解讀核心概念，落實課標精神

義務教育數學課程標準（2011版）課程內容設計欄目中的核心概念，是課程的核心或主線，有利于我們體會內容的本質，把握課程內容的線索，抓住教學的關鍵，它也是我們數學課堂教學的目標.因此，把握好核心概念對于教師的教學和學生的學習都極為重要.“運算能力”是2011版課標新增加的一個核心概念.在此筆者通過新課標學習，對運算能力的認識和培養談點膚淺認識.

1運算能力的認識

運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力.運算能力并非是一種單一的、孤立的數學能力，而是一個綜合性的能力.它與記憶能力、理解能力、推理能力、表達能力、以及空間想象等其他認識能力相互滲透、相互支撐著的：學生不能熟記各種數據和公式，就無法正確、迅速地進行各種運算；如果對概念的理解不透徹，或根本不理解，運算必然會陷入盲目性；學生不善推理，就無法選取合理的運算方法，甚至對不合理的運算結果也必然覺察不出；估計能力與空間想象能力常常能幫助學生預測結果，從而也容易糾正不正確的運算結果.

運算能力具有一定的層次性.在數學發展史上，不同類別的運算是由簡單到復雜、由具體到抽象、由低級到高級逐步形成和發展起來的.因此對運算的認識和掌握也必須是逐步有序的、有層次的，不掌握有理數的運算，就不可能掌握實數的運算；不掌握整式的運算，也就不可能掌握分式的運算.沒有具體運算的基礎，抽象運算就難以實現.由此可見，運算能力是隨著知識面的逐步加寬、內容的不斷深化、抽象程序的不斷提高而逐步發展的.

2運算能力的培養

數學運算貫穿于數學學習的全過程.有的學生不會根據題意，靈活選擇適當的辦法，只會硬套現成的模式，把與題目無關的問題生搬到一起，將簡單問題復雜化，導致運算過程繁瑣，影響了正常的解答.運算能力是運算技能和邏輯思維能力的結合，要求學生不僅會根據法則、公式等正確地進行運算，而且要理解算理，能根據條件尋求合理、簡捷的計算途徑，達到迅速準確的目的.因此，教師在教學中，可從以下幾方面加強對學生的培養.

2.1夯實四基，確保運算的準確性

數學的基本知識、基本技能、基本思想、和基本活動經驗是一切數學運算的基礎.學生的運算能力不高，往往與四基掌握不好有直接關系.經常看到，學生只要在整個運算的過程中的某一環節出現失誤，（往往概念不清、公式記錯、性質忘記、基本方法沒掌握）就導致了整個運算的錯誤.

例1計算：-32×223+（-1）2011×14÷14.

學生在此題計算中常見錯誤有：

（1）底數混淆：-32×223+（-1）2011×14÷14=9×223+（-1）2011×14÷14.

（2）法則記錯：-32×223+（-1）2011×14÷14=-9×43+1×14÷14.

（3）亂用法則：-32×223+（-1）2011×14÷14=-9×43+（-2011）×14÷14.

（4）違背運算順序：-32×223+（-1）2011×14÷14=-9×43+（-1）2011×1.

（5）錯用減法法則：-32×223+（-1）2011×14÷14=-9×43+（-1）×14×4=-12-1=-11.

許多學生常把這些運算的失誤，簡單地歸結為粗心、馬虎，甚至有的學生誤以為隨著計算機和計算器技術的發展普及，運算能力用不著提高，其實不然，運算的準確性不單只是純粹的計算，它涉及面廣，是需要多方面因素的相互作用的.它需要對概念的準確理解，對公式的準確記憶，對性質的準確掌握，還要有一定的思維能力的配合，才能保證運算結果的準確無誤.因此，教學時，應該重視基礎知識，必須使學生理解與掌握各種與運算有關的概念、性質、公式、法則、算律等，弄清它們的來龍去脈及各種應用，常出些與它們有關的正誤辨析，正用、逆用的系列練習，使學生有著扎實的基礎，保證運算的準確性.

2.2優化算理算法，保證運算的合理性

運算的合理性是運算能力的核心.它是指運算過程要符合算理，每一步都應有所依據.它主要的表現在于如何確定運算的目標，合理地尋找最佳的運算途徑.

例2 有一個運算程序，可以使：a⊕b=n，（n為常數）時，得（a+1）⊕b=n+1，a⊕（b+1）=n-2，現已知1⊕1=2，那么2008⊕2008=.（2008年廣東省茂名中考試題）

分析本題難點在于尋找解題突破口，將a⊕b=n分別代入兩式后得（a+1）⊕b=a⊕b+1及a⊕（b+1）=a⊕b-2，這是本題的重要算理，所以本題解答關鍵是依據題目給定的順序法則（即算理）進行化歸處理，反復轉化為已知解決了問題，通過代入方法求得結果.如

2⊕2=（1+1）⊕2=1⊕2+1=1⊕（1+1）+1=1⊕1-1=1，

同理，3⊕3=2⊕2-1=0，

4⊕4=3⊕3-1=-1┉.

規律：結果與已知數的和恒等于3.

猜想：m⊕m=（m-1）⊕（m-1）-1=3-m.

當m=2008時，可得

2008⊕2008=3-2008=-2005.

其實運算的過程包含著思維過程，運算離不開思維.運算的目標，變形的方向，運算的路徑，它們之間是密切相關的.從運算的目標出發，研究變形的方向，最終產生判斷，確定合理的運算途徑.這一系列的活動都是運算過程中的思維活動，是運算合理性的表現.有時還會出現一題有多種不同的運算途徑，繁簡不同，則應加以比較，合理選擇最佳方案，最優化的算法.因此，教學中應注意在培養學生思維能力上下功夫，注重一題多解，比較解答的優劣.平時應多鼓勵學生對一道題的多角度，多方位的探索，對提出不同見解的學生應給予肯定，積極發展學生的思維品質，促使運算能力的提高.

2.3觀察、思考，培養運算的靈活性

運算的靈活性是指學生在運算中表現出的運算方法多樣化程度的穩定心里品質.運算靈活性本質上是思維靈活性、是思維靈活性在運算中的表現.運算靈活性表現為運算的角度靈活、方法靈活、過程靈活、知識運用靈活.運算靈活性是對每一個學生的要求.對多數學生而言，運算靈活性不是自然形成的，需要采取一定的措施加以培養.如對常規算法研究的基礎上，針對具體問題，深入研究其非常規算法，提高運算的靈活性.

例3 解方程：x+1x=212.

該題的一般解法是：去分母化成一元二次方程的一般形式求解.但我們觀察方程，原方程可寫成：x+1x=2+12，根據方程解的定義，此方程兩根為x1=2，x2=12.對于方程3xx-1+x-13x=212，同樣可得3xx-1=2或3xx-1=12，解得x1=-2，x2=-15.

又如解方程組：xy=12

x+y=7.常規解法是把（2）y=7-x代入（1），得x2-7x+12=0，求得x1=3，x2=4 ，再把 x1=3，x2=4代入（2）式，得y1=4，y2=3.所以原方程組的解為x=3

y=4或x=4

y=3.但本題觀察方程特點直接可得x=3

y=4或x=4

y=3.

可以看出，題目的非常規解法往往來源于對原題結構形式的觀察思考，具有較強的靈活性.教學中應經常和學生一起探索問題的非常規解法.對運算對象進行深入觀察分析，對培養學生運算的靈活性大有益處.

2.4追求簡便快捷，培養運算的簡捷性

運算的簡捷性即是表現運算過程簡捷迅速.在運算過程中，概念、性質、公式等掌握的熟練程度、靈活程度以及數學思想方法和基本方法的合理使用，在運算的簡捷性中都有著重要的作用.

例4計算-116-223+445-513+116-3.8.

分析此題按順序算比較麻煩，如果我們運用運算律，把互為相反數的、同分母的、湊成整數的、或同號放在一起進行運算，可以降低解題難度，提高解題效率.

解原式=（-116+116）+-223-513+445-3.8=-8+1=-7.

又如，我們在研究有關應用題時，如果能從大處著眼，從整體入手，往往可化繁為簡，思路明晰.

例5甲、乙兩人從相距10千米的兩地同時出發，相向而行，甲每小時走6千米，乙每小時走4千米，甲帶了一只小狗，狗每小時跑10千米，小狗隨甲同時出發，向乙跑去；當它遇到乙后，就立即回頭向甲跑去；遇到甲后，就立即回頭向乙跑去，直到甲乙兩人相遇狗才停住.求這條狗一共跑了多少路？

分析本題如按常規解法，考慮“狗”的行程不僅圖無法畫出，且容易導致思路曲折復雜，無從下手.如果我們借助“整體思想”則輕而易舉：要求狗的行程，已知狗的速度，只需知道狗奔跑的時間；而這時間也恰恰是甲乙二人所走完全程所用的時間，而求甲乙二人所走完全程所用的時間則變成一個相當簡單的相遇問題.

解設甲、乙兩人從出發到相遇所用時間為x小時.根據題意列方程：

6x+4x=100，解之得：x=10.

因此狗以10千米/時的速度跑了10小時，則它一共跑了10x=10×10=100（千米）.

由此可得，教師在教學中要善于引導學生積極思考，所用解法是否最優？并總是以懷疑和挑剔的眼光去審視已有的解法，使學生養成追求簡便快捷的意識，培養學生的運算能力.

總之，培養運算能力就要在運算的正確性、簡捷性、合理性、靈活性等方面下功夫，教師平時應嚴格要求學生，引導學生在以下幾方面上發展：第一，要正確理解與熟練掌握各種與運算有關的概念、性質、公式定理、法則、算律等.第二，要記住一些必要的和常用的數據.第三，要具備熟練的計算技巧.第四，要具備善于應用數學思想方法和基本方法解題的能力.第五，要具備一定的邏輯推理能力.第六，要具備良好的心理素質，特別是頑強的毅力，精益求精的態度.運算能力的培養與提高要與數學的其它能力相互聯系、相互滲透，只有從全方位上提高，才能使數學運算能力訓練達到預期的目的.