀世界就有濃厚的好奇心，數學教學應該努力把學生的這種好奇心引導到探索事物的數量關系上來，把這種好奇心轉化為學習數學的興趣上來.關于激發學習興趣的話題是一個古老但又“長青”的問題.許多心理學家、教育專家、教學名師等對此都有自己的見解，提出了很多激發學習興趣有效的方法.

例如，可以通過列舉應用數學的實例，讓學生了解數學的價值，知道數學具有廣泛的應用性，與我們的日常生活、學習、工作息息相關.特別是在今天，隨著信息科學技術的飛速發展，人們幾乎可以把任何信息數字化，包括文字信息、行為信息、情感信息和圖像信息.如網絡查詢、電視圖像、手機信息、心理測量、身體掃描等.這樣可以讓學生看到數學內在的本質和自身的魅力，從而引起學生學習數學的興趣.

筆者認為，引發興趣最主要的在于教師的教學方法.從這個角度講，教師要在教學設計上狠下功夫，如選擇新穎有趣的學習材料，采用啟發式的教學方式，創設引人入勝的教學情境，采用講故事、做游戲的方法，帶領學生解決某些帶有挑戰性的問題等等都是很有效的.

實踐證明無論采用怎樣的方法，只要能引發學生持久的樂學，課堂教學的效率就會不斷得到提高.有的教師在學習列方程組解應用題前，用下面的問題作為引例來激發學生的學習興趣：

案例1自行車輪胎報廢問題.

一個自行車輪胎，若安裝在前輪上，則行駛5000千米后報廢；若安裝在后輪上，則行駛3000千米后報廢.如果行駛一定路程后交換前、后輪，使一對新輪胎同時報廢，那么最多可行駛多少千米.

學生甲：最多可行駛8000千米；

學生乙：最多可行駛4000千米.

還有很多學生無從入手.

教師要抓住時機，告訴同學們學生甲、乙的答案都不對.為什么呢？只要學習了列方程組解應用題的知識后你們就知道答案了.這樣學生學習的積極性就高了，學習注意力也集中起來了，教師開始了新課的學習.

事實上，本題應該這樣來解：設每個新輪胎報廢時的總磨損量為k，則安裝在前輪的輪胎每行駛1千米的磨損量為k5000，安裝在后輪的輪胎每行駛1千米的磨損量為k3000；又設一對新輪胎交換位置前走了x千米、交換位置后走了y千米，分別以一個輪胎的總磨損量為等量關系列方程，得

kx5000+ky3000=k

ky5000+kx3000=k

方程組的兩邊相加，得k（x+y）5000+k（x+y）3000=2k，從而可得（x+y）=215000+13000=3750（千米）.

故，自行車的一對新（前后）輪胎最多可行駛3750千米便能同時報廢.

事實上，成功的數學教育無不是建立在學生對數學極大的興趣基礎之上的.有興趣的學習活動，一定會大大提高學生學習數學的效率.我們在與一些教師的座談中，經常聽到老師抱怨學生不“喜歡”數學、學習效率低的“聲音”.其根源或許就是因為學生沒有學習數學的興趣，從這個角度講學生不“喜歡”數學、學習效率低的原因在教師而不在學生.因此，教師應在研究教材與學生的基礎上，對教學內容進行“二次加工”，結合具體內容創設必要的教學情境，利用有效的學習機制和教學手段，營造高效的學習氛圍，徹底改變學生的學習狀態，激發學生的學習欲望，實現學生由“苦學”、“厭學”到“樂學”的轉變.

2引發學生進行數學思考

對于數學思考，《標準》分以下四點進行了詳細的描述：（1）建立數感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發展形象思維與抽象思維.（2）體會統計方法的意義，發展數據分析觀念，感受隨機現象.（3）在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法.（4）學會獨立思考，體會數學的基本思想和思維方式.

上述四點是數學課程在“數學思考”方面應達到的目標.前三點是從數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四個領域來闡述的，后一點是概括的闡述.它向我們指出了“數學思考”這一方面課程目標希望達到的三個目的：讓學生學會獨立思考，體會數學思想，體會數學思維方式.事實上，數學思考是數學教學中最有價值的行為.

這就要求我們在數學教學中要引導學生在學會知識的過程中也要學會思考，學會思考遠比學會知識本身更重要.這種思考是“運用數學的思維方式進行”的思考，也就是“數學方式的理性思維”.它有豐富的內涵，包括形象思維、邏輯思維和辯證思維，包括合情推理和演繹推理，等等.教學中讓學生學會思考，就能形成用數學的眼光看世界，從數學的角度去分析問題的素養，能使學生終生受益.

我國歷來十分重視對基礎知識的教學，但存在著“重結果、輕過程”的現象，如果長期采用這種教法，學生就難以學會獨立思考，無法體會到一些數學基本思想的作用，形成不了正確的思維方式.例如，數學概念是重要的數學基礎知識，許多老師對概念的教學采取的是“定義+例題”的方式，實質上是在“滿堂灌”，最后只能導致學生是“知其然，但不知其所以然”.事實上，一個概念的形成往往與學生的思考、探索等活動融合在一起，密不可分.所以，在數學概念的教學中，教師一定要引導學生經歷這個概念的建立過程，不可錯失培養學生數學思考的良機.

圖1案例2圓的有關概念的建立.

圓是生活中常見的幾何圖形，從集合的觀點定義圓是同學們學習的一個難點，為了克服難點，我們可以設計下面的問題，引導學生進行思考、探索等活動：

畫一個半徑為5厘米的⊙O，在⊙O上任取A，B兩點，連接OA，OB.

（1）OA與OB的長分別是多少？

（2）如果OC=5厘米，你能說出點C的位置嗎？

（3）如果M，N是平面內的兩點，且OM=7厘米，ON=3厘米，你能分別說出點M，N與圓的位置關系嗎？

（4）觀察圖1，A，B，C三點與⊙O具有什么樣的關系？由此可知，平面內的點與圓有幾種位置關系？

分別用這個點到圓心的距離與圓的半徑的大小關系加以說明.

（5）如果我們把“圓看成是平面內到定點的距離等于定長的點的集合”，那么請你用集合的語言描述圓的內部和外部：

①圓的內部是點的集合；

②圓的外部是點的集合.

學生在上述五個問題的引導下，通過對點與圓的位置關系的思考與探究，經歷了圓的集合定義的形成過程，進一步增強了學生對圓的本質屬性的認識.圓是點的集合，而這個集合是由平面內所有“到定點的距離等于定長”的點組成的.這里的定點就是圓心，定長就是半徑.把一個集合圖形看成是滿足某些條件的點的集合的思想，在數學學習中十分重要.這樣的導學設計能讓學生初步感受這種思想，符合《標準》強化對數學思想要求的精神.

3使學生掌握恰當的學習方法

國務院總理溫家寶曾就如何制定《國家中長期教育改革和發展規劃綱要》時強調指出：現在，在學習中我們比較注重認知，認知是學習的一部分，就是學習.在認知方法上我們還有缺陷，主要是灌輸.其實，認知應該是啟發，學生學會如何學習，掌握認知的手段，而不僅在知識的本身.學生不僅要學會知識，還要學會動手，學會動腦，學會做事，學會生存，學會與別人共同生活，這是整個教育和學習改革的內容.我們知道，學習方式是指學生在完成學習任務過程中基本的行為和認知的取向，它的基本緯度是自主性、探究性和合作性.《標準》論述學習方式時指出“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式.學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.”

20世紀末，世界一批最優秀的科學家特別是一批諾貝爾獎獲得者倡導在兒童和學校教育中開展“做中學”活動，以提高幼兒園和學生的科學教育水平，培育科學的思維方式.“做中學”是讓兒童和學生參與一些“科學活動”.學生在參與這些活動的過程中不僅能獲得對數學的理解，還能體會到數學的研究方法，并且在活動中不斷優化自己的數學認知結構.

為了讓學生主動的進行數學學習活動，并且在這個活動中使其個性得到充分的發展.教師應結合具體的教學內容創設有助于學生自主學習的問題情境，以此引導學生進行觀察、操作、探究、歸納、猜想、討論、交流等一系列的活動.在活動中獲得數學的基礎知識和基本技能，經歷數學基本思想的形成過程，并且不斷積累基本的數學活動經驗.

案例3“垂線段最短的性質”的發現過程.

對于“垂線段最短的性質”，可以創設如下的問題情境，激發學生進行探索、發現、交流等活動.

問題1：如圖2，怎樣測量跳遠的成績？

圖2圖3

問題2：在圖3中，如果要從人行橫道線點P處過馬路，怎樣走線路最短？你能把最短的線路畫出來嗎？

圖4（問題1、問題2是引導學生經歷觀察、操作、探索的過程，引導學生運用生活經驗感知：直線外一點與直線上各點連接所得的所有線段中，垂線段最短）.

問題3：如圖4，點P在直線l外，點O1、O2、O3…在直線l上，其中PO⊥l，量出線段PO、PO1、PO2、PO3…的長度.在這些線段中，哪一條最短？

（問題3是從數學內部提出的問題，引導學生通過數學活動感知：直線外一點與直線上各點連接所得的所有線段中，垂線段最短）.

圖5問題4：如圖5，P是直線l外一點，PO⊥l，垂足為點O，O1、O2是l上任意兩點.

（1）畫出所給圖形沿直線l翻折后的圖形；

（2）你能說PO

（通過問題4，引導學生經歷推理的過程）.

我們知道，學生學習的過程與科學家的研究過程在本質上是一致的.因此，在教學中應引導學生要像“小科學家”一樣通過研究活動去發現問題、提出問題、分析問題直至最后解決問題.學生在探究的過程中除了能獲取知識、發展技能、形成能力外，還能受到科學價值觀和科學方法的教育，并發展自己的個性.從而更好地落實《標準》提出的“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”的課程基本理念.

4培養學生的創新意識

創新是21世紀出現頻率最高的詞匯，它已經普及幾乎每一個領域，當然必將出現在數學教學中.楊振寧先生指出“中國學生的根基非常扎實，這是優點，但也有缺點，中國的學生面對新事物總有畏縮心理，與美國學生比起來，創新意識較差.”“創新意識”是《標準》提出的十個核心概念之一.并且進一步指出“創新意識的培養是現代數學教育的基本任務，應體現在數學教與學的過程之中.學生自己發現和提出問題是創新的基礎；獨立思考、學會思考是創新的核心；歸納概括得到猜想和規律，并加以驗證，是創新的重要方法.創新意識的培養應該從義務教育階段做起，貫穿數學教育的始終.”

關于創新意識的培養問題，近十余年來人們討論的比好多，也積累了一些好的方法.例如，實施探究式的教學方法就是一例.在這種教學模式中，因為它的條件不完備、答案不確定且具有層次性，解決策略具有發散性和創新性等特征，容易使學生主動參與、主動探索，也可以讓不同層次的學生在同一問題上得到不同的發展，從而讓學生都有體驗成功的機會，在成功的基礎上探索更深層次的問題，形成良好的思維品質，培養創新思維.圖6

下面的題目（某地的一道中考試題）就是一種有益的嘗試：

案例4已知⊙O內切于四邊形ABCD，連結AC、BD，由這些條件你能推出哪些結論？（要求：繪出工整圖形，不寫畫法，圖中除A、B、C、D、O五個字母外，不再標注其它字母，不再添任何輔助線，不寫推理過程，推出五條結論得滿分，推出六條以上者應給予加分.）

這道試題的形式突破了呆板固定的“模式”，它確定了已知條件后，不限制結論，而是讓學生根據條件先畫出標準的圖形（如圖6所示），再分析條件，去盡可能多地探索結論，發現結論：

（1）∠ABD=∠ADB；（2）AC平分∠BAD；

（3）AC垂直平分BD；（4）∠BAC+∠DBA=90°；

（5）△ABC≌△ADC；（6）BC=CD；

（7）S四邊形ABCD=12AC·BD……

學生在探索結論的過程中，視野開闊了，他們的智力及數學才能得到了充分的發展，這個解答過程充分揭示了思維的廣度和深度.這個例子告訴我們，在教學中，可選一些典型的題目，讓學生去努力探索問題結論的各種情況以及新穎的解法，從而提高他們的思維品質，逐步培養學生的創新能力.

《標準》下數學教學應關注的問題很多，但我們認為在課堂教學中，只要學生有了學習的興趣，掌握了科學的學習方法，就能主動的進行思考與探索，這些都是產生創新火花的必要條件.因而“興趣”、“思考”、“學習方法”和“創新意識”成為現代數學課堂教學要關注的四個核心問題.只要我們的數學課堂教學能長久的關注這四個問題，就能逐步實現從“學會數學”到“會學數學”的教育目的.