讓抽象的數學從生活中走來

教學設計是以獲得優化的教學效果為目的，以學習理論、教學理論及傳播理論為理論基礎，運用系統方法分析教學問題，確定教學目標，建立解決教學問題的策略方案、試行解決方案、評價試行結果和修改方案的過程.我國大陸地區和臺灣地區基礎教育界近些年的交流已經取得長足發展，一脈相承的中國傳統教學文化影響使得兩岸雖然經歷半個世紀的隔絕，在基本教學思想方面仍然有很大的相似性和可借鑒性，教學設計是現在各門基礎教育課程教學研究的重點，本文就臺灣彰化縣陽明中學李明蘭老師的九年級“函數對應”一節（45分鐘課）教學設計給出一些設想.感受李明蘭老師的教學設計的獨特風格.

1教學設計總體結構評價

教學設計的形式多樣，有記敘文一樣文字表述的、羅列式概括性重點知識點的、也有表格形式展示的，李明蘭老師的教學設計是典型的表格式教學設計，題目是“函數對應”，由臺灣地區教育行政部門組織的“中小學九年一貫制課程推動小組數學學習領域課程與教學深耕輔導組”輔導，該設計的主體框架分為兩部分：教學活動設計和教學反思（臺灣稱為教學后的省思），其中教學活動設計是重點和主體，教學活動設計分為8部分內容：教學年級、教學節數、學生能力分析、教學目標、活動目標、教學概要說明、教學（內容）活動設計、參考資料等.還有三個“作業單”用來輔助學生學習函數對應的相關概念. 在新課程改革前，大陸地區的教學設計主要模式基本上是統一的，包括題目、教學重點、教學難點、教學方式、授課類型（主要分新授課、復習課、考試課等）、教具、教學內容（包括舊課復習、新課引入、新課學習）、課堂練習、內容小結、作業布置等環節，幾十年來，一直按照這個模式標準來衡量一節教學設計的好壞，新課程改革后提倡對學生情感態度和價值觀的培養，同時也注重培養學生的創造精神，教學設計是否完善就考慮到是否加入上述內容，對教學設計的評價也有了發展，不僅僅停留在原來只針對課堂實施過程的評價，而是延伸到教學設計的準備環節的評價、教學設計的過程的評價、教學設計的結果評價等各個環節，人民教育出版社數學室章建躍老師主持的國家課題就提出教學設計要按照不同課型：概念課、原理法則課、習題課、復習課和策略性質知識課而采用不同模式的教學設計.也有人認為教學設計需要有以下10個部分：教學指導思想、教學目標、學生分析、教材分析、教學手段（教具和多媒體的使用）、作業分析、考試內容設計（作業、期中、期末等各種考試中該知識點的比例和考核方法）、教學策略、教學效果評價（自評和他評相結合）等，各種觀點，不一而足.李明蘭老師的教學設計有專門的學生能力分析環節，把學生的實際情況分析放在非常重要的位置，同時專門列出數學教學活動的目標，對于各教學活動給出明確而具體的學習目標，各個環節均圍繞能幫助學生最大效率地學習數學知識這個核心目標，而且對學生的分析和數學活動的目標緊緊結合本節核心概念來分析，不堆砌教育理論、不羅列育人高調，真正體現出數學教學的針對性和提高學習效率的目的.

2教學目標和學生能力分析評價

該教學設計的第三部分是學生能力分析，第四部分是教學目標，學生能力分析又分為先備知識和學生（知識）背景兩部分，先備知識相當于大陸地區傳統教學設計中的舊知識復習，復習了代數式以及生活情境中的代數式，這些內容都是與本節函數對應有直接關系的鋪墊內容，學生背景有三部分：學生程度、學習態度和班級氣氛，學生程度闡述了該班學生的數學水平在同年級學生中所處的位置，學習態度則分析了該班學生的總體學習態度，并且根據該班積極學習態度給出了“可以讓學生做加深加廣的學習”的教學建議，做到了因勢利導，根據班級濃厚的學習氣氛給出學習新內容→小組討論練習題→各組提出疑難問題→師生討論作答這樣的課堂練習方式.

該教學設計的教學目標分為教學目標以及九年一貫制教育綱要中所列能力目標兩部分：

教學目標包括：（1）能認識兩個變數之間的對應關系.

（2）能從日常生活體驗中理解函數是一種特殊對應關系.

（3）能舉出生活中的事例說明函數的對應關系和類型.

（4）能把待解的生活問題轉化為數學問題

能力指標：（1）能認識函數與變數及其之間關系.

（2）能舉出例子說明一次函數是一種特殊的比例對應關系.

（3）能把具體情景中與問題相關的數、量、形析出.

臺灣現在大多數學校采用九年一貫制教學綱要指導下的數學教材，其中的能力目標按照年級來分類，每個年級都有相應的能力指標，同時在不同年級又按照數與量、幾何、代數、統計與概率、連接（主要指數學表達和溝通能力）五個模塊分別給出各個知識點的能力目標要求，臺灣地區有所謂92綱要和97綱要之分，97剛要是92綱要基礎上的修訂和完善，從該教學設計和臺灣地區九年一貫制綱要看，臺灣地區對知識目標和能力目標是沒有嚴格區分的，但是在大陸地區，有所謂“雙基”培養目標，即基礎知識和基本能力，把知識和能力的培養分開來講，實際上這兩部分內容之間相輔相成，密不可分，臺灣97綱要把能力融入知識目標中，該教學目標明確地提出首先要從日常生活體驗中理解函數關系，其次，要把實際問題情境與函數關系結合起來，把生活問題“數學化”，實際上就是一種數學建模能力的培養過程，理解了函數的實質，同時也要培養學生“數學化”的能力.

3活動目標和教學概要評價

數學活動是該教學設計的很重要的一部分，數學活動包括三項內容：

（1）從學生日程生活中的相對關系，藉由“連連看”作業單來引入兩個變量的對應關系.

（2）通過日常生活中的例子，藉由教學與學習單的引導，讓學生體驗和理解變數間的對應關系，進而認知函數關系中的確定性和合理性，再檢視一些生活實例，看是否滿足函數關系.

（3）能由對應關系的合理性和確定性來判斷兩個變數間的對應關系是否為函數關系.

（4）介紹自變數、應變數并通過例題的練習讓學生有更加深入的了解，認識函數基本定義和類型.

從上述活動目標看，李老師的教學設計中明確要求授課過程中要結合生活實踐引導學生理解自變數和應變數之間的關系，進而理解變量之間的函數關系，大陸地區此次新課程改革后的義務教育階段數學課程標準也明確提出“緊密聯系學生生活實際，從學生生活經驗和已有知識出發，創設生動有趣的情境，引導學生開展觀察、操作、猜想、推理、交流活動……”.從張老師的教學設計看，該設計恰恰很好地體現了大陸新課程標準的教學方式要求.兩岸的教學理念近乎默契的相似.這也是兩岸近些年相互逐步借鑒和吸收對方課程標準中的包括杜威“兒童中心論”、布盧姆“建構主義教學”等西方各種教育思想的結果.

第一項中提到的“連連看”作業單是設計者備課過程中準備的三個由實際生活中的實體對應關系逐步向數量對應過度的三個表格型例題，第一個是臺灣地區領導人姓名和他們的官銜之間的對應關系表，還有一個是學生所在學校所有校領導和他們的官銜之間的對應關系表格，要求學生用曲線連接姓名和對應的官銜，第二個是臺灣西部鐵路干線上的罔山車站到臺北車站之間一天內運行的各類客車車種、行駛時間和票價，要求根據表格數據歸納推理出搭乘人數和總票價之間的函數關系式，同時計算回答其他相關問題；第三個學習單是三個練習題，都是要求根據表格所列一系列數據歸納出相應的函數關系式，三個學習單嵌入教學過程中的不同環節，從感性到理性逐步過渡，不寫進教學設計的主體內容中，而是作為形如附錄的內容綴在教學設計后面，精簡了教學設計的容量，同時也使得相對獨立的學習單更加簡潔、更加易于呈現.

該教學設計中的“教學概要說明”類似大陸地區的“說課”內容，三段論式的結構，第一段闡述本節課的主要內容特點以及該內容在中學數學中的地位和作用，第二段闡述了該節課的教學方法以及采用這種教法的原因：“主要是運用真實生活的情景，引入兩變數間的對應關系，透過活動的情境布題，簡化數量關系，讓學生體驗和思索題意數量關系中的規律性，從生活情景中充分理解函數的意義和類型，并從中咀嚼學習數學的趣味，將是本教學設計的最大目的”.第三段概括性地提出該教學設計的教學效果目的以及遠景目標，采用該教法的設計思路.讓人讀后就會對該教學方式和過程有一個大致的輪廓.同時也提出通過電腦軟件體驗函數的應用特點，滲透信息技術輔助教學的思想.

4教學活動設計內容評價

“函數對應”這節內容在大陸義務教育階段數學課程標準中也有要求，在第三學段（7—9年級）學習.

這個教學設計的全部過程分為六個部分：第一、相見歡，第二、數數活動，第三和第四是實踐內容活動，包括師生通過呈現學習單中的火車運行信息體驗實踐臺北高鐵不同車種、運行時間、車票價格等項目之間的數量關系，第五、教師舉出更多的生活實例讓學生進一步理解兩個變數間的函數對應關系，第六、函數定義及其表示法.其中的“通過一則鄉間故事，引出對應概念，得出結論：并不是所有對應都滿足函數關系”，教學活動內容按照表格形式呈現，表格將每一個活動內容分為教學活動內容摘要、主要問題與活動、活動說明、評量重點等四部分，但是四部分是根據內容需要出現，不一定都有，例如第二部分“教師搭乘火車旅游活動”，內容摘要就是“教師分享從臺北搭乘“捷運”火車旅游的美好經驗”，主要問題與活動：“教師詢問學生是否有過搭火車上臺北或搭乘臺北“捷運”的經驗，以及是否記得如何購買火車票或“捷運”票自動售票機的購買程序”，說明部分：“教師邀請同學一起搭乘火車來去臺北游玩，展開一場虛擬的“捷運”之旅”，評量重點則是空白，其他各個教學活動也包括這四個內容，格式如表1：

該教學設計具體內容見臺灣國民教育社群網[2]，整個教學過程體現出由確定性的數據對應關系逐步向一般性的相對抽象的函數關系過度的過程：相見歡（民間故事）→數數活動→（活動三）教師分享從臺北到搭乘“捷運”火車旅游的過程→（活動四）從學習單（關于火車運行時間、價格、車型等）的布題體驗兩個變數之間的對應關系→（進階活動三） 火車運行的速度、距離和價格三角關系間的愛恨情仇→（進階活動四）教師說明購買“捷運”車票的程序，并引導同學思考“捷運”之旅的相關數學問題→教師舉出更多的生活實例讓學生進一步理解兩個變數間的函數對應關系→函數定義及其表示法，最后，千呼萬喚始出來，給出函數定義：

函數：在x→y的對應關系中，對于每一個x值，都有一個而且只有一個y的對應值，那么符合這個條件的特殊對應關系，就稱y是x的函數.

這個教學設計有一個特別之處就是：有兩個第三部分、兩個第四部分，第一個第三部分是“教師分享從臺北搭乘“捷運”火車旅游的美好經驗”，而第二個第三部分則是“火車運行的速度、距離和價格三角關系間的愛恨情仇”，也就是要求學生通過觀察火車速度、距離和價格三列數據，分析得出這三項數據之間的函數關系，很明顯，后者是前者的進階和升華，同樣第一個第四部分是“從學習單的布題體驗兩個變數之間的對應關系”，第二個第四部分是“展開“捷運”之旅，教師說明購買“捷運”車票的程序，并引導同學思考“捷運”之旅的相關數學問題”，顯而易見，前者是確定的數據之間數量關系，后者則是相對抽象的變量之間的關系，從確定到抽象的進化過程體現在教學過程中，本來整個教學設計就體現出明顯的從確定到抽象的逐步進化過程，而其中的第三、第四部分又體現出局部的從確定性向一般性或抽象性的上升過程，兩個難度上升的大小過程相互嵌套，相得益彰，共同構成一個完美的教學過程，這里有一點細節需要強調，就是臺灣對極少量函數中涉及的概念的稱謂與大陸地區略有差異，例如y=f（x）中的f（x）這個符號，在大陸地區就直接讀作“f x”，而臺灣地區讀作“fofx”，大陸把這里的y稱為應變量或x的函數，x稱為自變量，可是臺灣地區把y稱為應變數，x稱為自變數，這樣的小差異并不影響兩岸教學活動和教學研究的交流.

5對教學反思（教學后的省思）的評價

教學反思是大陸和臺灣基礎教育界都提倡的一種教師教后反省活動，主要包括對剛剛結束教學過程的檢討，對該教學設計思路的自我反饋，對課后同行和專家評課中提出的問題的思考，發現問題，指出整改方向，找出優點，明確努力態度.

5.1與前面的“學生能力分析”形成前后呼應

前面的“學生能力分析”中解析學生基礎和學習態度，在教學反思中就分析“函數對應”在整個初中階段的知識整體系統中所處的位置和作用及其相互關系，同時簡單分析國中二年級學生已經學過的簡單函數概念的實際情況，同時提出自己運氣好，碰到資質較好的學生帶來的好的教學結果，前面對學生實際情況的分析與后面對知識體系的分析相互結合，前后呼應，形成一個完美的鏈條結構，一方面對自己今后的教學提升有很大幫助，同時也有利于閱讀該教學設計的讀者對設計的整體有一個完整的認識.

5.2直面存在的問題并給出解決方法

設計者能明確提出在上課前自己猶豫不定的思想狀態，教學過程中，對“教學引導和統整的細節上，卻出現教學者指導語不夠明確， ……，在教學過程中，應該有更明確的指導語，并善用提問技巧，以提供時間讓學生思考、討論和發表的空間，而不只是老師講述，另外老師宜適當布題，讓學生在思考、討論和發表時，充分展現創新和批判精神.”直面存在的問題，指出解決渠道和方法，真實地展現自己在教學過程中的質疑、困惑和思考，教學反思是為了發現問題，找到解決的方法，在今后的教學中避免走彎路，提高教學質量.質量較好的教學反思能切中肯綮，甚至一石二鳥，巧妙地解決教學中出現的問題和困惑.

5.3根據教學體會提出對教學改革的想法

通過前面對具體教學過程的反思，最后給出自己對教學改革和研究發展方向的設想：“課后的研討會中有很多澄清和省思，……，也讓我更加肯定教師課堂教學中同僚觀察的重要和必要性，也許，在臺灣教育走向精致化的同時，教師課堂教學評價已是一個未來教師必須面對的檢視和挑戰”.通過聽取課后同行評課，有感而發，提出對今后教育發展方向的設想：精制化和課堂教學評價是今后臺灣基礎教育的發展方向.膽大而不妄想，從自己的心得體會出發，得出結論，有根有據，切合實際.

6對學習單的評價

該教學設計有三個學習單，所謂學習單，實際上是三組例題，這三組例題按照從確定性到抽象性的節奏，難度逐步增強，學習單前面都有班級、年級、姓名和學號的空格，當然也留有解題步驟的空白，很明顯，這樣的學習單是要按單號順序分發到每個學生手中，讓學生自己完成的，這和老師板書例題的效果有很多的不同，老師板書例題只能講解或讓一個同學上黑板前解題板演，缺乏對其他絕大多數學生學習主動性的激發，這種人手一份的學習單最后要收起來，老師通過查閱每個學生的解題思路和方法可以了解全班同學的學習情況以及對相關概念的理解程度，這種教學模式在歐美等西方國家的課堂上大量使用，這需要老師在課前做大量的準備，要經歷找到合適的例題、打印、復印等過程，當然還需要自己在課前分析這些例題的各種解法，揣摩學生在解題過程中可能出現的各種情況，從表面看，每個學習單都用美觀的波浪形美術字體引起學生的學習興趣，；例如第一個學習單上面就有這樣的描述：“相對關系連連看”、“祝你一路順風”、“生活中的數量關系”等，美觀形象，親近可人，一下子就使得抽象的數學課堂變得和藹可親，充滿生活氣息.這種教師課前花費較大精力備課的教學方法能夠取得很好的教學效果，但是需要老師有很好的職業修養和濃厚的職業熱情.

7結論和啟示

7.1根據教學內容確定具體的教學方法.

教學設計是為教學內容服務的，合理的教學設計能提高教學效率，提高學生掌握數學知識的效率，但不能千篇一律，不能指定固定的模式結構，教師要根據具體內容以及該內容在學生已經學習過和將要學習的內容中所占的位置進行教學設計，該教學設計學習的函數對應對于義務教育階段學生來講具有一定的抽象性，但是設計者通過大量運用數學實踐活動，并且合理安排順序，各個數學活動難度螺旋式上升，抽象程度逐步提高，采用表格式設計，形象具體，各個步驟一目了然，整個設計渾然一體，完整而流暢.

7.2兩岸教學思想有很大相似之處.

從李明蘭老師的教學設計看，臺灣的教學過程也強調從形象到抽象的難度逐步提高的過程，融抽象的數學知識于形象生動的生活情境中，兩岸幾十年的的隔絕導致學術交流也被割裂，改革開放后終于重開各種交流活動，同根同源的文化和教育思想，使得兩案的教育交流非常親近和頻繁，尤其是臺灣地區很多大學的圖書資料對大陸讀者是開放的，通過查閱發現，臺灣很多教育思想及教學模式和大陸很接近，臺灣地區的教育研究工作者也大量參考大陸研究文獻，在此次新課程改革中提出的各種理論在臺灣地區的課程改革教育理論中也大量出現，比如“建構主義”教育思想，在兩岸的新課程標準中都不約而同地提出來，兩岸的基礎教育課程改革時間也很接近，而且在臺灣地區，包括“建構主義”在內的一部分來自西方的新的教育理念也同樣受到部分學者和群眾質疑，也在不斷探討和完善中.

7.3必須重視對學生具體情況的分析

大陸地區傳統的教學一般是以假設的學生（視為簡單而直接的受體）作為教學對象，從而忽視了學生的具體學習基礎、思想情感、學習態度等因素.在教學實踐中，這種假設的學生實際上是不存在的，現實中的學生在各個方面毫無例外地表現出其自身的特點，學生個體之間以及不同班級都具有或多或少的差異.教學設計必須根據學生的實際來制定切合實際的教學方案.

7.4教學設計既要重視學也要重視教

根據建構主義理論，無論何種教學形式，學習最終是通過學生內部學習過程自己完成的，學習的結果將最終體現在學生身上[1].因此，教學設計必須重視激發、促進、輔助學生內部學習過程的發生和進行，從而使有效的學習發生在每一個學生身上，保證不讓一個學生處于教學的劣勢上，要創造有利的學習環境，讓每個學生都享有同等的機會；當然重視教不意味著放任學生自學，而是因勢利導，步步為營，引導學生探究知識.

7.5教學設計要重視對設計過程和教學效果的評價和反思

在設計過程中和課后評課的各個環節上，要不斷地收集反饋信息，并對教學設計整個過程和結果進行科學的評價，為不斷改進教學、提高教學效果提供依據.

參考文獻

[1]王奮平，對兩岸建構式數學教學的發展過程的思考[J].教學月刊（中學版），2011，（9）：5-7.

[2]九年一貫數學課程剛要（臺）[S].http：//www.edu.tw/files/site_content/B0055/980424.

[3]李明蘭（臺）.函數對應[DB/OE].http：//teach.eje.edu.tw/data/files/edushare/SIG00007/C1/1206709878.doc.